Mathematica在高等数学实验中的应用

2014-12-04唐世星毛羽强杨光

承德石油高等专科学校学报 2014年5期

唐世星，毛羽强，杨光

(1.承德石油高等专科学校，河北承德 067000;2.承德护理职业学院，河北承德 067000)

高等数学实验是当前高等数学教学改革中一项重要内容，目前已经在很多高校中开设了该课程［1-5］。通过高等数学实验学生学会用数学软件解决高等数学问题，并让学生亲身体会到数学知识在生产、经营和管理活动中的应用，从而增强他们学习数学和用数学的兴趣，培养他们应用数学的能力。同时，也可让学生领会不做数学理论研究，学好数学基础知识和基本方法也很重要［6-7］。Mathematica软件是由Wolfram公司开发的一个功能强大的符号计算系统，它提供了范围广泛的数学计算功能，支持在各个领域的人们所需要的各种计算功能，其主要功能包括数学分析、数值计算、动态可视化引擎和文件处理与演示工具［8］。本文将通过典型实例探讨Mathematica软件在高等数学实验中的应用。

1 Mathematica软件符号计算功能

在高等数学实验中，函数的极限、一元函数与多元函数微积分、常微分方程、级数求和、幂级数展开等问题的直接求解均是重要的实验内容。利用Mathematica软件的符号运算功能可以直接求解这些问题，并得到该问题的解析解。特别是对于一些特殊的积分问题，Mathematica软件提供了丰富的特殊函数和数值积分表示方法。下面通过几个典型例子说明Mathematica软件的符号计算功能:

在 Notebook 中输入:Limit［x*Sin［b/x］*(1+a/x)^x，x －＞ Infinity］，使用 Shift+Enter组合键执行上述命令即可得到输出结果为bea。

例2:求微分方程y″－3y'+2y=cosx的通解。

该方程为常系数线性非齐次微分方程，方程的求解过程很繁琐，很容易出错。但是使用Mathematica软件则很容易求得其通解。

在 Notebook 中输入:DSolve［y″［x］－3y'［x］+2y［x］==Cos［x］，y［x］，x］，使用 Shift+Enter组合键执行上述命令即可得到输出结果为

2 Mathematica软件绘图功能

在高等数学实验中有很多内容是需要借助图像来解决的，特别是对于定积分的应用、空间解析几何中的曲线和曲面。借助直观的几何图像能够让学生很容易理解函数的特性，对于高等数学中的一些复合函数的图像，即使是教师也不容易直接画出。但是借助于Mathematica软件强大的绘图功能，只需简单的几行命令就能画出直观准确的函数图像，从而对函数的各种几何特性更容易理解。

根据高等数学中函数画图的一般步骤，该函数的图像是可以画出的，但是计算过程较为复杂。使用Mathematica软件则很容易做出该函数的图像，在Notebook里输入命令:Plot［x^3/(x^2－2x－3)，{x，－5，5}］，执行后即可得到如图1所示的函数图像。由图像可以观察出该函数的单调性、凹凸性及渐近线，其中该函数的斜渐近线在图像上能够直观的观察出来，但是没有画出。由斜渐近线的定义，不难得出该曲线的斜渐近线方程为y=x－2。

3 Mathematica软件动态可视化功能

在较新版本的Mathematica软件中提供了更加丰富的动态可视化功能，特别是Manipulate和Animate两个命令使得交互式操作和可视化功能更加强大，从而为高等数学实验中有很多内容的动态演示和交互式操作提供了强有力的帮助。通过交互式操作和动态演示使得学生能够更清晰的看到变化过程，观察到每一个细节，这样对高等数学实验的教学工作大有裨益，同时也增加了学生学数学、用数学的兴趣。

例4:某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，t小时后冰箱的温度为(单位:℃)。问冰箱温度T关于时间t的变化率是多少?

根据高等数学中导数的相关知识，可以比较容易的得到冰箱温度T关于时间t的变化率为但是这样的结果对于理解冰箱温度关于时间的变化率不够直观、明了，下面通过该问题的动态交互式操作功能实现过程来简要介绍一般的交互式功能实现过程:

首先:设计界面。根据该问题可以考虑设计四个部件来实现交互式过程:1)时间轴;2)冰箱温度随时间的变化图像;3)冰箱温度关于时间的变化率图像;4)时间、冰箱温度及温度变化率的动态数字显示。

其次:根据每一个组件的功能分别设计代码予以实现，同时通过执行代码直观的观察效果，根据需要进行微调。

本示例的代码如下:

执行后得到图2所示的设计界面:

通过点击右上角的“+”按钮，可以进行相关的操作，例如粘贴快照、自动运行等，也可以手动调节时间轴，其它三个部件会随着时间t的变化而变化，充分实现交互式操作功能，可对冰箱制冷效果有一个更为直观的理解(如图3所示)。

4 结束语

高等数学实验对提高学生学习数学的兴趣、动手能力和创新能力起着积极的推动作用，能够有效提高学生分析处理实际问题的能力。通过Mathematica软件在高等数学实验中的应用，学生可以充分利用计算机和Mathematica软件处理运算复杂的工程问题，从而大大简化了繁琐的运算过程，提高工作效率，培养了学生的科技创新意识，取得了良好的教学效果。