预应力混凝土结构反向思维计算法

何 鵕，孙 丽

（河北省水利水电勘测设计研究院，天津300250）

1 反向思维法内涵

反向思维法是以结构计算求出的控制截面边缘应力为依据，通过反向思维推导出该截面受压区及受拉区应施加的预压力N′p及Np，相应构件抗裂验算边缘纤维产生了混凝土法向预应力σpc及相应受压区混凝土边缘纤维产生了法向预拉应力σ′pc；以σpc平衡在荷载标准值作用下控制截面受拉区混凝土边缘纤维产生的拉应力σck，以σ′pc平衡在自重荷载作用下受压区混凝土边缘纤维产生的压应力σcc；根据选用的钢绞线的强度指标可直接计算出构件受压区和受拉区的预压力N′p、Np及相应的钢绞线的根数n′、n，一步到位，此法称预应力混凝土结构反向思维计算法。

2 公式的建立

根据SL 191—2008 《水工混凝土结构设计规范》，采用“化整为零”的方法，将式中的总预压力Np分解为受压区的预压力N′p及受拉区的预压力Np，各自在受压区及受拉区混凝土边缘纤维产生了法向预应力σ′1、σ1及σ′2、σ2，由此找出受压区混凝土边缘纤维的法向预应力σ′pc=σ′1+σ′2及受拉区混凝土边缘纤维的法向预应力σpc=σ1+σ2。

在混凝土构件受压区施加有效预压力N′p时，对截面重心取矩，如图1。

图1 钢绞线配置计算图

计算截面受压区及受拉区混凝土边缘纤维产生的法向应力为：

式中 N′p受压区施加的扣除全部应力损失后的有效预压力合力（kN）；σ′1、σ1为受压区施加预压力N′p时，受压区、受拉区混凝土边缘产生的法向预应力（N/mm2）；An为构件净截面面积（m2）；yn为净截面重心至受压区边缘纤维的距离（m）；a′p为受压区施加预压力筋的保护层（mm）；In为净截面的惯性矩（m4）；h为梁高（m）。

在混凝土构件受拉区施加有效预压力Np时，对截面重心取矩，计算截面受压区及受拉区混凝土边缘纤维产生的法向应力为：

式中 Np为在构件受拉区施加的扣除全部应力损失后的有效预压力合力（kN）；σ′2、σ′2为受拉区施加预压力Np时，受压区、受拉区混凝土边缘产生的法向预应力（N/mm2）；h0为截面受拉区有效预压力合力至梁顶高度（m）。

预应力状态如图2。

图2 预应力状态

在N′p（z）、Np（z）共同作用下，控制截面上的应力分布呈三角形，如图2（a），受拉区预应力σpc=σ1+σ2时，受压区预应力σ′pc=σ′1+σ′2=0。

式（3）两边同时乘以An：

令

式（4）简化后为：

式中 受拉区及受压区施加有效预压力Np（z）、N′p（z），令受压区混凝土边缘纤维法向预应力为零时，e 为受拉区与受压区有效预压力的比例系数；受压区混凝土边缘纤维法向预应力为零时，α1、α2为受拉区、受压区几何力学指标系数。

当受拉区σpc=σ1+σ2，受压区σ′pc=σ′1+σ′2=0 时，构件受拉区与受压区预压力Np（z）与N′p（z）两者关系：

当σ′1+σ′2=0 时，受拉区混凝土边缘法向预应力：

当控制截面上的应力分布如图2（b）时，构件受压区及受拉区施加的预压力分别为N′p（t）、Np（t），受压区混凝土边缘纤维预应力σ′pc=σ′1+σ′2，受拉区混凝土边缘纤维预应力σpc=σ1+σ2=0，则有：

式（10）两边同时乘An：

令

式（10）化简后为：

相应受压区施加预压力N′p（t），受拉区施加预压力Np（t），受拉区混凝土边缘纤维的法向预应力σpc为零，受压区混凝土边缘纤维的法向预应力为σ′pc，受压区与受拉压区施加的预压力的比例系数为：

