基于耐撞性的多学科近似模型预测精度研究
2014-11-21吴光强郭建波
吴光强 郭建波
摘 要：以整车100%正面碰撞有限元模型为基础研究了三种近似模型的预测精度，分析并选取前部结构中对汽车碰撞安全性影响较大的12个部件厚度为变量，利用最优拉丁超立方试验设计方法生成80个样本数据并进行计算，应用多学科优化中常用的二次多项式响应面（Quadratic Polynomial Response Surface， QPRS）、Kriging以及径向基函数（Radial Basis Function，RBF）三种近似方法分别对选取部件的总质量、吸收总能量、B柱最大加速度和踏板侵入量建立近似模型。结果表明：RBF近似方法对部件总质量、吸收总能量、B柱最大加速度预测精度高于其他两种方法，Kriging近似方法对踏板侵入量预测模型具有较好的精度，QPRS近似方法适合于部件总质量的近似建模。
关键词：耐撞性；二次多项式响应面模型；Kriging模型；RBF模型；预测精度
中图分类号：U462.2 文献标志码：A 文章编号：1005-2550（2014）02-0006-07
随着社会经济的发展，汽车保有量的增加导致交通事故不断增加，因此汽车安全性受到了前所未有的重视。在整车碰撞安全性设计过程中，有限元分析方法已经得到了广泛的应用。虽然随着计算机的硬件与软件水平的提高，有限元分析方法已经成为解决汽车碰撞安全性的重要手段，但是传统的有限元优化方法主要是建立在设计人员经验之上，难以找到整车碰撞性能的最优解[1]。近些年来发展起来的多学科优化设计可以通过试验设计方法（Design of Experiment， DOE）减少试验数量，通过在设计空间内建立响应面或者类似的近似模型对整车碰撞性能进行优化，找到整车碰撞安全性的最优解。
在过去十年已有许多研究人员对多学科近似模型在整车正面碰撞安全性中的应用进行了研究。其中Shujuan Hou[2]利用二次多项式响应面模型对整车正面碰撞进行优化；王国春[3]利用Kriging模型对汽车前部结构的耐撞性进行了优化；陈国栋[4]利用径向基函数对整车正面碰撞进行了多学科的优化；F. FANG[5]对二次多项式响应面和RBF模型在整车正面碰撞中的预测精度进行了比较；J. Forsberg[6]利用响应面模型和Kriging模型对防撞梁结构进行了优化。在已有的研究中，大部分研究人员只是将单一或者两种近似模型应用到整车的正面碰撞中进行预测精度的研究，而对于常用的三种近似模型预测精度以及三种建模方法的适用范围没有进行详细的对比研究。
本文根据整车正面碰撞过程中零部件的总吸能和吸能密度大小选取了前部结构的12个零件（8个变量），利用最优拉丁超立方试验设计方法进行了80组数据采样，选取了正面碰撞中使用较多的三种多学科近似模型：二次多项式响应面、Kriging以及RBF模型分别对12个部件总质量、吸收总能量、B柱最大加速度以及踏板侵入量值构造近似模型，比较了三种近似模型的预测精度，分析得到三种近似模型在整车正面碰撞时的适用范围。
1 三种近似模型的基本理论
1.1 多项式响应面模型
多项式响应面（Polynomial Response Surface，PRS）
最初被应用于物理试验的拟合，后来在结构优化领域得到应用。利用回归分析和方差分析决定设计变量和响应间的关系。在多项式响应面模型中常用的主要有可以提供设计变量和响应之间的显式关系的一次和二次多项式响应面模型。本文中将采用二次多项式响应面模型，其矩阵表达式为：
（1）
式中：f=[f1 f2…fn]T为响应量组成的向量；
为所有基函数组成的矩阵；
β=[β1 β2…βm]T为所有基函数系数组成的向量，其中m为待定系数的个数，n为样本点的数量。
利用最小二乘法可求出向量β ：
（2）
1.2 Kriging模型
Kriging是一种距离加权的插值近似方法，它以已知样本信息的动态构造为基础并充分考虑到变量在空间上的相关特征，通过建立对象问题的近似函数关系来预测未知点。Kriging模型有两部分组成：其矩阵表达式为：
