三维位场正则化向下延拓成像技术

陈桂廷+罗强+周宇轩+赵强

摘 要：该文采用正则化方法通过频率域响应对位场进行向下延拓，运用牛顿切线法并引入多条件约束对正则化参数进行了合理的选取，消除了向下延拓所固有的不稳定性。在二维剖面和三维空间的延拓都取得了较为理想的效果。

关键词：向下延拓 不适定问题 正则化频率域

中图分类号：P6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位场的延拓已经有多种成熟的方法，能严格按照数学方法导出。向上延拓由于不涉及到场源，可以达到良好的效果；但向下延拓是由实测位场向场源的延拓，是一个典型的不适定问题，计算的本身存在不稳定性。通常的下延方法在下延至场源体附近区域位场将发生强烈的震荡效应，国内外大量学者为解决这一问题作了大量的探索。主要解决方向都是构建低通滤波器。实际上相对于正则化方法，其他方法下延深度均较浅，到达场源时无法消除高频振荡。相较而言正则化方法是最稳定的算法之一，也是理论上能过源的延拓方法，可以解决反演中解的不唯一性和不稳定性。该文基于Fourior变换在频率域对正则化因子的选择，参数的控制及三维下延做出了一定探讨。把这种方法应用于理论模型和实际数据的向下延拓中都取得了理想的结果。

1 向下延拓的不适定性

我们知道，在场源区域S外位场u满足Laplace方程[1]：

（1）

其中f为观测平面的实测值，位场函数u为调和函数，由此构建成为Dirchlet问题。

解方程可得上半平面的延拓位场Poisson公式：

（2）

坐标取向下为正。其中为观测平面位场的观测值，为向上延拓z1以后平面位场值。转化为褶积表达式：

× （3）

将式（3）各项做二维Fourior变换得到波数域表达式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v为空间频率，z为常数。故向上延拓频率因子为[3]：

可以将向下延拓看作向上延拓的反问题，于是把向上延拓因子的倒数作为向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

显然向下延拓因子是一个高通滤波器，将对高频成分进行放大，造成延拓位场剧烈震荡，使得延拓结果发散，淹没有效信息。构成了一个不适定问题。

2 正则化算法

为了能得到稳定解的向下延拓因子我们将问题转化第一类Fredholm线性积分[4]：

（8）

（9）

或第二类Fredhol线性积分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘数法，将上述问题转化为无条件极值[4～5]：

（12）

其中为正则化参数，使用Fourior变换和Euler方程[4]转化到频率域求的解方程组（7）、（8），历史[5]上得出了不同类型的滤波器，通过试验效果校对本文采用陈生昌等人提出依据广义逆运算得出的向下延拓滤波器[6]：

（13）

它的频率特征如图1所示。

可以看出它是一个带通滤波器，不同取值有不同通带的频率响应，随增大通带向低频方向移动。同时它也是一个与有关的函数，频带将随着深度变化动态对下延信号进行动态压制。达到消除向下延拓所存在的高频振荡问题。

图2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力异常，图3为利用正则化延拓因子延拓5 m的二维重力异常。

3 正则化参数的选取

正则化参数的选择将直接影响滤波器的通带范围，当取的很小时滤波器近似于原始的高通向下延拓因子，会造成很强的高频振荡，淹没有用信息。取值偏大时是一个低通滤波器，造成压制过当。按单个场源的模型，做出参数不同取值延拓位场最大值（场源位置）变化曲线如图4所示。可以看出参数还控制了场源反演深度。

由于向下延拓信号由于涉及到场源等问题，对于参数的选择往往根据经验并与实际情况相互印证。该文在前人的基础上再引入多条件约束通过牛顿切线法确定的取值范围。

约束条件：

（1）延拓在一定范围内位场值是增加的；

（2）延拓位场极值变化是收敛的；

（3）

第一个条件用于约束取过大所造成的压制过当，导致等值线过早闭合；第二个条件用于约束取过小造成延拓过源等值线不闭合的尴尬；第三个条件使延拓曲线形态趋势与地表观测曲线一致性最佳。