式中 受压区及受拉区施加有效预压力N′p（t）、Np（t），令受拉区混凝土边缘纤维预应力为零时，e′为受压区与受拉区有效预压力的比例系数；受拉区混凝土边缘法向预应力为零时，α′1、α′2为受拉区、受压区几何力学指标系数。

当受拉区σpc=σ1+σ2=0，受压区σ′pc=σ′1+σ′2时，构件受压区与受拉区预压力N′p（t）与Np（t）两者关系：

当σ1+σ2=0 时，受压区混凝土边缘纤维法向预应力：

3 钢绞线配置准用值计算

在梁构件受拉区混凝土边缘纤维法向预应力σpc=-σck的前提下，在受压区混凝土边缘纤维法向预应力σ′pc为零时，计算出梁构件受拉区及受压区配置钢绞线的数量n1、n′1，称其为钢绞线准用值。

令σpc=σ1+σ2=-σck，即对梁构件的受拉区边缘纤维施加的预应力σpc与受压区边缘纤维施加的预应力σ′pc=0，构件在荷载标准值作用下σpc与抗裂验算混凝土边缘纤维法向拉应力σck大小相等，受力方向相反。准用值预应力状态如图2（a）。

按照σpc=-σck配置钢绞线。现将式（1）～式（2）中的σ1及σ2相加与-σck列出下列方程：

将式（8）代入式（17）。在满足构件受拉区σck+σpc=0 时，受压区应施加的有效预压力准用值：

式中符号同前，参数α′1、α′2及e 可通过excel表进行计算，受拉区应施加的有效预压力Np（z）用式（8）求得。

4 钢绞线配置替代值计算

梁构件受拉区边缘纤维的法向预应力为零，即σpc=σ1+σ2=0，受压区混凝土边缘纤维的法向预应力σ′pc等于在自重荷载标准值作用下受压区混凝土边缘纤维法向正应力-σcc，即σ′pc=σ′1+σ′2=-σcc，在此情况下，计算出梁构件受拉区及受压区配置钢绞线的数量n2、n′2称钢绞线替代值。

在σpc=σ1+σ2=0 的情况下，即梁构件受压区预应力σ′pc=-σcc，替代值预应力状态如图2（b）。计算截面受压区及受拉区施加的预压力N′p（t）、Np（t）和配置的钢绞线的数量n′2、n2。对于预应力混凝土构件来说，施工期受压区混凝土边缘纤维的压应力σcc是一种潜在的能量，应充分利用，它可以替代一部分钢绞线，同时也改善了预应力混凝土结构的受力状态。

按照σ′pc=-σcc配置钢绞线。现将式（1）～式（2）中的σ′1及σ′2相加与σ′pc=σcc列出下列方程：

将式（15）代入式（19）求解。在满足构件受压区σcc+σ′pe=0 时，受拉区有效预压力替代值为：

式（20）中的Np（t）及用式（15）计算出的N′p（t）为有效预压力替代值。

计算中，当替代值时n′2>n′1，说明σcc压力有富裕，取n′2=n′1，n′=0，此时，受压区不必设置预应力钢绞线。

5 预应力钢绞线根数计算

前面计算出的预压力Np及N′p，其相应的钢绞线的数量就是通过每根钢绞线扣除预应力损失后平均有效预压力计算的。

式中 Aps为一根钢绞线的截面积（mm2/根）；σcon为预应力筋张拉时的控制应力（N/mm2）；Np、N′p为受拉区、受压区每根钢绞线扣除预应力损失后，平均有效预压力（kN/根）；μp、μ′p为结构控制截面受拉区或受压区钢绞线总预应力损失率。

需要说明的是，梁受压区及受拉区施加的有效预压力N′p及Np，必须用扣除预应力损失后的单根钢绞线的预压力计量钢绞线的根数，见式（22）、式（22′）。

直埋钢绞线总预应力损失率μ′p为15%～16%，曲线钢绞线总预应力损失率μp为直线钢绞线总预应力损失率的1.1 倍。这是后张法预应力混凝土简支梁两端张拉控制截面计算出的总预应力损失率。

