重点突击 深度挖掘 横向延伸

夏利波

小学数学教材中出现的数学概念看上去简单，但要挖掘内涵、展示外延，让小学生充分理解概念的本质却有一定的难度。如人教版五年级下“分数的意义”，就是一节相对比较抽象的概念课，如果仅仅把本课的教学目标定位在对分数意义浅层次的复述和模仿层面，显然无法满足学生对分数本质探求的需要。在经历多轮课堂教学实践后，笔者发现，要想使学生对分数意义的本质属性有充分的理解和感悟，必须进行以下几点拓展。

一、 重点突击——积极建构单位 “1”

1.从一个物体的“1”扩展到一群物体的“1”

对于“1”的理解，学生的认识并不是一张白纸，从一年级开始，学生就知道1个物体（1个苹果、1个人……）可以用“1”来表示，这种固有的认识在脑海中可谓是根深蒂固。因此要将学生的思维从一个物体的“1”拓展到多个物体组成的单位“1”，并不是一件简单的事。

而综观教材，对于分数的序列知识也是按照螺旋上升的梯度排列的。在人教版三年级“分数的初步认识”中，教材重点让学生理解把一个图形、一个物体平均分成若干份，表示这样的1份或几份，可以用分数来表示。而在五年级“分数的意义”中，教学重点则切换为“把多个物体组成的整体1平均分成若干份，表示这样1份或几份可以用分数来表示。

显然，如果学生不能很好地理解单位“1”的含义，就会影响其对分数意义的理解，对后续的学习也会产生不利影响。基于此，笔者在设计教学环节时，将单个“1”到整体“1”的扩展作为“分数的意义”一课教学的一个重点，并将其放在第一个教学环节中，为学生真正理解分数的意义搭好桥、铺好路。

【片段一】

师：生活中，哪些物体的数量可以用1来表示呢？

生：一支铅笔可以用1来表示；一个人可以用1来表示。

生：一间教室也可以用1表示。

师：想一想：还有什么也能用1来表示？（学生们迟疑了一会儿）

生：一个班级也可以用1来表示。

（学生们将信将疑，看起来不是非常认同）

师：你能给大家解释一下好吗？

生：我们班有38个同学，是一个班级，就可以用“1”来表示。

师：说得真好，这样的例子你还能举吗？

（这时学生们听明白了，纷纷举手想要表达）

生：一盘苹果可以用“1”来表示。

生：一组8个同学可以用“1”来表示。

师：想一想：这时候的“1”和我们以前认识的“1”有什么不同？

生：以前的“1”表示1个物体，而现在的“1”可以由很多个物体组成。

师：一个物体、一些物体都可以看作一个整体，这个整体通常叫作单位“1”。

当有学生举例一个班级可以用“1”来表示时，一部分学生已经有所顿悟，但是大多数学生对于这个例子仍有所质疑。但当该学生做了进一步解释后，大多数学生也开始认识到“1”可表示多个物体，并能结合自身经验举出更多实例。

通过学生自己举例、质疑、交流、解释、顿悟，自然地引出单位“1”，并在学生头脑中形成层次丰富的单位“1”的表象。但教学设计并未在此处停留，而是乘势而上，继续扩容单位“1”。笔者又借用了长度单位、质量单位的意义，将学生置身于不同的教学情境中，让学生进一步感悟：图形、物体、计量单位都可以是单位“1”的构成资源，让学生对单位“1”的丰富内涵有更深刻的了解。

2. 从被动选择单位“1”到主动选择单位“1”

在单位“1”多层次表象建立之后，要真正实现对单位“1”意义的建构，帮助学生完成从数1到单位“1”的实质性跨越，还需要借助画一画、分一分的实践操作，让学生在主动选择合适的单位“1”的过程中，充分暴露其所思所想，经历碰撞与融合，从而真正触及单位“1”的本质。

【片段二】

师：你能用图来表示吗？

从学生的作品中可以看出，大多数学生把一个物体、一个图形平均分为4份，用一份表示出。也有一部分学生已经从一个物体想到了一些物体，有用4个圆形看作一个整体，平均分为4份，1个圆形用来表示；也有学生用8个苹果平均分为4份，2个苹果用来表示。但从作品中可以明显地看出学生对单位“1”的认识还是有不足之处的（如图1）。