4 三维位场延拓

Step1：对观测平面数据进行二维Fourier变换转换到波数域；

Step2：用同样的滤波器构造三维正则化延拓因子；

Step3：用三维正则化因子对波数域位场值进行延拓；

Step4：Fourier反变换得到延拓后的位场值；

Step5：依次取不同的Z值重复上述步骤。

5 球体重力场数值模拟

为验证算法准确性，本文取单个球体源的重力位场作为正演模型。球体参数如表1所示。

正演公式：

处理得z=0平面的重力异常，取y=0测线剖面图，并加上微弱的随机高斯噪声合成，比较符合实际工作中数据采集精度，用于验证正则化算法对于不适定问题的响应。为了体现横向上的变化并克服Fourier变换由于采样不足假频现象，取剖面长度尽量长，本文取剖面长度为埋深的6倍，点距为2m。利用三个约束条件，在保证第一、二条件下利用牛顿迭代法求取最佳正则化参数=0.0151。

图5是向下延拓y=0剖面的等值线图。最大下延深度为40 m。为2倍场源深度，由图。可见等值线在场源附近闭合，并有很好的对称性。闭合中心深度在22 m左右，和真实场源中心很接近。此外，在两侧有一些负异常震荡现象，这是由于对高频信息的压制不绝对造成，在边界还出现了Fourier变换造成的“八”字形Gibbs效应，这些都验证了本算法在一定精度下的正确性。

按照三维延拓步骤，构建波数域正则化因子对单球体场源正演平面数据进行三维下延[7]，做切片如图6所示。

由图7可见，三维情况与二维反演十分吻合，反演所得的场源位置也在22 m左右，随深度增加下延平面最大值变化趋势为增大→极值→减小，并且在下方成功收敛。

6 结论

（1）正则化三维向下延拓方法可以很好的压制高频振荡，过场源位场不发散，有很好的稳定性。（2）利用二维快速Fourier变换将数据转换为波数域结合广义正则化原理可以避免大型矩阵运算，提高计算效率。（3）正则化滤波器是一个基于深度变化的带通滤波器，在不同深度对不同频率信号有不同的压制程度，是一种动态的滤波器，这样即能保证数据过场源不产生震荡，又能保证延拓深度。（4）理论上只要选取恰当可以延拓至任意深度，并保证等值线闭合。（5）参数能控制反演场源的深度，利用多条件约束可以得到可靠的参数。

参考文献

[1] 王邦华，王理.重磁位场的正则化向下延拓[J].物探化探计算技术，1998，20（1）.

[2] 刘彩云.频率域位场延拓表达式的一种简单推导[J].长江大学学报：自科版，2013，10（28）.

[3] 李中芹.基于深度变化的磁场正则化下延方法研究[D].中国石油大学，2011.

[4] 栾文贵.场位解析延拓的稳定化算法[J].地球物理学报，1983（3）：263-274.

[5] 梁锦文.位场向下延拓的正则化方法[J].地球物理学报，1989，32（5）.

[6] 陈生昌，肖鹏飞.位场向下延拓的波数域广义逆算法[J].地球物理学报，2007，50（6）.

[7] 刘银萍，王祝文，杜晓娟，等.基于Extrapolation Tikhonov正则化算法的重力数据三维约束反演[J].地球物理学报，2013，56（5）.endprint

摘 要：该文采用正则化方法通过频率域响应对位场进行向下延拓，运用牛顿切线法并引入多条件约束对正则化参数进行了合理的选取，消除了向下延拓所固有的不稳定性。在二维剖面和三维空间的延拓都取得了较为理想的效果。

关键词：向下延拓 不适定问题 正则化频率域

中图分类号：P6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位场的延拓已经有多种成熟的方法，能严格按照数学方法导出。向上延拓由于不涉及到场源，可以达到良好的效果；但向下延拓是由实测位场向场源的延拓，是一个典型的不适定问题，计算的本身存在不稳定性。通常的下延方法在下延至场源体附近区域位场将发生强烈的震荡效应，国内外大量学者为解决这一问题作了大量的探索。主要解决方向都是构建低通滤波器。实际上相对于正则化方法，其他方法下延深度均较浅，到达场源时无法消除高频振荡。相较而言正则化方法是最稳定的算法之一，也是理论上能过源的延拓方法，可以解决反演中解的不唯一性和不稳定性。该文基于Fourior变换在频率域对正则化因子的选择，参数的控制及三维下延做出了一定探讨。把这种方法应用于理论模型和实际数据的向下延拓中都取得了理想的结果。