6 设计流程

已知构件控制截面上下边缘应力σcc、σck及相关截面参数h、hp、An、In、y、a′p。

计算分以下3 步：

（1）由式（5）、式（7）、式（12）、式（14）计算出与预应力相关参数α1、α2、α′1、α′2、e 及e′。

（2）将参数代入式（18）、式（8）、式（20）、式（15），可求出结构受压区及受拉区预压力准用值N′p（z）、Np（z）及替代值Np（t）及N′p（t）。

（3）准用值减去替代值之后，即为结构受拉区及受压区预压力设计值N′p（s）及Np（s），通过式（21）、式（21′）及式（22）、式（22′）计算出受压区及受拉区钢绞线的根数n′及n。

7 实例

以泲河渡槽中纵梁为例，梁长L=30m，计算跨度l0=27.5m，悬臂长l1=1.25m，梁高h=8.4m。

7.1 主要技术指标

1 级混凝土建筑物，偶然组合承载力安全系数K=1.15，钢绞线强度标准值fptk=1860N/mm2，张拉控制应力σcon=0.75fptk=1395N/mm2，钢绞线公称直径准s15.2mm，每根钢绞线的有效预压力Np=-151.0kN/根，N′p=-165.4kN/根，净截面面积An=9.51m2，净截面惯性矩In=67.62m4，钢绞线弹性模量Ep=1.95×105N/mm2，净截面重心至梁顶距离yn=4.86m，截面受拉区有效预压力合力高度h0=8.05m，受压区预压力钢绞线保护层a′p=0.25m。

标准荷载下混凝土抗裂边缘纤维拉应力σck=3.68N/mm2，受压区压应力σc=-5.05N/mm2。

7.2 计算步骤

（1）用式（5）、式（7）、式（12）、式（14）计算相关参数。α′1=1.59，α′2=2.29，e′=2.00，α1=2.18，α2=3.14，e=3.52。

（2）用式（18）、式（8）、式（20）、式（15）计算相关参数。N′p（z）=-6864.4kN，Np（z）=-24190.5kN；N′p（t）=-4913.4kN，Np（t）=-2453.17kN。

（3）准用值减替代值N′p（s）=-1950.96kN，Np（s）=-21737.29kN。通过式（21）、式（21′）及式（22）、式（22′）求出构件受压区及受拉区钢绞线的根数n′=12根，n=144 根。

计算结果表明，受压区施加预压力-1950.96kN，钢绞线12 根；受拉区施加预压力-21737.29kN，钢绞线144 根。

标准荷载下抗裂边缘混凝土纤维拉应力σck=3.68N/mm2，设防按σck=5.65N/mm2；标准荷载下受压区压应力σc=-5.05N/mm2，自重标准荷载下受压区压应力σcc=-1.84N/mm2，受压区混凝土边缘纤维预拉应力［σ′pc］=-σcc=1.84N/mm2，实际在标准荷载下，受压区压应力σ′=-3.21N/mm2，如图3（c），满足设计要求。

图3 预应力与荷载应力叠加状态

用该法计算出的钢绞线数量比泲河渡槽中纵梁最终设计成果少5 根，误差为3.1%。此法完全可以用在预应力混凝土结构初步设计阶段。依此布置钢绞线，在此基础上再作进一步优化。

8 结语

根据SL191—2008《水工混凝土结构设计规范》给出的预应力混凝土边缘纤维法向应力的基本公式，通过反向思维，按结构力学方法确定混凝土受压区边缘应力σck及施工期受压区混凝土边缘压应力σcc，使受拉区预压应力σpc=-σck，受压区预拉应力［σ′pc］=-σcc，直接求出结构受压区及受拉区应施加的预压力N′p（s）、Np（s）及相应钢绞线的根数n′、n。此方法改变了用预压力合力求解预应力的概念，概念清楚，方法简捷，便于应用。

［1］SL 191—2008，水工混凝土结构设计规范［S］.

［2］牛桂林，何鵕，宋宝生.预应力混凝土结构后张法钢绞线计算方法［J］.水利水电技术，2005（6）.

［3］孙丽.浅谈预应力混凝土力筋配置［J］.中国水利水电市场，2010（9）.

［4］杜拱辰.现代预应力混凝土结构［M］.北京：中国建筑工业出版社，1988.

［5］周氐.水工混凝土结构设计手册［K］.北京：中国水利水电出版社，2002.