图1 图2

生1：（图1）把4个正方形平均分为4份，1个正方形就可以用来表示。（没想到生1的回答立即招来几个同学的质疑）

生2：1个正方形应该用“1”来表示，要表示应该把4个正方形圈起来。

师：从刚才生1画的图中你能看出4个正方形是单位“1”吗？

生3：先要把4个正方形圈起来看作一个整体，再把它们平均分为4份。

（生1恍然大悟）

教师随即画上集合圈（图2），这时学生已经认识到：要表示，关键是把一个整体看成单位“1”，再把单位“1” 平均分。此时，学生对单位“1”的理解已有所深入。

二、深度挖掘——纵向理解分数意义

什么才是分数的真正意义？学生怎样才能从本质上理解分数的意义？事实上，学生对于分数意义的理解，除了在脑海中积极构建起单位“1”的真正含义之外，还应该借助不同的具体情境，通过操作与比较、体验与交流等活动，从求同思考与求异比较两个方面层层深入。

1.求同思考，凸显分数的本质属性

在学生创作的不同的四分之一的草图中，通过交流各图的基本含义后，重点引导学生抓住“分的物体不一样，为什么都可以用来表示？”以及“分的数量不一样，为什么都可以用来表示呢？”这样两个层面的问题进行求同比较。

【片段三】

生：我把4个圆看成一个整体，平均分成4份，这样的1份就是

生：我把8个三角形看成一个整体，平均分成4份，这样的1份就是endprint

生：我把12个苹果看成单位“1”，平均分成4份，每份就是。

师：想一想：这几幅图为什么都可以用来表示？

生：都把单位“1”平均分成了4份，表示这样的1份。

这样的教学设计意在让学生通过对的理解，进一步深化为对分数意义的理解：要准确表示，与单位“1”中所包含的数量多少没有关系，只是和它是否被平均分成4份，表示这样的1份有关。在这一过程中，学生不仅理解了的意义，也为后续自主学习几分之几的含义做好了铺垫。

2.求异比较，明晰概念的本质属性

通过多层次、多角度理解的意义之后，接着教师提出“你还想研究几分之几？”的学习任务，引领学生进入到对8个小正方形分一分、画一画，创造出不同分数的自主学习环节，展开对分数意义更加深入的理解环节。

【片段四】

师：练习纸上有8个小正方形，请大家分一分，画一画，写出你喜欢的分数。

生：我把8个小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8个小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8个小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8个小正方形平均分成2份，1份是。

师：观察同学们刚才交流的三幅图，你发现了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4个正方形，表示的分数却不相同。

生：因为它们平均分成的份数不同，而且表示的份数也不同。

师：也就是说，平均分成的份数不同，表示的分数也不同。

师：我们刚才是怎样得到这些分数的？你能用一句话来说说什么是分数吗？

生：把单位1平均分成几份，表示这样的几份就是分数。

通过自主创造分数的教学环节引导学生进行“求异比较”：为什么同样的8个小正方形表示的分数却各不相同？抽象概括出单位“1”是什么不重要，关键是把“1”平均分成多少份，表示这样的几份，这才是分数的本质属性。

因此，同样8个小正方形，平均分的份数不同，所表示的分数就不同。学生在反思、质疑中理解：同样的图形，得到不同分数的原因在于平均分的份数不同。通过相同与不同的对比辨析之后，让学生进一步明确分数意义的本质属性。

三、横向延伸——扩展分数意义的外延

美国著名教育家布鲁纳说过：“学生获得的知识如果没有完整的结构把它联系起来，那么多半会被遗忘。”学生已经知道了分数的本质含义，但如果没有及时纳入到已有的知识体系中，那么对分数的理解还是处于零散的状态。要让学生明白分数是小学认识数概念的一次重要扩展，分数和整数、小数一样也是一种数，每个分数都能在数轴上找到一个对应的点，从而建构起完整的数概念，帮助学生明白分数也能表示事物的数量。

【片段五】

师：同学们，老师把刚才同学用来表示的线段变了一变，变成了下面这样，大家在图上看到了什么？我们以前学过的2，3在哪里呢？

0 1

师：想一想：你能指出刚才我们学过的和在哪里吗？

生：把0～1之间看作单位1，先把这一段平均分成4份，第一个点就表示，第三个点就可以用表示。

如果本节课的教学到此戛然而止，学生可能会误解为分数总是比1小，从而形成思维上的僵化。因此在这时教师应继续追问：数轴上1到2之间的数是不是也可以用分数来表示呢？

师：我们把1到2之间平均分成4份，1后面的这个点你能用分数来表示吗？

生：可以用来表示。

生：不行，1就是， 比还要小。

生：应该用来表示。

师：这个点到底用还是用来表示，我们以后还将继续学习。

在学生获得分数的意义之后，利用数轴这一载体，引导学生找到已学整数和新学分数在数轴中的不同位置，使学生认识到分数也是一个具体的数，同样可以在数轴上找到相应的位置。这样不仅将真分数延伸到了假分数，在抽象层面建构起分数的一般意义，更沟通了分数、整数和“1”之间的联系，形成辩证的自我认知。