1 向下延拓的不适定性

我们知道，在场源区域S外位场u满足Laplace方程[1]：

（1）

其中f为观测平面的实测值，位场函数u为调和函数，由此构建成为Dirchlet问题。

解方程可得上半平面的延拓位场Poisson公式：

（2）

坐标取向下为正。其中为观测平面位场的观测值，为向上延拓z1以后平面位场值。转化为褶积表达式：

× （3）

将式（3）各项做二维Fourior变换得到波数域表达式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v为空间频率，z为常数。故向上延拓频率因子为[3]：

可以将向下延拓看作向上延拓的反问题，于是把向上延拓因子的倒数作为向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

显然向下延拓因子是一个高通滤波器，将对高频成分进行放大，造成延拓位场剧烈震荡，使得延拓结果发散，淹没有效信息。构成了一个不适定问题。

2 正则化算法

为了能得到稳定解的向下延拓因子我们将问题转化第一类Fredholm线性积分[4]：

（8）

（9）

或第二类Fredhol线性积分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘数法，将上述问题转化为无条件极值[4～5]：

（12）

其中为正则化参数，使用Fourior变换和Euler方程[4]转化到频率域求的解方程组（7）、（8），历史[5]上得出了不同类型的滤波器，通过试验效果校对本文采用陈生昌等人提出依据广义逆运算得出的向下延拓滤波器[6]：

（13）

它的频率特征如图1所示。

可以看出它是一个带通滤波器，不同取值有不同通带的频率响应，随增大通带向低频方向移动。同时它也是一个与有关的函数，频带将随着深度变化动态对下延信号进行动态压制。达到消除向下延拓所存在的高频振荡问题。

图2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力异常，图3为利用正则化延拓因子延拓5 m的二维重力异常。

3 正则化参数的选取

正则化参数的选择将直接影响滤波器的通带范围，当取的很小时滤波器近似于原始的高通向下延拓因子，会造成很强的高频振荡，淹没有用信息。取值偏大时是一个低通滤波器，造成压制过当。按单个场源的模型，做出参数不同取值延拓位场最大值（场源位置）变化曲线如图4所示。可以看出参数还控制了场源反演深度。

由于向下延拓信号由于涉及到场源等问题，对于参数的选择往往根据经验并与实际情况相互印证。该文在前人的基础上再引入多条件约束通过牛顿切线法确定的取值范围。

约束条件：

（1）延拓在一定范围内位场值是增加的；

（2）延拓位场极值变化是收敛的；

（3）

第一个条件用于约束取过大所造成的压制过当，导致等值线过早闭合；第二个条件用于约束取过小造成延拓过源等值线不闭合的尴尬；第三个条件使延拓曲线形态趋势与地表观测曲线一致性最佳。

4 三维位场延拓

Step1：对观测平面数据进行二维Fourier变换转换到波数域；

Step2：用同样的滤波器构造三维正则化延拓因子；

Step3：用三维正则化因子对波数域位场值进行延拓；

Step4：Fourier反变换得到延拓后的位场值；

Step5：依次取不同的Z值重复上述步骤。

5 球体重力场数值模拟

为验证算法准确性，本文取单个球体源的重力位场作为正演模型。球体参数如表1所示。

正演公式：

处理得z=0平面的重力异常，取y=0测线剖面图，并加上微弱的随机高斯噪声合成，比较符合实际工作中数据采集精度，用于验证正则化算法对于不适定问题的响应。为了体现横向上的变化并克服Fourier变换由于采样不足假频现象，取剖面长度尽量长，本文取剖面长度为埋深的6倍，点距为2m。利用三个约束条件，在保证第一、二条件下利用牛顿迭代法求取最佳正则化参数=0.0151。

图5是向下延拓y=0剖面的等值线图。最大下延深度为40 m。为2倍场源深度，由图。可见等值线在场源附近闭合，并有很好的对称性。闭合中心深度在22 m左右，和真实场源中心很接近。此外，在两侧有一些负异常震荡现象，这是由于对高频信息的压制不绝对造成，在边界还出现了Fourier变换造成的“八”字形Gibbs效应，这些都验证了本算法在一定精度下的正确性。

