从特殊到一般探明数列迷宫

陶华

摘 要： 从特殊入手研究数列的性质，再扩大到一般，有利于培养学生良好的思维习惯，提高分析问题和解决问题的能力.

关键词： 函数与数列 特殊到一般 类比归纳

数列的学习在整个高中数学中比重很大，难度不小，重在培养学生的观察、分析、归纳、猜想、推理能力，以及知识、方法的迁移能力，使学生逐步养成细心观察、认真分析、善于总结的好习惯.这所迷宫以等差数列、等比数列为基石，复杂多变，让很多学生都难以捉摸.数列的通项和前项和是问题的关卡，从特殊到一般[1]，运用已有的认知结构，才能打通新问题的转化路径.

1.探求数列通项

数列作为一种特殊的函数，数列的通项公式是相应的函数解析式.研究函数性质主要是抓住函数解析式，所以研究数列性质时经常需要求出数列的通项公式.

案例1：已知数列{a■}中首项a■=a，满足a■=a■+n+1，求数列{a■}的通项.

解法一：（累加法）移项得a■-a■=n+1，有a■-a■=2，a■-a■=3，…，a■-a■=n，变形相加得a■-a■=■-1（n≥2）；当n=1时，也适合左边的等式.所以a■=■+a-1.

解法二：（待定系数法）设a■=x·n■+yn+z，依次求出前四项为a，a+2，a+5，a+9，代入解出x=■，y=■，z=a-1，则a■=■+a-1.代入验证，递推公式成立.

解法一对多个等式进行累加消去，转化为一般项a■与首项a■的关系，进而表示通项公式.解法二是建立在解法一的基础上，通过观察分析通项结果形式，直接设通项公式的类型，由特殊几项求出系数，得到一般项的公式，即通项公式.不妨推广到一般情况.

推广1：已知数列{a■}中首项a■=a，满足a■=a■+kn+p（其中k，p为常数），求数列{a■}的通项.

分析：设a■=A·n■+Bn+C，依次求出前四项为a，a+k+p，a+3k+2p，a+6k+3p，代入解出A=■，B=p-■，C=a-p.代入验证，递推公式成立.当k=p=1时，与案例1吻合.当k=0时，a■=a■+p，则{a■}是等差数列，此时A=0，B=p，C=a-p.

等差数列是一类重要的数列模型，从函数角度看，等差数列是一次型函数[2].推广1数列是二次型函数，数列的后一项减前一项，组成的新数列是等差数列，这样的数列被称为二级等差数列，形象地称差后等差数列，比如3，7，12，18，25，….等差数列求和后得到的数列{S■}满足S■-S■=a■（n≥2），所以{S■}是二级等差数列.从公式S■=na■+■d可看出等差数列的前n项和是二次型函数.类似的，三级等差数列是三次型函数，比如1，10，31，70，133，…通项公式为a■=n■+2n-2.从递推关系的特征入手，由特殊到一般，确定数列的通项公式.这样的方法同样适用数列的前n项和问题.

2.研究等比数列

等比数列是刻画离散现象的重要数学模型，可帮助解决很多实际问题，比如生活中的分期付款、资产折旧等，数学上的分形几何等.从函数角度看，等比数列是指数型函数，可类比等差数列进行分析.

案例2：已知数列{a■}中首项a■=a，满足a■=2a■+n+1，求数列{a■}的通项.

解法一：（构造法）令a■+x（n+1）+y=2（a■+xn+y），与已知递推公式比较，解出x=1，y=2，从而转化为新数列{b■}，b■=a■+n+2，新首项b■=a+3.若a=-3即b■=0，则b■=0，即新数列是等差数列，所以a■=-n-2，也是等差数列；若a≠-3即b■≠0，则新数列是公比为2的等比数列，所以b■=b■·2■=（a+3）·2■，得出a■=（a+3）·2■-n-2.分类讨论后对比两个公式，数列{a■}可以统一为a■=（a+3）·2■-n-2.

解法二：（待定系数法）设a■=x·2■+yn+z，依次求出前四项为a，2a+2，4a+7，8a+18，代入解出x=■，y=-1，z=-2，则a■=（a+3）·2■-n-2.代入验证，递推公式成立.

推广2已知数列{a■}中首项a■=a，满足a■=qa■+kn+p（q≠0且q≠1，k，p为常数），求数列{a■}的通项.

分析：设a■=A·q■+Bn+C，依次求出前三项为a，qa+k+p，q■a+q（k+p）+2k+p，代入解出A=■+■-■，B=■，C=■-■.代入验证，递推公式成立.

当q=2，k=1，p=1时，与案例2吻合.当q=2，k=0，p=1时，a■=2a■+1，A=■，B=0，C=-1，有a■=（a+1）·2■-1.当q=2，k=0，p=0时，a■=2a■，则{a■}是等比数列（首项a≠0），此时A=■，B=C=0，a■=a·2■.

3.反思分析

等比数列求和的第一步是辨清q=1还是q≠1，若q=1则数列也是公差为0的等差数列，称为常数列.在推广2中若q=1，推广2的结论将没有意义，要回到推广1.在实际教學中，学生总会忽视对公比的讨论.

在案例2解法一的构造过程中，需要对{a■}的首项分两种情况讨论，因为这直接影响新数列{b■}的类型，以及原数列{a■}的性质.在推广2中令A=0，即a=■-■时，{a■}是关于的一次函数，所以{a■}是等差数列.当a≠■-■即A≠0时，a■表达式中含有q■项，也就是说a■不是关于n的一次函数，所以{a■}不是等差数列.所以对于同一个递推关系，首项的异样会导致数列性质的不同.特别是在填空题中，检验核对前三项，可避免计算错误，减少低级问题，比如首项不符的分段数列.

参考文献：

[1]杨鹏飞.例谈从特殊到一般思维方法的培养[J].数学学习与研究，2011（19）.

[2]梁长会，任宪伟.多角度求解一类等差数列客观题[J].数学通讯，2013（17）.