浅谈"变化"在数学例题讲解中的应用

孙卫红

摘 要：在数学教学中，例题讲解是一个非常重要的环节。教学中对例题进行分析和解答时，注意发挥例题以点带面的功能，有意识地在例题基础上进一步引申、推广，挖掘问题的内涵和外延，并指导学生对新问题进行探索、研究，能让学生从被动学习到研究性学习，从而激发思维，启迪智慧，拓宽视野，加深对问题的理解。从问题的提出到问题的解决就是将新颖、灵活的问题转化为基本的数学知识和思想方法的思维的过程，这种思维过程可不断提高学生的数学思维水平。

关键词：数学；例题讲解

例：过定圆x2+y2=r2上一定点A（r，0）作弦，求各弦中点的轨迹方程。

答案是：x-■■+y■=■■ x≠r。

教学中，教师引导学生利用多种方法求解，进而因势利导，将题目进行改编，引导学生去探索、引申，充分发挥学生思维的能动性。

探索1 把"过圆上定点"改为"过圆内或圆外定点"，你将得到怎么样的结论？

命题1 PQ为过定圆x2+y2=r2内的一定点A（a，0） a

问题提出后，学生人人动手，个个画图，积极思索，很快得出与例题类似的结论：

x-■■+y■=■■

探索2 把求"各弦中点轨迹"改为"各弦的一个定比分点的轨迹"，结论又如何？

命题2 AB为过定圆x2+y2=r2上一定点A（r，0） 的弦，M点内分AB成3：1，求点M的轨迹方程。

答案是：x-■■+y■=■■ x≠r

探索3 将"过定点的弦"改为"定向的弦（即平行弦）或具有定长的弦"结论又怎么样？

命题3 求斜率为2的圆x2+y2=r2的一组平行弦的中点的轨迹方程。

答案是：y=-■x x≤■r

命题4 设PQ是圆x2+y2=r2 （r>3）的动弦，且PQ=6，求PQ的中点G的轨迹方程。

答案是：x2+y2=r2-9

探索4 把条件"圆"改为"椭圆"，又会得到怎么样的结论？

命题5 AB为过椭圆■+■=1 a>b>0上一定点A（a，0）的弦，求弦AB的中点G的轨迹方程。

答案是：■+■=1 x≠a

继续探索：把圆改为双曲线、抛物线或把定点改为圆锥曲线的焦点等等，由学生分析思考，单独完成。

由此及彼，由特殊到一般，由简单到复杂，步步深入，逐步提高，既避免了陷入简单的机械重复的题海战术，又使学生品尝到探索研究的乐趣，充分调动了学生参与教学活动的积极性，从而激发学生思维的创造性，起到了举一反三，触类旁通的效果。

参考文献：

[1]刘昌宏.数学例题教学活动的思考[J].数学学习与研究，2012.

[2]潘虹.数学例题的选择与讲解策略的课例研究 [J].科学教育，2006.

[3]沈威 涂荣豹.探析数学例题教学的规律 [J].教学与管理，2009.

[4]刘兴凯.数学例题教学的反思[J].科学咨询，2008.

摘 要：在数学教学中，例题讲解是一个非常重要的环节。教学中对例题进行分析和解答时，注意发挥例题以点带面的功能，有意识地在例题基础上进一步引申、推广，挖掘问题的内涵和外延，并指导学生对新问题进行探索、研究，能让学生从被动学习到研究性学习，从而激发思维，启迪智慧，拓宽视野，加深对问题的理解。从问题的提出到问题的解决就是将新颖、灵活的问题转化为基本的数学知识和思想方法的思维的过程，这种思维过程可不断提高学生的数学思维水平。