按照三维延拓步骤，构建波数域正则化因子对单球体场源正演平面数据进行三维下延[7]，做切片如图6所示。

由图7可见，三维情况与二维反演十分吻合，反演所得的场源位置也在22 m左右，随深度增加下延平面最大值变化趋势为增大→极值→减小，并且在下方成功收敛。

6 结论

（1）正则化三维向下延拓方法可以很好的压制高频振荡，过场源位场不发散，有很好的稳定性。（2）利用二维快速Fourier变换将数据转换为波数域结合广义正则化原理可以避免大型矩阵运算，提高计算效率。（3）正则化滤波器是一个基于深度变化的带通滤波器，在不同深度对不同频率信号有不同的压制程度，是一种动态的滤波器，这样即能保证数据过场源不产生震荡，又能保证延拓深度。（4）理论上只要选取恰当可以延拓至任意深度，并保证等值线闭合。（5）参数能控制反演场源的深度，利用多条件约束可以得到可靠的参数。

参考文献

[1] 王邦华，王理.重磁位场的正则化向下延拓[J].物探化探计算技术，1998，20（1）.

[2] 刘彩云.频率域位场延拓表达式的一种简单推导[J].长江大学学报：自科版，2013，10（28）.

[3] 李中芹.基于深度变化的磁场正则化下延方法研究[D].中国石油大学，2011.

[4] 栾文贵.场位解析延拓的稳定化算法[J].地球物理学报，1983（3）：263-274.

[5] 梁锦文.位场向下延拓的正则化方法[J].地球物理学报，1989，32（5）.

[6] 陈生昌，肖鹏飞.位场向下延拓的波数域广义逆算法[J].地球物理学报，2007，50（6）.

[7] 刘银萍，王祝文，杜晓娟，等.基于Extrapolation Tikhonov正则化算法的重力数据三维约束反演[J].地球物理学报，2013，56（5）.endprint

摘 要：该文采用正则化方法通过频率域响应对位场进行向下延拓，运用牛顿切线法并引入多条件约束对正则化参数进行了合理的选取，消除了向下延拓所固有的不稳定性。在二维剖面和三维空间的延拓都取得了较为理想的效果。

关键词：向下延拓 不适定问题 正则化频率域

中图分类号：P6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位场的延拓已经有多种成熟的方法，能严格按照数学方法导出。向上延拓由于不涉及到场源，可以达到良好的效果；但向下延拓是由实测位场向场源的延拓，是一个典型的不适定问题，计算的本身存在不稳定性。通常的下延方法在下延至场源体附近区域位场将发生强烈的震荡效应，国内外大量学者为解决这一问题作了大量的探索。主要解决方向都是构建低通滤波器。实际上相对于正则化方法，其他方法下延深度均较浅，到达场源时无法消除高频振荡。相较而言正则化方法是最稳定的算法之一，也是理论上能过源的延拓方法，可以解决反演中解的不唯一性和不稳定性。该文基于Fourior变换在频率域对正则化因子的选择，参数的控制及三维下延做出了一定探讨。把这种方法应用于理论模型和实际数据的向下延拓中都取得了理想的结果。

1 向下延拓的不适定性

我们知道，在场源区域S外位场u满足Laplace方程[1]：

（1）

其中f为观测平面的实测值，位场函数u为调和函数，由此构建成为Dirchlet问题。

解方程可得上半平面的延拓位场Poisson公式：

（2）

坐标取向下为正。其中为观测平面位场的观测值，为向上延拓z1以后平面位场值。转化为褶积表达式：

× （3）

将式（3）各项做二维Fourior变换得到波数域表达式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v为空间频率，z为常数。故向上延拓频率因子为[3]：

可以将向下延拓看作向上延拓的反问题，于是把向上延拓因子的倒数作为向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

显然向下延拓因子是一个高通滤波器，将对高频成分进行放大，造成延拓位场剧烈震荡，使得延拓结果发散，淹没有效信息。构成了一个不适定问题。

2 正则化算法

为了能得到稳定解的向下延拓因子我们将问题转化第一类Fredholm线性积分[4]：

（8）

（9）

或第二类Fredhol线性积分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘数法，将上述问题转化为无条件极值[4～5]：

（12）

其中为正则化参数，使用Fourior变换和Euler方程[4]转化到频率域求的解方程组（7）、（8），历史[5]上得出了不同类型的滤波器，通过试验效果校对本文采用陈生昌等人提出依据广义逆运算得出的向下延拓滤波器[6]：

（13）

它的频率特征如图1所示。

可以看出它是一个带通滤波器，不同取值有不同通带的频率响应，随增大通带向低频方向移动。同时它也是一个与有关的函数，频带将随着深度变化动态对下延信号进行动态压制。达到消除向下延拓所存在的高频振荡问题。