（3）
式中：f=[f1 f2…fm]，β=[β1 β2…βm]T，m为基函数（如常数项、一阶或二阶多项式）的数目；Y是矩阵x的已知函数；β为基函数系数的矢量；Z为随机分布的误差，其均值为0，方差为σ2，协方差为：
（4）
式（3）中fβ表示设计空间中的全局模型，类似于响应面中的多项式模型。式（3）中的Z用于建立偏离fβ的模型，因此整个模型对试验设计产生的样本点进行插值。
1.3 径向基函数模型
径向基函数神经网络，简称径向基函数（Radial Basis Function，RBF），是以径向函数通过基函数线性叠加构造的模型。径向基的矩阵形式为：
（5）
式中：f=[f1 f2…fn]T；Ai，j=φ（‖xi-xj‖）（i=1，2…n， j=1，2…n），‖x-xi‖为欧几里德（Euclidean）距离，φ为基函数；λ=[λ1λ2…λn]T 为基函数系数，n为样本点数量。
径向基函数近似模型的特性很大程度上依赖于基函数，常用的基函数有薄板样条函数（Thin-plate spline）、高斯函数（Gaussian）、多二次函数（Multiquadric）、逆多二次函数（Inverse multiquadric）。当采用高斯或逆多二次函数时，预测模型具有局部估计的特点，而采用薄板样条或者多二次函数时，模型具有全局估计的特点。
2 试验设计方法
试验设计中样本点的选取与近似模型的精度具有相关性，合理的安排试验才能以最少的试验次数最真实的反应设计对象随设计变量的变化趋势。endprint
本文所采用的试验设计方法为最优拉丁超立方设计（Optimal Latin hypercube design，OLHD），OLHD是在采样空间中将每一个设计变量分成n个间隔（水平），首先在每个变量的n个等间隔中随机选取一个不重复的间隔，按均匀分布随机产生一个样本点，循环n次，即可得到n个样本点。与其他传统的试验设计方法相比，最优拉丁超立方设计使所有的试验点尽量均匀地分布在设计空间，尤其是对于小样本设计具有非常好的的空间填充性和均匀性[7]。图1为利用拉丁超立方设计（LHD）与OLHD对两因素9水平问题的研究，观察9个采样点的分布，可以发现OLHD在设计空间内分布更均匀，在同样条件下减少试验设计的样本数量。
a）随机拉丁超立方 b）最优拉丁超立方
图1 随机拉丁超立方设计和最优拉丁超立方设计
3 常用误差分析指标
近似模型的预测精度直接影响多学科最优解的有效性。模型精度越高，基于近似模型的多学科优化最优解的可信度也越高。所以，建立近似模型后需要对近似模型的整体精度进行评价，常用评价指标有确定性系数（Coefficient of Determination，R2）、均方根误差（Root Mean Squared Error，RMSE），其数学表达式如下：
（6）
或：
（7）
（8）
式中：yi为测试样本点的实际响应值；yi为近似模型的预测值；yi为实际响应值的均值；ntest为测试样本的数量。
4 实例应用及结果分析
4.1 整车正面碰撞有限元模型
图2 整车碰撞有限元模型
本文使用整车有限元模型进行正面100%重叠刚性壁障碰撞仿真，整车质量1.665 t，包含105万个单元和93万个节点。整车以56.5 km/h的速度撞击刚性墙。在不影响分析结果的条件下为了减少整车碰撞有限元模型的计算时间将原来的计算时间由150 ms缩短为100 ms。整车有限元模型如图2所示。
4.2 设计变量与设计响应量选择
汽车的正面碰撞必须满足相关的国家法规，而且随着消费者对汽车安全性的重视，更加严格的新车评价标准（New Car Assessment Program，NCAP）已经成为消费者选择汽车的一个重要参考指标。根据NCAP的评价指标，整车在正面碰撞过程中，应该使前部结构能充分变形，最大可能的吸收能量，降低B柱的加速度最大值。同时为了满足汽车轻量化的要求，在设计过程中不能过多的增加吸能部件总质量。
表1 变量的初始值以及上下限
