交通流量分析中的线性代数

2014-12-03白梅花

科技资讯 2014年26期

白梅花

摘要：本文给出了线性代数在交通流量问题中的应用实例，使得线性代数基本概念及理论更易于理解和掌握。

关键词：线性代数交通流量应用

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）09（b）-0145-01

线性代数是数学的一个重要分支，其理论性强，计算繁琐，但是它广泛应用于社会生活各个领域。如在交通流量统计问题；人员流动，金融公司的现金流动问题；图像的代数重建问题；信息加密解密问题；平衡价格问题等等都应用到线性代数的知识来解决。为激发学生强大的学习兴趣和学习积极性，在线性代数课堂教学中多插入些实际应用例子或应用背景来讲解和解释线性代数的重要理论和重要概念是线性代数目前的重要教学目标。下面以交通流量分析问题为例认识线性代数中的重要内容——线性方程组及其相关概念。

1 交通流量分析问题

现代城市道路网错综复杂，车流量非常的大，交通状况不容乐观。因此对每条道路、每个交叉路口的车流量统计调查是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。

实例：如下图1所示，给出了某城市单行线图，其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量，流量单位为：辆。

问：图1中的四个未知量都需要统计吗？由线性代数中的线性方程组可否解决此问题？

解：假设每个交叉路口进入和离开的车辆数目一样，则根据图1，在①，②，③， ④四个路口进出车辆数目分别满足：

上述等式整理可得有四个未知量四个方程的非齐次线性方程组：

（1）由于<4，因此建立的线性方程组有无穷多个解，实际中想要唯一确定未知流量，只要增加x4统计的值即可确定。

（2）由增广阵（A，b）的行最简形可见，，即秩为3，说明上述方程组中有一个方程是多余的，如上表达式可看到最后一个方程是多余的，这意味着最后一个方程中的数据30可以不用统计。

（3）由解的向量形式：

，可看到方程组的一个特解为：，对应的齐次线性方程组的解空间的结构：空间秩为1，其中一个基础解析为：。

（4）解当中的自由未知量也可以是除外其它都可以，即解可表示为：

这就是说x1，x2，x3，x4这四个未知量中，任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值。另外从上式还可看到建立的非齐次方程组的特解不唯一，如也可选择：，为其特解都是可以的，同时注意到对应的齐次线性方程组的解空间的基础解析也是不唯一的，如我们可选择与：无关的解空间的任何向量都可以为其基础解析。

2 结语

本文列举了简单的交通流量分析实例，而这个实例用线性代数基本知识很容易就能解决。在线性代数的教学过程中经常举些应用例子的好处是，能引起学生对线性代数的学习兴趣，能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论，达到与后续课程的衔接。

参考文献

[1] 同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2007，5.