平面向量的数量积及其应用

邱小瑾

重点：①掌握向量的数量积的定义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义；②掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算；③能运用平面向量的数量积处理三角、几何等问题.

难点：①从数与形两个方面体会向量数量积的定义，理解向量数量积的相关性质并能进行简单的探究；②运用向量数量积工具性的作用，灵活处理向量与几何、圆锥曲线、三角函数等其他数学知识的综合问题.

在解决关于向量数量积的问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性；二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用. 本节内容常见的题型与方法是：

（1）数量积概念的考查：要理解向量的数量积为“数”的意义，要注意向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律，向量的数量积运算不满足结合律等.

（2）数量积公式与性质的应用：分为“基底法”与“坐标法”两类处理.

求长度：a·a=a2=a2=x2+y2.

证垂直、平行：a⊥b？圳x1x2+y■y■=0；a∥b？圳x1y2-x2y1=0.

求两直线夹角：cosθ=■=■（可用于判定角是锐角还是钝角）.

（3）数量积与其他数学知识的交汇与融合.

例1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线. 已知下列命题：

①（a·b）·c-（c·a）·b=0；

②a-b

③（b·c）·a-（c·a）·b不与c垂直；

④（3a+2b）（3a-2b）=9a2-4b2.

其中是真命题的有（ ）

A. ①② B. ②③

C. ③④ D. ②④

思索 因为向量的数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来. 以下三点要特别注意：①在代数中我们常用的“若ab=0，则a=0或b=0”在向量的数量积中不适用. ②由a·b=b·c不能推出a=c，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去. 另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约的实质是相除，这是不允许的. ③结合律对数量积不成立，即（a·b）c≠a（b·c）.

破解 对于①，只有b和c方向相同时，两者才可能相等，所以①错. 考虑②式对应的几何意义，由“三角形两边之差小于第三边”知②正确.因为[（b·c）·a-（c·a）·b]·c=0，所以（b·c）·a-（c·a）·b与c垂直，③错. 对于④，向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以④对. 答案为D.

例2 （2014年高考湖北卷） 设向量a=（3，3），b=（1，-1）. 若（a+λb）⊥（a-λb），则实数λ=________.

思索 本题考查两向量垂直的性质的应用，利用数量积为零可求得λ的值.

破解 因为a+λb=（3+λ，3-λ），a-λb=（3-λ，3+λ），又（a+λb）⊥（a-λb），所以（a+λb）·（a-λb）=（3+λ）·（3-λ）+（3-λ）（3+λ）=0，解得λ=±3.

例3 （2014年高考四川卷） 平面向量a=（1，2），b=（4，2），c=ma+b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于（ ）

A. -2？摇？摇？摇？摇？摇 B. -1？摇？摇？摇？摇？摇？摇C. 1？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇D. 2

思索 本题考查数量积求角的坐标公式，求出c后代入公式即可.

破解 因为a=（1，2），b=（4，2），c=ma+b，所以c=（m+4，2m+2）. 由已知可得cos？骉a，c？骍=cos？骉b，c？骍，所以=，

即=，所以m=2. 选D.

例4 （2014年高考天津卷） 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC. 若·=1，·= -，则λ+μ等于（ ）

A. ？摇？摇？摇？摇？摇B.？摇？摇？摇？摇？摇 C.？摇？摇？摇？摇 D.

思索 这是近年高考的热点题目，一般有“基底法”与“坐标法”两种处理方法. 一是先建立坐标系，分别求得相关坐标，再利用数量积公式列出方程求解；二是直接利用向量运算变形，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的.

破解 建立如图1所示的坐标系，则A（-1，0），B（0，-），C（1，0），D（0，）.

设E（x1，y1），F（x2，y2）. 由BE=λBC得（x1，y1+）=λ（1，），解得x1=λ，y1=（λ-1），即点E（λ，（λ-1））.

由DF=μDC得（x2，y2-）=μ（1，-），解得x2=μ，y2=（1-μ），即点F（μ，（1-μ））.

又因为·=（λ+1，（λ-1））·（μ+1，（1-μ））=1 ①，·=（λ-1，（λ-1））·（μ-1，·（1-μ））=- ②.

由①-②得λ+μ=.

图1

例5 平面上，⊥，==1，=+，若<，则的取值范围是_____.

思索 考虑求的取值范围，则构建关于的不等式或不等式组. 由于题目中给出了<，所以要围绕<去求的取值范围. 先把用来表示. 由⊥，==1可得=+-，平方转化得 2=2-2，再代入<，求出的取值范围.

