关于h凸函数的加权三点不等式

时统业，吴 涵，宋祥斌

（海军指挥学院 浦口分院，江苏 南京 211800）

Simpson不等式在计算定积分的数值计算中有着重要的作用.近些年来，许多学者针对被积函数的各种情形，利用被积函数的各阶导数估计求积公式的误差.本文针对三阶可微函数，通过建立关于积分的恒等式，在三阶导函数的绝对值是h凸函数的情形下，利用简单的数学分析方法和Hölder不等式，给出若干带有权函数的三点不等式，并在特殊情况下得到有关文献的结果.

1 预备知识和引理

关于Simpson不等式的各种改进和推广，可参见文献［1－9］.文献［7－8］分别对其三阶导函数的绝对值是m凸函数和第二种意义上的s凸函数的可微函数建立了一些Simpson型不等式.

定义1［10］设h：J⊆R→R是取正值的函数，f：I⊆R→R是非负函数，且对于任意x，y∈I，t∈［0，1］，有f（tx＋（1－t）y）≤h（t）f（x）＋h（1－t）f（y），则称f是h凸函数.

关于h凸函数的性质和不等式可参见文献［9－16］.文献［9］考虑了三阶导函数的绝对值是h凸函数的可微函数，建立了一些Simpson型不等式，推广了文献［8］的结果.

定理A［9］设h：J⊆R→R（［0，1］⊆J）是非负函数，f：I⊆［0，∞）→R是int I上的三阶可微函数，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］.若｜f（3）｜是［a，b］上的h凸函数，则有

定理B［9］设h：J⊆R→R（［0，1］⊆J）是非负函数，f：I⊆［0，∞）→R是int I上的三阶可微函数，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］.若｜f（3）｜q是［a，b］上的h凸函数，且，则有

定理C［9］设条件同定理B，则有

为了建立证明本文主要结论所用引理，引入函数k（x），并考虑其简单的性态.假设g：［a，b］→R是正的可积函数，定义

其中

其中c1和c2如（2）式所定义，

引理1 设f：I⊆R→R是int I上的三阶可微函数，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］，g：［a，b］→R是正的可积函数，k（x）由（1）式所定义，则有

证 由分部积分法易证得，过程略.

引理2 设g：［a，b］→R是正的可积函数，k1（x）和k2（x）如（1）式所定义.若g≤M，M 为正常数，则有

2 主要结果

定理1 设f：I⊆［0，∞）→R是int I上的三阶可微函数，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］，g：［a，b］→R是正的可积函数，h：J⊆R→R（［0，1］⊆J）是非负函数.若｜f（3）｜是［a，b］上的h凸函数，则有

其中

证 由引理1及｜f（3）｜的h凸性得

其中c1由（2）式所定义，

注1 在定理1中，若取g≡1，则可得定理A.

定理2 设f：I⊆［0，∞）→R是int I上的三阶可微函数，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］，g：［a，b］→R是正的可积函数，h：J⊆R→R（［0，1］⊆J）是非负函数.若｜f（3）｜q是［a，b］上的h凸函数，q＞1，则有

其中B，C的表达式分别由（6）式和（7）式所定义，

证 由引理1及Hölder不等式得

因为｜f″｜q是h凸函数，故有

由（10）～（12）式得（9）式的左边不等式.利用 Hölder不等式，即对任意非负数a1，a2，b1，b2及任意的q＞1，有，可得到（9）式的右边不等式.定理2得证.

推论2 在定理2中，若又设g≤M，M是正常数，则有

证 由定理2中A1，B1的表达式及引理2得

其中c1由 （2）式所定义，

注2 在定理2中，若取g≡1，则可得定理B.

定理3 设f：I⊆［0，∞）→R是int I上的三阶可微函数，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］，g：［a，b］→R是正的可积函数，g≤M，M 是正常数，h：J⊆R→R（［0，1］⊆J）是非负函数.若｜f（3）｜q是［a，b］上的h凸函数，，则有（其中Γ是Gamma函数.）

证 由引理1、引理2、Hölder不等式及｜f″｜q的h凸性得

注3 在定理3中，若取g≡1，则可得定理C.

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