关键词：数学；例题讲解

例：过定圆x2+y2=r2上一定点A（r，0）作弦，求各弦中点的轨迹方程。

答案是：x-■■+y■=■■ x≠r。

教学中，教师引导学生利用多种方法求解，进而因势利导，将题目进行改编，引导学生去探索、引申，充分发挥学生思维的能动性。

探索1 把"过圆上定点"改为"过圆内或圆外定点"，你将得到怎么样的结论？

命题1 PQ为过定圆x2+y2=r2内的一定点A（a，0） a

问题提出后，学生人人动手，个个画图，积极思索，很快得出与例题类似的结论：

x-■■+y■=■■

探索2 把求"各弦中点轨迹"改为"各弦的一个定比分点的轨迹"，结论又如何？

命题2 AB为过定圆x2+y2=r2上一定点A（r，0） 的弦，M点内分AB成3：1，求点M的轨迹方程。

答案是：x-■■+y■=■■ x≠r

探索3 将"过定点的弦"改为"定向的弦（即平行弦）或具有定长的弦"结论又怎么样？

命题3 求斜率为2的圆x2+y2=r2的一组平行弦的中点的轨迹方程。

答案是：y=-■x x≤■r

命题4 设PQ是圆x2+y2=r2 （r>3）的动弦，且PQ=6，求PQ的中点G的轨迹方程。

答案是：x2+y2=r2-9

探索4 把条件"圆"改为"椭圆"，又会得到怎么样的结论？

命题5 AB为过椭圆■+■=1 a>b>0上一定点A（a，0）的弦，求弦AB的中点G的轨迹方程。

答案是：■+■=1 x≠a

继续探索：把圆改为双曲线、抛物线或把定点改为圆锥曲线的焦点等等，由学生分析思考，单独完成。

由此及彼，由特殊到一般，由简单到复杂，步步深入，逐步提高，既避免了陷入简单的机械重复的题海战术，又使学生品尝到探索研究的乐趣，充分调动了学生参与教学活动的积极性，从而激发学生思维的创造性，起到了举一反三，触类旁通的效果。

参考文献：

[1]刘昌宏.数学例题教学活动的思考[J].数学学习与研究，2012.

[2]潘虹.数学例题的选择与讲解策略的课例研究 [J].科学教育，2006.

[3]沈威 涂荣豹.探析数学例题教学的规律 [J].教学与管理，2009.

[4]刘兴凯.数学例题教学的反思[J].科学咨询，2008.

摘 要：在数学教学中，例题讲解是一个非常重要的环节。教学中对例题进行分析和解答时，注意发挥例题以点带面的功能，有意识地在例题基础上进一步引申、推广，挖掘问题的内涵和外延，并指导学生对新问题进行探索、研究，能让学生从被动学习到研究性学习，从而激发思维，启迪智慧，拓宽视野，加深对问题的理解。从问题的提出到问题的解决就是将新颖、灵活的问题转化为基本的数学知识和思想方法的思维的过程，这种思维过程可不断提高学生的数学思维水平。

关键词：数学；例题讲解

例：过定圆x2+y2=r2上一定点A（r，0）作弦，求各弦中点的轨迹方程。

答案是：x-■■+y■=■■ x≠r。

教学中，教师引导学生利用多种方法求解，进而因势利导，将题目进行改编，引导学生去探索、引申，充分发挥学生思维的能动性。

探索1 把"过圆上定点"改为"过圆内或圆外定点"，你将得到怎么样的结论？

命题1 PQ为过定圆x2+y2=r2内的一定点A（a，0） a

问题提出后，学生人人动手，个个画图，积极思索，很快得出与例题类似的结论：

x-■■+y■=■■

探索2 把求"各弦中点轨迹"改为"各弦的一个定比分点的轨迹"，结论又如何？

命题2 AB为过定圆x2+y2=r2上一定点A（r，0） 的弦，M点内分AB成3：1，求点M的轨迹方程。

答案是：x-■■+y■=■■ x≠r

探索3 将"过定点的弦"改为"定向的弦（即平行弦）或具有定长的弦"结论又怎么样？

命题3 求斜率为2的圆x2+y2=r2的一组平行弦的中点的轨迹方程。

答案是：y=-■x x≤■r

命题4 设PQ是圆x2+y2=r2 （r>3）的动弦，且PQ=6，求PQ的中点G的轨迹方程。

答案是：x2+y2=r2-9

探索4 把条件"圆"改为"椭圆"，又会得到怎么样的结论？

命题5 AB为过椭圆■+■=1 a>b>0上一定点A（a，0）的弦，求弦AB的中点G的轨迹方程。

答案是：■+■=1 x≠a

继续探索：把圆改为双曲线、抛物线或把定点改为圆锥曲线的焦点等等，由学生分析思考，单独完成。

由此及彼，由特殊到一般，由简单到复杂，步步深入，逐步提高，既避免了陷入简单的机械重复的题海战术，又使学生品尝到探索研究的乐趣，充分调动了学生参与教学活动的积极性，从而激发学生思维的创造性，起到了举一反三，触类旁通的效果。

参考文献：

[1]刘昌宏.数学例题教学活动的思考[J].数学学习与研究，2012.

[2]潘虹.数学例题的选择与讲解策略的课例研究 [J].科学教育，2006.

[3]沈威 涂荣豹.探析数学例题教学的规律 [J].教学与管理，2009.

[4]刘兴凯.数学例题教学的反思[J].科学咨询，2008.