破解 因为⊥，所以得·=（-）·（-）？圯·-·-·+2=0？圯·-·-·=-2. 因为=+？圯-=-+-，所以=+-. 因为==1，所以 2=1+1+2+2（·-·-·），所以 2=2-2. 又<，0≤2<，所以<2≤2，即∈，.

例6 已知锐角三角形ABC中的三个内角分别为A，B，C.

（1）设·=·，求证：△ABC是等腰三角形；

（2）设向量s=2sinC，-，t=cos2C，2cos2-1，且s∥t，若sinA=，求sin-B的值.

思索 向量的数量积既反映了长度关系又体现了角度关系，它是解决三角形问题的较好方法. 因此，这类问题在高考试题中总是大量存在，复习时要引起足够的重视.

破解 （1）因为·=·，所以·（-）=0.又++=0，所以=-（+），所以-（+）·（-）=0，所以2-2=0.所以2=2，即=，故△ABC为等腰三角形.？摇

（2）因为s∥t，故2sinC2cos2-1=

-cos2C，所以sin2C=-cos2C，即tan2C=-.因为C为锐角，所以2C∈（0，π），所以2C=，解得C=. 所以A=-B，从而有sin-B=sin-B？摇-=sinA-. 又sinA=，且A为锐角，所以cosA=，所以sin-B=sinA-=sinAcos-cosAsin=.

1. 已知a，b是两个非零向量，同时满足a=b=a-b，求a与a+b的夹角.

2. 已知向量a≠e，e=1，满足：对任意t∈R，恒有a-te≥a-e，则（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e） D. （a+e）⊥（a-e）

3. 已知平面上三点A，B，C满足=3，=4，=5，则·+·+·的值等于_______.

4. 如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则·=_______.

图2

5. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°. 如图3所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是_________.

图3

参考答案

1. 根据a=b，有a2=b2，又由b=a-b得b2=a2-2a·b+b2，所以a·b=a2. 而a+b2=a2+2a·b+b2=3a2，所以a+b=a. 设a与a+b的夹角为θ，则cosθ===. 所以θ=30°.

2. 解法一：由已知，任意t∈R，恒有a-te≥a-e成立，所以a-te2≥a-e2，即a2-2ta·e+t2e2≥a2-2a·e+e2，所以t2-2ta·e+2a·e-1≥0恒成立？圳Δ≤0，即4（a·e）2-4（2a·e-1）≤0？圳（a·e-1）2≤0，所以a·e-1=a·e-e2=e·（a-e）=0，即e⊥（a-e）. 选C.

解法二：如图4所示，构造图象解题. 设=a，=e，=a-e，显然，当OB⊥BE时，a-te≥a-e恒成立.

图4

3. 注意到++=0，两边平方可得2+2+2+2·+2·+2·=0，所以·+·+·=-25.

4. 由=2得-=2（-），即=+，=-，所以·=2+·-2=-.

5. 解法一：设∠AOC=α（α∈[0，120°]），则·=x·+y，·=x·+y·，即cosα=x-y，cos（120°-α）=-x+y.

所以x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=2sinα+≤2.

解法二：如图5所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B-，，设∠AOC=α，则cosα=x-y，sinα=y，即x=cosα+sinα，y=sinα，所以x+y=2sinα+≤2.

图5endprint

例6 已知锐角三角形ABC中的三个内角分别为A，B，C.

（1）设·=·，求证：△ABC是等腰三角形；

（2）设向量s=2sinC，-，t=cos2C，2cos2-1，且s∥t，若sinA=，求sin-B的值.

思索 向量的数量积既反映了长度关系又体现了角度关系，它是解决三角形问题的较好方法. 因此，这类问题在高考试题中总是大量存在，复习时要引起足够的重视.

破解 （1）因为·=·，所以·（-）=0.又++=0，所以=-（+），所以-（+）·（-）=0，所以2-2=0.所以2=2，即=，故△ABC为等腰三角形.？摇

（2）因为s∥t，故2sinC2cos2-1=

-cos2C，所以sin2C=-cos2C，即tan2C=-.因为C为锐角，所以2C∈（0，π），所以2C=，解得C=. 所以A=-B，从而有sin-B=sin-B？摇-=sinA-. 又sinA=，且A为锐角，所以cosA=，所以sin-B=sinA-=sinAcos-cosAsin=.

1. 已知a，b是两个非零向量，同时满足a=b=a-b，求a与a+b的夹角.

2. 已知向量a≠e，e=1，满足：对任意t∈R，恒有a-te≥a-e，则（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e） D. （a+e）⊥（a-e）

3. 已知平面上三点A，B，C满足=3，=4，=5，则·+·+·的值等于_______.