教学中，笔者根据教学所需，对教学内容进行了重组和建构。从学生的生活经验和已有的认知出发，将分数的概念转变成学生可以实际探究的具体情境，在学生思维冲突、意义重建的过程中逐步丰满分数意义的表象，帮助学生对分数内涵的自我建构。这样做不仅突出了单位“1”的地位，更纵向剖析了分数的本质含义，横向延伸了分数的外延，从而使学生经历了更为厚实、丰富、宽广的分数意义的探索过程，建构起了属于学生自己的数学知识体系。

（浙江省宁波市荷花庄小学 315040）endprint

生：我把12个苹果看成单位“1”，平均分成4份，每份就是。

师：想一想：这几幅图为什么都可以用来表示？

生：都把单位“1”平均分成了4份，表示这样的1份。

这样的教学设计意在让学生通过对的理解，进一步深化为对分数意义的理解：要准确表示，与单位“1”中所包含的数量多少没有关系，只是和它是否被平均分成4份，表示这样的1份有关。在这一过程中，学生不仅理解了的意义，也为后续自主学习几分之几的含义做好了铺垫。

2.求异比较，明晰概念的本质属性

通过多层次、多角度理解的意义之后，接着教师提出“你还想研究几分之几？”的学习任务，引领学生进入到对8个小正方形分一分、画一画，创造出不同分数的自主学习环节，展开对分数意义更加深入的理解环节。

【片段四】

师：练习纸上有8个小正方形，请大家分一分，画一画，写出你喜欢的分数。

生：我把8个小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8个小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8个小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8个小正方形平均分成2份，1份是。

师：观察同学们刚才交流的三幅图，你发现了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4个正方形，表示的分数却不相同。

生：因为它们平均分成的份数不同，而且表示的份数也不同。

师：也就是说，平均分成的份数不同，表示的分数也不同。

师：我们刚才是怎样得到这些分数的？你能用一句话来说说什么是分数吗？

生：把单位1平均分成几份，表示这样的几份就是分数。

通过自主创造分数的教学环节引导学生进行“求异比较”：为什么同样的8个小正方形表示的分数却各不相同？抽象概括出单位“1”是什么不重要，关键是把“1”平均分成多少份，表示这样的几份，这才是分数的本质属性。

因此，同样8个小正方形，平均分的份数不同，所表示的分数就不同。学生在反思、质疑中理解：同样的图形，得到不同分数的原因在于平均分的份数不同。通过相同与不同的对比辨析之后，让学生进一步明确分数意义的本质属性。

三、横向延伸——扩展分数意义的外延

美国著名教育家布鲁纳说过：“学生获得的知识如果没有完整的结构把它联系起来，那么多半会被遗忘。”学生已经知道了分数的本质含义，但如果没有及时纳入到已有的知识体系中，那么对分数的理解还是处于零散的状态。要让学生明白分数是小学认识数概念的一次重要扩展，分数和整数、小数一样也是一种数，每个分数都能在数轴上找到一个对应的点，从而建构起完整的数概念，帮助学生明白分数也能表示事物的数量。

【片段五】

师：同学们，老师把刚才同学用来表示的线段变了一变，变成了下面这样，大家在图上看到了什么？我们以前学过的2，3在哪里呢？

0 1

师：想一想：你能指出刚才我们学过的和在哪里吗？

生：把0～1之间看作单位1，先把这一段平均分成4份，第一个点就表示，第三个点就可以用表示。

如果本节课的教学到此戛然而止，学生可能会误解为分数总是比1小，从而形成思维上的僵化。因此在这时教师应继续追问：数轴上1到2之间的数是不是也可以用分数来表示呢？

师：我们把1到2之间平均分成4份，1后面的这个点你能用分数来表示吗？

生：可以用来表示。

生：不行，1就是， 比还要小。

生：应该用来表示。

师：这个点到底用还是用来表示，我们以后还将继续学习。

在学生获得分数的意义之后，利用数轴这一载体，引导学生找到已学整数和新学分数在数轴中的不同位置，使学生认识到分数也是一个具体的数，同样可以在数轴上找到相应的位置。这样不仅将真分数延伸到了假分数，在抽象层面建构起分数的一般意义，更沟通了分数、整数和“1”之间的联系，形成辩证的自我认知。