图3 设计变量
依据碰撞中变形与吸能最大的原则，在原车碰撞有限元模型中根据零部件吸能总能量和吸能密度大小两种原则选取了车身前部的12个部件的8种板料厚度（对称部件用一个厚度变量）作为正面碰撞的设计变量，所选择的8个变量初始值及上下限如表1所示，变量对应的零部件位置如图3所示。根据乘员安全性和车身轻量化原则，文中以12个部件总质量m、吸收总能量E、B柱最大加速度值aB以及踏板侵入量In为碰撞后的响应值。
4.3 模型预测精度分析
由于整车碰撞有限元模型的计算成本较高，采用最优拉丁超立方试验设计方法对设计空间进行了10n（小样本）次采样，其中n为设计变量个数，最后共计选取了80组训练样本点。
每个训练样本点应用LS-DYNA软件进行计算，每次正面碰撞有限元模型计算仿真耗时约10小时左右，经过800小时的计算得到全部训练样本点的仿真结果。对80组训练样本点的仿真结果提取整车正面碰撞部件总质量m，吸收总能量E、B柱最大加速度aB以及踏板侵入量In，利用二次多项式响应面、Kriging以及RBF模型对三种响应量分别建立近似模型，得到12组近似模型。
由于Kriging是一种精确的插值技术，模型精确通过样本点[3]，而根据RBF的定义，RBF也具有相同的特性[5]，所以这两种模型在训练样本点处的拟合误差基本为0。故若对三种模型进行预测精度的评估，需额外选取检测点对模型的预测精度进行评价。本文在80组训练样本点之外随机选取了15组数据进行近似模型预测精度的评价。
通过15组检测点得到12组近似模型的确定性系数R2以及均方根误差RMSE，12组近似模型的预测值与有限元模型计算出来的实际值的分布如图4所示。对于确定性系数R2的值越接近1，近似模型的预测精度越高，而对于均方根误差RMSE的值越小，模型的精度越高。在表2中列出了通过15个检测点得到的近似模型对四种响应量的R2和RMSE值。
从图4中的样本点分布可以看出，对于三种类型的近似模型，部件总质量m的预测精度最高，吸收总能量E与B柱最大加速度aB次之，踏板侵入量In精度最差，从表2的数据上也可以得出相同的结论。分析原因主要是因为前部结构质量m完全取决于12个部件的厚度，所以与变量之间主要成线性关系；而对于吸收总能量E不仅与零部件的厚度有关系，且与部件的形状有一定的关系，所以其具有弱非线性的特征；而影响车身B柱最大加速度aB和踏板侵入量In的因素最多，呈现出了强非线性的特性，所以可以得到三种近似模型对于响应量的预测精度会随着非线性程度的增强而出现下降的趋势，在图4中的表现为随着非线性程度的增加，检测样本点沿着直线两侧的分布更加分散。
从三种近似模型对于部件总质量m的预测精度中可以看出，RBF与二次多项式响应面的预测精度高于Kriging模型，从图4中可以看到RBF和二次多项式响应面模型样本点基本分布在直线之上。分析原因主要是由于RBF模型对于样本点具有较强的容错功能，即使样本中含有“噪声”输入，也不会影响网络的整体性能，而二次多项式响应面模型近似过程中并不是通过每个样本点，也同样具有过滤噪点的功能，但是Kriging模型需要通过每个样本点，所以对于样本中的噪点不具有过滤功能。endprint
对于零部件吸收总能量E，随着非线性程度的增加，三种近似模型的预测精度都有所降低，但是Kriging模型的预测精度相对于其他两种近似模型预测精度相对会增加。
B柱最大加速度aB和踏板侵入量In具有强非线性的特点，从预测精度的值可以看出，RBF预测精度最好，Kriging其次，而且Kriging模型的预测精度已经更加接近RBF模型的精度，尤其在踏板侵入量的预测精度中已超越RBF的预测精度，但二次多项式响应面的预测精度最差，从图4的分布上也可以得出这样的结论。
通过以上分析，可以得出以下相应的结论，在多维度小样本的条件下，文中选择的三种近似模型中，RBF模型在线性、弱非线性和强非线性的情况下都具有较好的预测精度，这与R. Jin[8]所得到的结论相同；Kriging模型在弱非线性和强非线性的预测精度次于RBF模型，二次多项式响应面模型在线性情况下具有较好的预测精度。
