转化匙思想——数学金钥匙

数学思想方法在数学教学中有着至关重要的作用，它是思考和分析、处理和解决问题的万法之源，是学习数学的灵魂和精髓。其中转化思想是数学思想方法的核心，也是应用最为广泛的、最为关键的思想。转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决或解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去。可以说，在中学数学中转化思想无处不在无时不在。

以下就“转化思想”在初中数学的应用作个简单归纳。

一、生疏问题向熟悉问题转化

生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的思考方法。解题过程实际上是一种转化的过程，而这种过程的关键是能否细心观察，运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。因此应深刻挖掘量变因素，将教材抽象知识转化为学过知识，加工到学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，这样做常可得到事半功倍的效果。

例如，当学生初次遇到蚂蚁在正方体表面爬行，寻求最短路径问题时，学生感到无从下手、没有思路。这时，借助转换思想给予点拨：“路径最短”即线段最短，结合“在同一平面内，两点之间线段最短”。因此，要先把正方体转换成平面图形即可，学生听到这里，恍然大悟。

二、化部分为整体

例：已知x2-x-1=0，求代数式x2+x+2013的值？

分析：把x2-x-1=0看成整体，x2+x+2013中可变出这个整体，即变为-（-x2-x-1）-1+2013，再代入-（-x2-x-1）-1+2013得出结果为2012。

三、高次转化为低次

例：已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值。

分析：这是条件求值问题，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁琐了。但通过变形，用降次的方法进行转化，便迎刃而解了。

解∵x2+x-1=0，∴x2=1-x.原式=x（1-x）+2（1-x）+5=x-x2+2-2x+5=x-（1-x）+7-2x=6。

四、实际问题转化为数学问题

重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改的一个热点，应用问题在中考的地位已经确立，并且也越来越重要。在解决实际问题时，要重在转化思想的应用，培养学生应用数学能力。

例：某市政府大力扶持大学生创业。李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500。

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”，也就是把实际问题转化二次函数的极值问题：即每月利润=每件产品利润×销售产品件数，得：w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通过整理转化为二次函数w=-10x+700x-10000，再由x=-，解得x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。

（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元”，即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解这个方程得：x=30，x=40。所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。

（3）要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。∵二次函数w=-10x+700x-10000，a=-10<0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000；又∵销售单价不得高于32元，∴当30≤x≤32时，w≥2000；设成本为P（元），则P=20（-10x+500）=-200x+10000∵k=-200<0时，P随x的增大而减小，∴x=32时，P=3600，要实现销售单价不得高于32元，每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。

五、一般与特殊的转化

例如九年级下册中的圆周角定理的证明，就是先证明圆心在圆周角一条边上的这种特殊情况，对于圆心在圆周角内部和外部的一般情况都是转化成圆心在圆周角一条边上的特殊情况来证明的。

六、数与形的转化

例1：一个多边形除去一个内角后其余各角和为2000°，则这个多边形是几边形？除去的内角为多少度？

分析： 将几何问题转化为代数方法来解决，

解： 设多边形边数为n，除去的内角为а。

则：0<（n-2）×180°-а<180°再结合为整数即可，进而求出а值。

例2：某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式。（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元。

（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案。

点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的。

综上所述，数学转化思想是中学数学教育中最活跃、最实用的，贯穿在数学解题的始终。平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习上和生活中经常运用转化思想。学习上善于运用转化思想的同学，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧，将有更浓厚的学习兴趣；生活中善于运用转化思想的同学，将变得越来越聪明，越来越富有创造性，这正是我们所期待的东西，正是教育的归宿，教育的目的。

（作者单位：徐州市睢宁县高集中学）

数学思想方法在数学教学中有着至关重要的作用，它是思考和分析、处理和解决问题的万法之源，是学习数学的灵魂和精髓。其中转化思想是数学思想方法的核心，也是应用最为广泛的、最为关键的思想。转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决或解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去。可以说，在中学数学中转化思想无处不在无时不在。

以下就“转化思想”在初中数学的应用作个简单归纳。

一、生疏问题向熟悉问题转化

生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的思考方法。解题过程实际上是一种转化的过程，而这种过程的关键是能否细心观察，运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。因此应深刻挖掘量变因素，将教材抽象知识转化为学过知识，加工到学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，这样做常可得到事半功倍的效果。

例如，当学生初次遇到蚂蚁在正方体表面爬行，寻求最短路径问题时，学生感到无从下手、没有思路。这时，借助转换思想给予点拨：“路径最短”即线段最短，结合“在同一平面内，两点之间线段最短”。因此，要先把正方体转换成平面图形即可，学生听到这里，恍然大悟。

二、化部分为整体

例：已知x2-x-1=0，求代数式x2+x+2013的值？

分析：把x2-x-1=0看成整体，x2+x+2013中可变出这个整体，即变为-（-x2-x-1）-1+2013，再代入-（-x2-x-1）-1+2013得出结果为2012。

三、高次转化为低次

例：已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值。

分析：这是条件求值问题，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁琐了。但通过变形，用降次的方法进行转化，便迎刃而解了。

解∵x2+x-1=0，∴x2=1-x.原式=x（1-x）+2（1-x）+5=x-x2+2-2x+5=x-（1-x）+7-2x=6。

四、实际问题转化为数学问题

重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改的一个热点，应用问题在中考的地位已经确立，并且也越来越重要。在解决实际问题时，要重在转化思想的应用，培养学生应用数学能力。