教学中，笔者根据教学所需，对教学内容进行了重组和建构。从学生的生活经验和已有的认知出发，将分数的概念转变成学生可以实际探究的具体情境，在学生思维冲突、意义重建的过程中逐步丰满分数意义的表象，帮助学生对分数内涵的自我建构。这样做不仅突出了单位“1”的地位，更纵向剖析了分数的本质含义，横向延伸了分数的外延，从而使学生经历了更为厚实、丰富、宽广的分数意义的探索过程，建构起了属于学生自己的数学知识体系。

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生：我把12个苹果看成单位“1”，平均分成4份，每份就是。

师：想一想：这几幅图为什么都可以用来表示？

生：都把单位“1”平均分成了4份，表示这样的1份。

这样的教学设计意在让学生通过对的理解，进一步深化为对分数意义的理解：要准确表示，与单位“1”中所包含的数量多少没有关系，只是和它是否被平均分成4份，表示这样的1份有关。在这一过程中，学生不仅理解了的意义，也为后续自主学习几分之几的含义做好了铺垫。

2.求异比较，明晰概念的本质属性

通过多层次、多角度理解的意义之后，接着教师提出“你还想研究几分之几？”的学习任务，引领学生进入到对8个小正方形分一分、画一画，创造出不同分数的自主学习环节，展开对分数意义更加深入的理解环节。

【片段四】

师：练习纸上有8个小正方形，请大家分一分，画一画，写出你喜欢的分数。

生：我把8个小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8个小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8个小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8个小正方形平均分成2份，1份是。

师：观察同学们刚才交流的三幅图，你发现了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4个正方形，表示的分数却不相同。

生：因为它们平均分成的份数不同，而且表示的份数也不同。

师：也就是说，平均分成的份数不同，表示的分数也不同。

师：我们刚才是怎样得到这些分数的？你能用一句话来说说什么是分数吗？

生：把单位1平均分成几份，表示这样的几份就是分数。

通过自主创造分数的教学环节引导学生进行“求异比较”：为什么同样的8个小正方形表示的分数却各不相同？抽象概括出单位“1”是什么不重要，关键是把“1”平均分成多少份，表示这样的几份，这才是分数的本质属性。

因此，同样8个小正方形，平均分的份数不同，所表示的分数就不同。学生在反思、质疑中理解：同样的图形，得到不同分数的原因在于平均分的份数不同。通过相同与不同的对比辨析之后，让学生进一步明确分数意义的本质属性。

三、横向延伸——扩展分数意义的外延

美国著名教育家布鲁纳说过：“学生获得的知识如果没有完整的结构把它联系起来，那么多半会被遗忘。”学生已经知道了分数的本质含义，但如果没有及时纳入到已有的知识体系中，那么对分数的理解还是处于零散的状态。要让学生明白分数是小学认识数概念的一次重要扩展，分数和整数、小数一样也是一种数，每个分数都能在数轴上找到一个对应的点，从而建构起完整的数概念，帮助学生明白分数也能表示事物的数量。

【片段五】

师：同学们，老师把刚才同学用来表示的线段变了一变，变成了下面这样，大家在图上看到了什么？我们以前学过的2，3在哪里呢？

0 1

师：想一想：你能指出刚才我们学过的和在哪里吗？

生：把0～1之间看作单位1，先把这一段平均分成4份，第一个点就表示，第三个点就可以用表示。

如果本节课的教学到此戛然而止，学生可能会误解为分数总是比1小，从而形成思维上的僵化。因此在这时教师应继续追问：数轴上1到2之间的数是不是也可以用分数来表示呢？

师：我们把1到2之间平均分成4份，1后面的这个点你能用分数来表示吗？

生：可以用来表示。

生：不行，1就是， 比还要小。

生：应该用来表示。

师：这个点到底用还是用来表示，我们以后还将继续学习。

在学生获得分数的意义之后，利用数轴这一载体，引导学生找到已学整数和新学分数在数轴中的不同位置，使学生认识到分数也是一个具体的数，同样可以在数轴上找到相应的位置。这样不仅将真分数延伸到了假分数，在抽象层面建构起分数的一般意义，更沟通了分数、整数和“1”之间的联系，形成辩证的自我认知。

教学中，笔者根据教学所需，对教学内容进行了重组和建构。从学生的生活经验和已有的认知出发，将分数的概念转变成学生可以实际探究的具体情境，在学生思维冲突、意义重建的过程中逐步丰满分数意义的表象，帮助学生对分数内涵的自我建构。这样做不仅突出了单位“1”的地位，更纵向剖析了分数的本质含义，横向延伸了分数的外延，从而使学生经历了更为厚实、丰富、宽广的分数意义的探索过程，建构起了属于学生自己的数学知识体系。

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