南京师大附中南京外国语学校月考试卷调研

何晓勤

本试卷严格按照高考《考试说明》命制，符合高考的命题规律，难易程度上贴近高考要求. 试卷第一部分（必做题）的填空题主要考查基本概念、基础知识和基本能力，解答题突出考查理性思维和思想方法；试卷涵盖了高中数学的主要内容，而且主干知识地位突出，重点内容重点考查，如三角与向量（第15题）、立体几何（第16题）、函数和导数应用问题（第17题）、解析几何综合问题（第18题）、函数与导数综合问题（第19题）、数列综合问题（第20题）等都是必考的重点内容；在试题的设计上，注重知识的交汇，如第10题考查解三角形与基本不等式的交汇，第12题考查函数与不等式的交汇，第15题考查三角与向量的交汇等.

？摇？摇试卷第二部分（附加题）的选做题第21题注重考查基本知识和基本方法，难度不大；必做题第22题考查空间向量在求解立体几何问题中的应用，难度中等；第23题属于创新题型，主要考查计数原理、二项式系数的性质、数列等知识的综合，对理科学生的能力要求较高，有较大的区分度.

难度系数：★★★★

第一部分

一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.

1. 已知集合A={xy=log■（x-1）}，B={xx2-x-6≤0}，则A∩B=________.

2. 已知i是虚数单位，且■=a+bi（a，b∈R），则a-b=________.

3. 如图1是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是________.

4. 从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图. 由图中数据可知成绩在[130，140）内的学生人数为________.

5. 一个正四面体玩具的四个面分别标有数字1，2，3，4，现投掷该玩具两次，观察向下一面的数字，则事件“两次出现的数字中至少有一个比2大”发生的概率为________.

6. 已知F1，F2分别是双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点. 若双曲线C上一点P满足∠F1PF2=90°，且PF1=3PF2，则双曲线C的渐近线方程为________.

7. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点M，N在棱CC1，BB1上，且CM=B1N，则四棱锥A-BCMN的体积为________.

8. 已知奇函数f（x）是定义在实数集R上的单调函数，若函数g（x）=f（x2）+f（2-kx）（x∈R）有唯一的零点，则实数k的值为________.

9. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）ω>0，φ<■的图象如图4所示，若将函数f（x）的图象向右平移■个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为_________.

10. 如图5，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，则■的最小值等于________.

11. 如图6，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（■+■）·■的取值范围为________.

12. 若函数F（x）为二次函数，且F（x）的导函数为f（x），若存在实数a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）>0，则不等式F（2x-1）>F（x）的解集为________.

13. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=k（x+2■）和点A（-■，0），B（■，0），动点P满足PA=■PB，且存在两点P到直线l的距离等于1，则k的取值范围是________.

14. 已知数列{an}满足a■=0，an≤a■≤an+1（n∈N？鄢），记Sn=■（-1）k-1a■（0

二、解答题：本题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（sinB-sinA，sinC），n=（sinB-sinC，sinB+sinA），且m∥n.

（1）求角A的值；

（2）若△ABC为锐角三角形，且a=2，求b-■c的取值范围.

16. （本小题满分14分）如图7，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，四边形ABCD为矩形，AB∥EF，∠BAF=■，M为BD的中点，平面ABCD⊥平面ABEF. 求证：

（1）BF⊥平面DAF；

（2）ME∥平面DAF.

17. （本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10 cm的圆形包装纸包装.要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图8所示. 设正三棱锥的底面边长为x cm，体积为V cm3. 在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值.

18. （本小题满分16分）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）上任一点P到两个焦点的距离的和为2■，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-■. 设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）若■·■=■（O为坐标原点），求y1-y2的值；

（2）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

19. （本小题满分16分）设n∈N？鄢，函数f■（x）=xnx-a（x≠a），其中常数a>0.

（1）求函数f■（x）的极值.

（2）设一直线与函数f■（x）的图象切于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求证：y■

20. （本小题满分16分）已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.

（1）若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有S■=（Sn）3成立，求数列{an}的通项公式；

（2）对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.

①求a1，a2的值；

②求数列{an}的通项公式.

第二部分（加试部分）

（总分40分，加试时间30分钟）

21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分. 请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. [选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图9，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：BE平分∠ABC.

B. [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵M有特征值λ1=8及对应特征向量α1=11，且矩阵M对应的变换将点（1，-1）变换成（4，0），求矩阵M的另一个特征值.

C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

圆C的参数方程为x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ为参数），设P是圆C与x轴正半轴的交点. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程.

D. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小题满分10分）如图10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求证：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小题满分10分）设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集. 记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数.

（1）求a3；

（2）求an.

（1）求函数f■（x）的极值.

（2）设一直线与函数f■（x）的图象切于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求证：y■

20. （本小题满分16分）已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.

（1）若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有S■=（Sn）3成立，求数列{an}的通项公式；

（2）对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.

①求a1，a2的值；

②求数列{an}的通项公式.

第二部分（加试部分）

（总分40分，加试时间30分钟）

21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分. 请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. [选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图9，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：BE平分∠ABC.

B. [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵M有特征值λ1=8及对应特征向量α1=11，且矩阵M对应的变换将点（1，-1）变换成（4，0），求矩阵M的另一个特征值.

C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

圆C的参数方程为x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ为参数），设P是圆C与x轴正半轴的交点. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程.

D. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小题满分10分）如图10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求证：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小题满分10分）设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集. 记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数.

（1）求a3；

（2）求an.

（1）求函数f■（x）的极值.

（2）设一直线与函数f■（x）的图象切于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求证：y■

20. （本小题满分16分）已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.

（1）若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有S■=（Sn）3成立，求数列{an}的通项公式；

（2）对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.

①求a1，a2的值；

②求数列{an}的通项公式.

第二部分（加试部分）

（总分40分，加试时间30分钟）

21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分. 请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. [选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图9，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：BE平分∠ABC.

B. [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵M有特征值λ1=8及对应特征向量α1=11，且矩阵M对应的变换将点（1，-1）变换成（4，0），求矩阵M的另一个特征值.

C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

圆C的参数方程为x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ为参数），设P是圆C与x轴正半轴的交点. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程.

D. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小题满分10分）如图10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求证：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小题满分10分）设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集. 记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数.

（1）求a3；

（2）求an.