例：某市政府大力扶持大学生创业。李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500。

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”，也就是把实际问题转化二次函数的极值问题：即每月利润=每件产品利润×销售产品件数，得：w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通过整理转化为二次函数w=-10x+700x-10000，再由x=-，解得x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。

（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元”，即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解这个方程得：x=30，x=40。所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。

（3）要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。∵二次函数w=-10x+700x-10000，a=-10<0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000；又∵销售单价不得高于32元，∴当30≤x≤32时，w≥2000；设成本为P（元），则P=20（-10x+500）=-200x+10000∵k=-200<0时，P随x的增大而减小，∴x=32时，P=3600，要实现销售单价不得高于32元，每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。

五、一般与特殊的转化

例如九年级下册中的圆周角定理的证明，就是先证明圆心在圆周角一条边上的这种特殊情况，对于圆心在圆周角内部和外部的一般情况都是转化成圆心在圆周角一条边上的特殊情况来证明的。

六、数与形的转化

例1：一个多边形除去一个内角后其余各角和为2000°，则这个多边形是几边形？除去的内角为多少度？

分析： 将几何问题转化为代数方法来解决，

解： 设多边形边数为n，除去的内角为а。

则：0<（n-2）×180°-а<180°再结合为整数即可，进而求出а值。

例2：某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式。（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元。

（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案。

点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的。

综上所述，数学转化思想是中学数学教育中最活跃、最实用的，贯穿在数学解题的始终。平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习上和生活中经常运用转化思想。学习上善于运用转化思想的同学，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧，将有更浓厚的学习兴趣；生活中善于运用转化思想的同学，将变得越来越聪明，越来越富有创造性，这正是我们所期待的东西，正是教育的归宿，教育的目的。

（作者单位：徐州市睢宁县高集中学）

数学思想方法在数学教学中有着至关重要的作用，它是思考和分析、处理和解决问题的万法之源，是学习数学的灵魂和精髓。其中转化思想是数学思想方法的核心，也是应用最为广泛的、最为关键的思想。转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决或解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去。可以说，在中学数学中转化思想无处不在无时不在。

以下就“转化思想”在初中数学的应用作个简单归纳。

一、生疏问题向熟悉问题转化

生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的思考方法。解题过程实际上是一种转化的过程，而这种过程的关键是能否细心观察，运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。因此应深刻挖掘量变因素，将教材抽象知识转化为学过知识，加工到学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，这样做常可得到事半功倍的效果。

例如，当学生初次遇到蚂蚁在正方体表面爬行，寻求最短路径问题时，学生感到无从下手、没有思路。这时，借助转换思想给予点拨：“路径最短”即线段最短，结合“在同一平面内，两点之间线段最短”。因此，要先把正方体转换成平面图形即可，学生听到这里，恍然大悟。

二、化部分为整体

例：已知x2-x-1=0，求代数式x2+x+2013的值？

分析：把x2-x-1=0看成整体，x2+x+2013中可变出这个整体，即变为-（-x2-x-1）-1+2013，再代入-（-x2-x-1）-1+2013得出结果为2012。

三、高次转化为低次

例：已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值。

分析：这是条件求值问题，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁琐了。但通过变形，用降次的方法进行转化，便迎刃而解了。

解∵x2+x-1=0，∴x2=1-x.原式=x（1-x）+2（1-x）+5=x-x2+2-2x+5=x-（1-x）+7-2x=6。

四、实际问题转化为数学问题

重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改的一个热点，应用问题在中考的地位已经确立，并且也越来越重要。在解决实际问题时，要重在转化思想的应用，培养学生应用数学能力。

例：某市政府大力扶持大学生创业。李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500。

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”，也就是把实际问题转化二次函数的极值问题：即每月利润=每件产品利润×销售产品件数，得：w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通过整理转化为二次函数w=-10x+700x-10000，再由x=-，解得x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。

（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元”，即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解这个方程得：x=30，x=40。所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。

（3）要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。∵二次函数w=-10x+700x-10000，a=-10<0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000；又∵销售单价不得高于32元，∴当30≤x≤32时，w≥2000；设成本为P（元），则P=20（-10x+500）=-200x+10000∵k=-200<0时，P随x的增大而减小，∴x=32时，P=3600，要实现销售单价不得高于32元，每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。

五、一般与特殊的转化

例如九年级下册中的圆周角定理的证明，就是先证明圆心在圆周角一条边上的这种特殊情况，对于圆心在圆周角内部和外部的一般情况都是转化成圆心在圆周角一条边上的特殊情况来证明的。

六、数与形的转化

例1：一个多边形除去一个内角后其余各角和为2000°，则这个多边形是几边形？除去的内角为多少度？

分析： 将几何问题转化为代数方法来解决，

解： 设多边形边数为n，除去的内角为а。

则：0<（n-2）×180°-а<180°再结合为整数即可，进而求出а值。

例2：某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式。（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元。

（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案。

点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的。

综上所述，数学转化思想是中学数学教育中最活跃、最实用的，贯穿在数学解题的始终。平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习上和生活中经常运用转化思想。学习上善于运用转化思想的同学，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧，将有更浓厚的学习兴趣；生活中善于运用转化思想的同学，将变得越来越聪明，越来越富有创造性，这正是我们所期待的东西，正是教育的归宿，教育的目的。

（作者单位：徐州市睢宁县高集中学）