表3 三种近似模型适用范围
考虑到构建三种近似模型所需的时间：RBF最长，Kriging模型次之，二次多项式模型时间最短，对于B柱最大加速度aB近似建模二次多项式时间约为0.5 s，Kriging约为1.7 s，RBF约为35 s。所以在构建部件总质量m近似模型时可以考虑使用二次多项式模型，在建立吸收总能量E和B柱最大加速度aB近似模型时可以考虑使用RBF近似模型来提高预测的精度。三种模型的适用范围如表3所示。
5 结论
本文结合最优拉丁超立方试验设计方法、三种近似模型构建方法以及整车正面碰撞有限元模型，分析了三种近似模型在整车正面碰撞中的预测精度使用范围，得出以下结论：
（1）随着响应量非线性程度的增加，三种近似模型的预测精度都会降低，QPRS近似方法的降低程度最大；
（2）在讨论的三种近似方法中，RBF方法在三种响应量的近似建模中预测精度都比较好，Kriging方法在吸收总能量E和B柱最大加速度aB近似中精度小于RBF方法但是高于QRPS方法，Kriging模型适用于踏板侵入量In建模，QRPS方法只有在建立部件总质量m时具有较高的精度；
（3）综合考虑三种方法的建模精度和建模时间两个因素，得到在整车100%正面碰撞工况下RBF方法适合于建立B柱最大加速度aB和吸收总能量E模型，Kriging适用于建立踏板侵入量模型，QPRS适合于建立部件总质量m模型。
参考文献：
[1]张勇，李光耀，钟志华.基于移动最小二乘响应面法的整车轻量化设计优化[J].机械工程学报，2008， 44（11）：192-196.
[2]Shujuan Hou， Duo Dong， Lili Ren， et al. Multivariable crashworthiness optimization of vehicle body by unreplicated saturated factorial design[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2012， 46（6）：891-905.
[3]王国春，成艾国，胡朝辉，等.基于Kriging模型的汽车前部结构的耐撞性优化[J].汽车工程，2011， 33（3）：208-212.
[4]陈国栋，韩 旭，刘桂萍，等.基于自适应径向基函数的整车耐撞性多目标优化[J].中国机械工程，2011，22（40）：488-493.
[5]H Fang， M Rais-Rohani， Z Liu， M F Horstemeyer. A comparative study of metamodeling methods for multiobjective crashworthiness optimization[J]. Computers & Structures， 2005， 83（25-26）：2121-2136.
[6]J.Forsberg， L.Nilsson. On polynomial response surfaces and Kriging for use in structural optimization of crashworthiness[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2005， 29（3）：232-243.
[7]Xingtao Liao， Qing Li， Xujing Yang， Weigang Zhang， Wei Li. Multiobjective optimization for crash safety design of vehicles using stepwise regression model [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2008， 35（6）：561-569.
