复合材料抽油杆动力学分析的小波有限元法

彭惠芬，王 鹏，王 程

(1.东北石油大学机械科学与工程学院，黑龙江 大庆 163318;2.大庆油田有限责任公司钻探工程公司，黑龙江 大庆 163453)

抽油杆是井下抽油系统中的主要工作部件，在服役期间主要承受交变载荷、动载荷及腐蚀磨损等作用，普通的钢制抽油杆由于接箍多、摩擦阻力大、使用寿命低而不能满足深井作业的需要。复合材料抽油杆由于具有质量轻、比强度比模量高、耐腐蚀强、接箍少及力学性能可设计强等优点而广泛应用在胜利、大庆等油田的深井作业中［1］。细长抽油杆质量偏心、服役期间抽油杆与油管碰撞产生的附加动力等将严重影响复合材料抽油杆的使用寿命，因此对复合材料抽油杆进行动力学分析，具有十分重要的工程实际意义。为此许多科技工作者开展了相关课题的研究，采用的方法主要包括解析法、有限元法和其它数值计算方法［2-4］。然而由于复合材料具有各向异性、结构复杂等特点，使传统有限单元数值模拟带来许多困难。小波有限元法是近年发展起来的一种新的数值计算方法［5-8］，以小波尺度函数或小波函数作为插值函数，具有待定系数少、逼近精度高、局部化性能强和多分辨分析等特性，可弥补传统有限元在复合材料数值计算中的不足［9-10］。本文采用小波有限元和振动理论相结合的方法，利用小波尺度函数逼近精度高、多分辨率的特点，将小波有限元应用于复合材料数值分析中，建立了复合材料抽油杆小波有限元模型，模拟结果表明:小波有限元可用较少单元获得较高计算精度，为复合材料数值计算提供一种新的数值计算方法。

1 小波梁单元刚度方程的推导

由材料力学可知，图1所示小波梁单元势能泛函为:

式中:le—单元长度，le=b－a，a和b分别为单元起始和终点坐标;pj—集中载荷;q(x)—载荷集度;EI—小波梁单元的等效抗弯刚度;xj—集中载荷作用点的坐标值;w(x)—小波梁单元中面的挠度函数;Mk—集中弯矩—集中弯矩作用处的转角值。

采用小波尺度函数插值，小波梁单元位移函数为

标准求解域ξ∈［0，1］上小波梁单元节点排列见图2，图中节点总数为n+1，总自由度数为n+3(n=2j+m－4，式中m、j分别为小波尺度函数的阶数和尺度)。

将式(2)代入式(1)，由变分原理，令δ∏p=0，有

2 复合材料抽油杆数值仿真

复合材料抽油杆由刚性纤维和树脂基体组成，其横截面为矩形(36.80 mm×5.38 mm)，长度为L=600 m，刚性纤维材料性能参数为:弹性模量E1=379 GPa、泊松比0.3、密度为1 590 kg/m3;树脂基体材料性能参数为:弹性模量E2=60 GPa、泊松比0.3、密度为1 180 kg/m3。

由于复合材料抽油杆的横向振动较为复杂，为简化计算作如下假设:纤维增强复合材料为均质、各向同性的弹性直杆;纤维成矩形阵列排列;假定接触界面完好，没有初始裂纹及缺陷;忽略抽油杆振动过程中转动惯量和剪切变形的影响。在上述假设基础上，选取复合材料整体抽油杆为对象，根据复合材料抽油杆在油井中实际工况将抽油杆简化为两端铰接的细长梁并忽略横向阻尼系数的影响，分别采用10个m=4、尺度分别为j=2和j=3的小波梁单元求解。

表1给出了采用不同数值方法计算复合材料抽油杆最大横向位移与理论值的比较。

表1 不同单元求解最大横向位移结果与理论解的相对误差比较

从表1中可以看出:40个4阶3尺度复合材料小波梁单元求解结果优于240个BEAM3单元，与1 600个BEAM3单元计算结果吻合较好;复合材料小波梁单元计算精度随着小波函数分析尺度的增加而提高，4阶3尺度复合材料小波梁单元数值模拟结果与理论解相对误差最小为1.004，这充分体现小波有限元法可用较少单元和自由度数获得较高计算精度。

表2为复合材料抽油杆模态分析结果。

表2 复合材料抽油杆模态分析结果

从表2中可以看出:复合材料抽油杆前八阶固有频率数值较小，而振幅数值较大，其中一阶模态固有频率数值最小为0.010 1 Hz，振幅最大数值为0.108 4 m。这表明抽油机低转速运转情况下易于激发共振，使复合材料抽油杆产生很大横向变形，导致抽油杆与套管产生偏磨。因此，复合材料抽油杆横向固有振动特性研究为复合材料抽油杆合理结构设计及电机转速控制提供理论依据。

3 结论

将小波有限元应用于复合材料数值计算中，推导了复合材料小波梁单元刚度矩阵，通过数值模拟获得了复合材料抽油杆横向振动前八阶固有频率和振幅，从结果分析中可获得如下结论:

1)本文建立的小波数值分析方法合理、可行，并具有较高的数值计算精度;

2)不同数值计算方法与理论解比较表明:本文构造的复合材料小波梁单元求解横向位移结果与理论解相对误差最小，这表明小波有限元可用较少单元和自由度数获得较高计算精度;

3)通过模态分析，获得了复合材料抽油杆横向振动前八阶固有频率和振幅，分析表明各阶固有频率数值较低，易于激发共振，导致杆管偏磨。

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