图2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力异常，图3为利用正则化延拓因子延拓5 m的二维重力异常。

3 正则化参数的选取

正则化参数的选择将直接影响滤波器的通带范围，当取的很小时滤波器近似于原始的高通向下延拓因子，会造成很强的高频振荡，淹没有用信息。取值偏大时是一个低通滤波器，造成压制过当。按单个场源的模型，做出参数不同取值延拓位场最大值（场源位置）变化曲线如图4所示。可以看出参数还控制了场源反演深度。

由于向下延拓信号由于涉及到场源等问题，对于参数的选择往往根据经验并与实际情况相互印证。该文在前人的基础上再引入多条件约束通过牛顿切线法确定的取值范围。

约束条件：

（1）延拓在一定范围内位场值是增加的；

（2）延拓位场极值变化是收敛的；

（3）

第一个条件用于约束取过大所造成的压制过当，导致等值线过早闭合；第二个条件用于约束取过小造成延拓过源等值线不闭合的尴尬；第三个条件使延拓曲线形态趋势与地表观测曲线一致性最佳。

4 三维位场延拓

Step1：对观测平面数据进行二维Fourier变换转换到波数域；

Step2：用同样的滤波器构造三维正则化延拓因子；

Step3：用三维正则化因子对波数域位场值进行延拓；

Step4：Fourier反变换得到延拓后的位场值；

Step5：依次取不同的Z值重复上述步骤。

5 球体重力场数值模拟

为验证算法准确性，本文取单个球体源的重力位场作为正演模型。球体参数如表1所示。

正演公式：

处理得z=0平面的重力异常，取y=0测线剖面图，并加上微弱的随机高斯噪声合成，比较符合实际工作中数据采集精度，用于验证正则化算法对于不适定问题的响应。为了体现横向上的变化并克服Fourier变换由于采样不足假频现象，取剖面长度尽量长，本文取剖面长度为埋深的6倍，点距为2m。利用三个约束条件，在保证第一、二条件下利用牛顿迭代法求取最佳正则化参数=0.0151。

图5是向下延拓y=0剖面的等值线图。最大下延深度为40 m。为2倍场源深度，由图。可见等值线在场源附近闭合，并有很好的对称性。闭合中心深度在22 m左右，和真实场源中心很接近。此外，在两侧有一些负异常震荡现象，这是由于对高频信息的压制不绝对造成，在边界还出现了Fourier变换造成的“八”字形Gibbs效应，这些都验证了本算法在一定精度下的正确性。

按照三维延拓步骤，构建波数域正则化因子对单球体场源正演平面数据进行三维下延[7]，做切片如图6所示。

由图7可见，三维情况与二维反演十分吻合，反演所得的场源位置也在22 m左右，随深度增加下延平面最大值变化趋势为增大→极值→减小，并且在下方成功收敛。

6 结论

（1）正则化三维向下延拓方法可以很好的压制高频振荡，过场源位场不发散，有很好的稳定性。（2）利用二维快速Fourier变换将数据转换为波数域结合广义正则化原理可以避免大型矩阵运算，提高计算效率。（3）正则化滤波器是一个基于深度变化的带通滤波器，在不同深度对不同频率信号有不同的压制程度，是一种动态的滤波器，这样即能保证数据过场源不产生震荡，又能保证延拓深度。（4）理论上只要选取恰当可以延拓至任意深度，并保证等值线闭合。（5）参数能控制反演场源的深度，利用多条件约束可以得到可靠的参数。

参考文献

[1] 王邦华，王理.重磁位场的正则化向下延拓[J].物探化探计算技术，1998，20（1）.

[2] 刘彩云.频率域位场延拓表达式的一种简单推导[J].长江大学学报：自科版，2013，10（28）.

[3] 李中芹.基于深度变化的磁场正则化下延方法研究[D].中国石油大学，2011.

[4] 栾文贵.场位解析延拓的稳定化算法[J].地球物理学报，1983（3）：263-274.

[5] 梁锦文.位场向下延拓的正则化方法[J].地球物理学报，1989，32（5）.

[6] 陈生昌，肖鹏飞.位场向下延拓的波数域广义逆算法[J].地球物理学报，2007，50（6）.

[7] 刘银萍，王祝文，杜晓娟，等.基于Extrapolation Tikhonov正则化算法的重力数据三维约束反演[J].地球物理学报，2013，56（5）.endprint