4. 如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则·=_______.

图2

5. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°. 如图3所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是_________.

图3

参考答案

1. 根据a=b，有a2=b2，又由b=a-b得b2=a2-2a·b+b2，所以a·b=a2. 而a+b2=a2+2a·b+b2=3a2，所以a+b=a. 设a与a+b的夹角为θ，则cosθ===. 所以θ=30°.

2. 解法一：由已知，任意t∈R，恒有a-te≥a-e成立，所以a-te2≥a-e2，即a2-2ta·e+t2e2≥a2-2a·e+e2，所以t2-2ta·e+2a·e-1≥0恒成立？圳Δ≤0，即4（a·e）2-4（2a·e-1）≤0？圳（a·e-1）2≤0，所以a·e-1=a·e-e2=e·（a-e）=0，即e⊥（a-e）. 选C.

解法二：如图4所示，构造图象解题. 设=a，=e，=a-e，显然，当OB⊥BE时，a-te≥a-e恒成立.

图4

3. 注意到++=0，两边平方可得2+2+2+2·+2·+2·=0，所以·+·+·=-25.

4. 由=2得-=2（-），即=+，=-，所以·=2+·-2=-.

5. 解法一：设∠AOC=α（α∈[0，120°]），则·=x·+y，·=x·+y·，即cosα=x-y，cos（120°-α）=-x+y.

所以x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=2sinα+≤2.

解法二：如图5所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B-，，设∠AOC=α，则cosα=x-y，sinα=y，即x=cosα+sinα，y=sinα，所以x+y=2sinα+≤2.

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例6 已知锐角三角形ABC中的三个内角分别为A，B，C.

（1）设·=·，求证：△ABC是等腰三角形；

（2）设向量s=2sinC，-，t=cos2C，2cos2-1，且s∥t，若sinA=，求sin-B的值.

思索 向量的数量积既反映了长度关系又体现了角度关系，它是解决三角形问题的较好方法. 因此，这类问题在高考试题中总是大量存在，复习时要引起足够的重视.

破解 （1）因为·=·，所以·（-）=0.又++=0，所以=-（+），所以-（+）·（-）=0，所以2-2=0.所以2=2，即=，故△ABC为等腰三角形.？摇

（2）因为s∥t，故2sinC2cos2-1=

-cos2C，所以sin2C=-cos2C，即tan2C=-.因为C为锐角，所以2C∈（0，π），所以2C=，解得C=. 所以A=-B，从而有sin-B=sin-B？摇-=sinA-. 又sinA=，且A为锐角，所以cosA=，所以sin-B=sinA-=sinAcos-cosAsin=.

1. 已知a，b是两个非零向量，同时满足a=b=a-b，求a与a+b的夹角.

2. 已知向量a≠e，e=1，满足：对任意t∈R，恒有a-te≥a-e，则（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e） D. （a+e）⊥（a-e）

3. 已知平面上三点A，B，C满足=3，=4，=5，则·+·+·的值等于_______.

4. 如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则·=_______.

图2

5. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°. 如图3所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是_________.

图3

参考答案

1. 根据a=b，有a2=b2，又由b=a-b得b2=a2-2a·b+b2，所以a·b=a2. 而a+b2=a2+2a·b+b2=3a2，所以a+b=a. 设a与a+b的夹角为θ，则cosθ===. 所以θ=30°.

2. 解法一：由已知，任意t∈R，恒有a-te≥a-e成立，所以a-te2≥a-e2，即a2-2ta·e+t2e2≥a2-2a·e+e2，所以t2-2ta·e+2a·e-1≥0恒成立？圳Δ≤0，即4（a·e）2-4（2a·e-1）≤0？圳（a·e-1）2≤0，所以a·e-1=a·e-e2=e·（a-e）=0，即e⊥（a-e）. 选C.

解法二：如图4所示，构造图象解题. 设=a，=e，=a-e，显然，当OB⊥BE时，a-te≥a-e恒成立.

图4

3. 注意到++=0，两边平方可得2+2+2+2·+2·+2·=0，所以·+·+·=-25.

4. 由=2得-=2（-），即=+，=-，所以·=2+·-2=-.

5. 解法一：设∠AOC=α（α∈[0，120°]），则·=x·+y，·=x·+y·，即cosα=x-y，cos（120°-α）=-x+y.

所以x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=2sinα+≤2.

解法二：如图5所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B-，，设∠AOC=α，则cosα=x-y，sinα=y，即x=cosα+sinα，y=sinα，所以x+y=2sinα+≤2.

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