[8]R Jin， W Chen， T W Simpson. Comparative studies of metamodelling techniques under multiple modeling criteria[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2001， 23（1）：1-13.endprint
对于零部件吸收总能量E，随着非线性程度的增加，三种近似模型的预测精度都有所降低，但是Kriging模型的预测精度相对于其他两种近似模型预测精度相对会增加。
B柱最大加速度aB和踏板侵入量In具有强非线性的特点，从预测精度的值可以看出，RBF预测精度最好，Kriging其次，而且Kriging模型的预测精度已经更加接近RBF模型的精度，尤其在踏板侵入量的预测精度中已超越RBF的预测精度，但二次多项式响应面的预测精度最差，从图4的分布上也可以得出这样的结论。
通过以上分析，可以得出以下相应的结论，在多维度小样本的条件下，文中选择的三种近似模型中，RBF模型在线性、弱非线性和强非线性的情况下都具有较好的预测精度，这与R. Jin[8]所得到的结论相同；Kriging模型在弱非线性和强非线性的预测精度次于RBF模型，二次多项式响应面模型在线性情况下具有较好的预测精度。
表3 三种近似模型适用范围
考虑到构建三种近似模型所需的时间：RBF最长，Kriging模型次之，二次多项式模型时间最短，对于B柱最大加速度aB近似建模二次多项式时间约为0.5 s，Kriging约为1.7 s，RBF约为35 s。所以在构建部件总质量m近似模型时可以考虑使用二次多项式模型，在建立吸收总能量E和B柱最大加速度aB近似模型时可以考虑使用RBF近似模型来提高预测的精度。三种模型的适用范围如表3所示。
5 结论
本文结合最优拉丁超立方试验设计方法、三种近似模型构建方法以及整车正面碰撞有限元模型，分析了三种近似模型在整车正面碰撞中的预测精度使用范围，得出以下结论：
（1）随着响应量非线性程度的增加，三种近似模型的预测精度都会降低，QPRS近似方法的降低程度最大；
（2）在讨论的三种近似方法中，RBF方法在三种响应量的近似建模中预测精度都比较好，Kriging方法在吸收总能量E和B柱最大加速度aB近似中精度小于RBF方法但是高于QRPS方法，Kriging模型适用于踏板侵入量In建模，QRPS方法只有在建立部件总质量m时具有较高的精度；
（3）综合考虑三种方法的建模精度和建模时间两个因素，得到在整车100%正面碰撞工况下RBF方法适合于建立B柱最大加速度aB和吸收总能量E模型，Kriging适用于建立踏板侵入量模型，QPRS适合于建立部件总质量m模型。
参考文献：
[1]张勇，李光耀，钟志华.基于移动最小二乘响应面法的整车轻量化设计优化[J].机械工程学报，2008， 44（11）：192-196.
[2]Shujuan Hou， Duo Dong， Lili Ren， et al. Multivariable crashworthiness optimization of vehicle body by unreplicated saturated factorial design[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2012， 46（6）：891-905.
[3]王国春，成艾国，胡朝辉，等.基于Kriging模型的汽车前部结构的耐撞性优化[J].汽车工程，2011， 33（3）：208-212.
[4]陈国栋，韩 旭，刘桂萍，等.基于自适应径向基函数的整车耐撞性多目标优化[J].中国机械工程，2011，22（40）：488-493.
[5]H Fang， M Rais-Rohani， Z Liu， M F Horstemeyer. A comparative study of metamodeling methods for multiobjective crashworthiness optimization[J]. Computers & Structures， 2005， 83（25-26）：2121-2136.
[6]J.Forsberg， L.Nilsson. On polynomial response surfaces and Kriging for use in structural optimization of crashworthiness[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2005， 29（3）：232-243.
[7]Xingtao Liao， Qing Li， Xujing Yang， Weigang Zhang， Wei Li. Multiobjective optimization for crash safety design of vehicles using stepwise regression model [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2008， 35（6）：561-569.
