初中数学中“平面展开最短路径”教学反思

王辉

在初中数学学习过程中，会遇到各种各样的问题和阻力.平面展开求最短路径问题，便是其中之一.在学习平面几何乃至立体几何的时候，求解最短路径是最常见的问题，甚至是在一些数学竞赛及考试测验中，最短路径也是热点.每年的中考试题里，关于最短路径的问题都是必考的知识点.学生如果不能掌握解答此类问题的方法，在考试的时候往往会束手无策.想要解决这个问题，不仅要从解题思路和解答方法入手，更要让学生掌握其中所蕴涵的数学思想，学会转化问题以求取结果的要领，这样才能在不断变换的题目中紧紧抓住问题的核心，从而顺利解答.

一、基本工具

所谓的基本工具也就是常用的数学定理及公式，只有熟练掌握所需的公式及其变化形式，才能在解题的时候进行有针对的套用，避免产生多余的错误.常用的定理有：线段公理（即两点之间线段最短）和垂线性质的第二条（即垂线段最短）.

二、转化方式

基本的转化方式有化立为平和化折为直.通过将复杂问题进行变形，使得问题简单化，是转化思想的核心所在.

1.化立为平

这是在教学材料中经常出现的一种例题，求取蚂蚁在不同的几何表面爬行所经过的最短路径，这在生活中也具有很强的实用意义.通过化立为平的转化方式，将数学问题从立体变成平面，从三维过渡到二维，实现复杂问题简单化的过程.

例如，有一只蚂蚁在棱长是4的正方体ABCD-ABCD中爬行，从顶点A出发，沿长方体表面爬到点C处，这只蚂蚁怎样爬行的距离最短？最短距离是多长？

解析：蚂蚁从点A出发，爬行的路线经过不只一个平面，无法整体考虑或分部分考虑最短路线.可把蚂蚁爬行路线所经过的平面展开到同一平面，这样所要解决的问题就转化成为线段公理（两点之间，线段最短）.要考虑到立体模型的多面性，蚂蚁可爬行的最短路线不止一条，它还有可能经过其他的两个面，因此要对三种情况进行一一分析.题目中所给出的是规则的正方体，每个面都是大小相同的正方形，所以三种情况的结果相等；若遇到所给几何体并不规则，其长、宽、高都不相等，那么三种情况的结果就会有所不同，需要进行比较才能得到最短路径的结果.

2.化折为直

在很多考试中都将这类题目作为压轴的大题，它既包含了实际应用的原理，又提高了问题的复杂程度，增加了很多的迷惑性，使得学生容易产生畏难心理.通过化折为直的转化方式，利用轴对称原理可以使两折甚至多折的问题转化为简单的点对点（线段公理）、点对直线（垂线性质）的问题.

例如，要在直线燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气（A、B两点不在直线上，且到直线的距离不同）.那么泵站修在管道L的什么地方可使所用的输气管线最短？

解析：根据轴对称的性质可知，作点B关于直线L的对称点B.对称轴直线L上的任意一点到点B和点B的距离相等.AC+BC最短的问题便可转化为AC+BC最短，根据线段公理（两点之问，线段最短）可知，当点C为线段AB与直线L的交点时.AC+BC=AC+BC=AB为最短，即所用的输气管线最短.

3.互相转化

例如，平面上的∠AOB中，蚂蚁从OB上的点M出发爬到OA某处返回到OB，这样来回3次后最终爬到OB的点N处.已知∠AOB=15°，OM=1，ON=4，问蚂蚁爬行的最短路径长为多少？

解析：将这个问题转化成空间中S型来回叠合的6个角，将其展开在同一平面内，原来的路径MCDEFGN转化为展开后的MCDEFGN，由于两点之间线段最短，所以最短路径为MN.

事实上，此时“化立为平”的本质还是轴对称变换，将CD转化为CD是通过作CD关于OA的轴对称图形得到，而将DE转化为DE是通过先作DE关于OA的轴对称图形，再作关于OB的轴对称图形得到.在对称轴相交的情况下，两次轴对称相当于一次旋转，故将DE转化为DE可以想成一次旋转变换.

总之，在数学中没有任何一道题目是可以得到完美地解答的，通过不断地探索和总结，慢慢地改进和提高.化立为平和化折为直的思想就是在解决最短路径实际问题中通过不断积累所总结出来的一种转化方法.要深刻体会这两种方法所蕴含的数学思想，即转化思想.使学生在学习中亲身经历探索和发现的过程，改变传统的学习方式，培养学生的创新能力、拓展他们的思维空间.在生活中也要灵活运用转化思想，解决一些常见的难题.使学生不论在学习还是生活中都能做一个聪明而富有创造性的人，为新时期的教育道路打开崭新局面.endprint