[8]R Jin， W Chen， T W Simpson. Comparative studies of metamodelling techniques under multiple modeling criteria[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2001， 23（1）：1-13.endprint
对于零部件吸收总能量E，随着非线性程度的增加，三种近似模型的预测精度都有所降低，但是Kriging模型的预测精度相对于其他两种近似模型预测精度相对会增加。
B柱最大加速度aB和踏板侵入量In具有强非线性的特点，从预测精度的值可以看出，RBF预测精度最好，Kriging其次，而且Kriging模型的预测精度已经更加接近RBF模型的精度，尤其在踏板侵入量的预测精度中已超越RBF的预测精度，但二次多项式响应面的预测精度最差，从图4的分布上也可以得出这样的结论。
通过以上分析，可以得出以下相应的结论，在多维度小样本的条件下，文中选择的三种近似模型中，RBF模型在线性、弱非线性和强非线性的情况下都具有较好的预测精度，这与R. Jin[8]所得到的结论相同；Kriging模型在弱非线性和强非线性的预测精度次于RBF模型，二次多项式响应面模型在线性情况下具有较好的预测精度。
表3 三种近似模型适用范围
考虑到构建三种近似模型所需的时间：RBF最长，Kriging模型次之，二次多项式模型时间最短，对于B柱最大加速度aB近似建模二次多项式时间约为0.5 s，Kriging约为1.7 s，RBF约为35 s。所以在构建部件总质量m近似模型时可以考虑使用二次多项式模型，在建立吸收总能量E和B柱最大加速度aB近似模型时可以考虑使用RBF近似模型来提高预测的精度。三种模型的适用范围如表3所示。
5 结论
本文结合最优拉丁超立方试验设计方法、三种近似模型构建方法以及整车正面碰撞有限元模型，分析了三种近似模型在整车正面碰撞中的预测精度使用范围，得出以下结论：
（1）随着响应量非线性程度的增加，三种近似模型的预测精度都会降低，QPRS近似方法的降低程度最大；
（2）在讨论的三种近似方法中，RBF方法在三种响应量的近似建模中预测精度都比较好，Kriging方法在吸收总能量E和B柱最大加速度aB近似中精度小于RBF方法但是高于QRPS方法，Kriging模型适用于踏板侵入量In建模，QRPS方法只有在建立部件总质量m时具有较高的精度；
（3）综合考虑三种方法的建模精度和建模时间两个因素，得到在整车100%正面碰撞工况下RBF方法适合于建立B柱最大加速度aB和吸收总能量E模型，Kriging适用于建立踏板侵入量模型，QPRS适合于建立部件总质量m模型。
参考文献：
[1]张勇，李光耀，钟志华.基于移动最小二乘响应面法的整车轻量化设计优化[J].机械工程学报，2008， 44（11）：192-196.
[2]Shujuan Hou， Duo Dong， Lili Ren， et al. Multivariable crashworthiness optimization of vehicle body by unreplicated saturated factorial design[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2012， 46（6）：891-905.
[3]王国春，成艾国，胡朝辉，等.基于Kriging模型的汽车前部结构的耐撞性优化[J].汽车工程，2011， 33（3）：208-212.
[4]陈国栋，韩 旭，刘桂萍，等.基于自适应径向基函数的整车耐撞性多目标优化[J].中国机械工程，2011，22（40）：488-493.
[5]H Fang， M Rais-Rohani， Z Liu， M F Horstemeyer. A comparative study of metamodeling methods for multiobjective crashworthiness optimization[J]. Computers & Structures， 2005， 83（25-26）：2121-2136.
[6]J.Forsberg， L.Nilsson. On polynomial response surfaces and Kriging for use in structural optimization of crashworthiness[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2005， 29（3）：232-243.
[7]Xingtao Liao， Qing Li， Xujing Yang， Weigang Zhang， Wei Li. Multiobjective optimization for crash safety design of vehicles using stepwise regression model [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2008， 35（6）：561-569.
[8]R Jin， W Chen， T W Simpson. Comparative studies of metamodelling techniques under multiple modeling criteria[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2001， 23（1）：1-13.endprint
