预应力对基座振动特性的影响分析

李铭

摘 要：设备安装引起的预应力会影响基座的振动特性。基座主要由梁板结构组成，该文首先从理论推导出发分析了预应力对简支梁、板固有频率及导纳的影响，并验证了有限元方法计算预应力结构振动特性的准确性；然后利用有限元方法计算了预应力对加筋板结构振动特性的影响，最后分别计算分析了设备安装对刚性台架上的淡水泵基座以及对实艇浮筏基座振动特性的影响。结果表明预加载荷对梁板结构低频振动特性影响较为显著；设备安装对刚性台架上的淡水泵基座低频导纳峰值频率处的影响较为明显，尤其是跨点导纳；设备安装对实艇浮筏基座导纳的影响可以忽略。

关键词：预应力 梁板结构 基座 固有频率 导纳 有限元

中图分类号：U661.44 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（a）-0103-04

Analysis of pre-stress influence on base vibration characteristic

LI Ming

（Equipment Department of Naval North Sea Fleet，Qingdao 266000，China）

Abstract：The pre-stress induced by installed machine will affect vibration characteristic of base. The base is mostly composed by beams and plates， the pre-stress influence on natural frequency and admittance of simply supported beam and plate is analyzed by theoretical derivation firstly， then the validity of using FEM to calculating pre-stressed structure vibration characteristic is confirmed， after that the pre-stress influence on stiffened plate is analyzed by FEM. The effect of installed machine on vibration characteristic of fresh water pump base fixed on rigid bench and floating raft base fixed on submarine is analyzed finally. The conclusion is that the effects of pre-stress on beam-plate assembly cant be neglected， especially when the frequency is low； The pre-stress effect on fresh water pump base is evident in the frequency of peak value， especially for the transmission admittance and pre-stress effect on the floating raft base can be neglected.

Key words：pre-stress beam-plate assembly base natural frequency admittance FEM

在进行设备振动传递、振源特性等方面的研究时，设备安装基座的机械导纳（速度导纳或加速度导纳）是重要参数，一般忽略设备安装导致的预应力对基座刚度的影响，以裸基座导纳代替实际条件下的基座导纳[1]，这对计算分析带来多大误差是值得考虑的问题。此外实际测量设备安装条件下的基座导纳时会因设备质量块的存在影响真实激励力的计算，有限元在计算基座中低频导纳时有其优势[2]，该文亦利用有限元方法计算基座导纳。

国内外已有不少学者对预应力作用下梁、板结构的振动和稳定性问题进行了研究。Bokaian为了便于工程应用，给出了各种传统边界条件下轴压和轴拉等截面梁频率随轴向载荷的变化曲线图[3]。吕中荣计算了预应力对预应力梁振动特性的影响，指出预应力主要影响低阶模态，并且对位移响应的影响比对速度和加速度响应的影响大；预应力越大，其对振动响应的影响就越明显[4]。姜劲枫分析了预应力对梁、板弯曲振动固有频率的影响，指出影响大小与预应力、约束方式和计算的模态阶次有关[5]。Matsunaga采用二维高阶剪切理论，研究了含预应力厚板的动力学特性和稳定性问题，并对不同长厚比的弹性厚板在不同阶次的位移近似下得到的结果进行了比较[6]。

基座主要由梁板结构组成，该文在借鉴前人研究成果基础上从理论推导出发分析了预应力对梁、板振动特性（固有频率和机械导纳）的影响，并结合有限元方法计算了预应力作用下加筋板的振动特性，最后分析了安装设备对基座振动特性的影响，相关结论可为基座导纳工程测量提供参考。

1 梁、板结构的基本理论

该文以简支梁和简支板为研究对象，以经典的Bernouli-Euler梁理论、Poisson-Kirchhoff薄板理论作为理论基础，定性分析预应力对梁、板振动的影响[7]。

1.1 Bernouli-Euler梁理论

梁的变形主要是弯曲变形，忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响，在预应力作用时（见图1）基本运动方程为：

（1）

分别为变形量、弹性模量、转动惯量，梁密度、横截面面积以及外载荷。endprint

1.2 Poisson-Kirchhoff薄板理论

Poisson-Kirchhoff薄板理论是最为常用的板理论，能满足工程与应用精度要求，在单向预应力作用时（见图2）基本运动方程为：

（2）

，为板厚，为泊松比，拉普拉斯算子。

2 预应力对梁、板固有频率的影响

2.1 预应力对梁弯曲振动固有频率的影响

考虑预应力时梁的振型方程为：

（3）

对简支梁而言，无预应力时的阶自振频率，影响系数，临界压力，为梁的长度。

梁基本参数如下：kg/m3，， Pa，

，为截面宽度，为截面高度，，梁材料损耗因子为0.01。可得不同预加载荷下梁的固有频率，见表1。

2.2 预应力对板弯曲振动固有频率的影响

讨论单向均布压力作用下简支矩形板的自由振动即基本运动方程，则方程（2）变为：

（4）

相应的振型方程为：

（5）

，设满足边界条件的振型解为：，

，代入振型方程，因，可得固有频率解：。其中为无平面力频率，为临界压力，平面力修正系数。

板基本参数如下： kg/m3，Pa，m，长m、宽m，材料损耗因子为0.01。可得不同预应力下板的固有频率，见表2。

由表1和表2的计算结果可知，在预加压力的作用下，梁、板的固有频率降低，压力越大影响越明显，并且低阶模态对预加载荷更为敏感。

3 预应力对梁、板导纳影响

在计算预应力对简支梁和简支板固有频率的影响之后，进一步分析预应力对简支梁、板导纳的影响，可以更为深入的了解预应力作用下梁板结构的振动特性。

3.1 预应力对简支梁导纳特性的影响

由模态叠加法可得简支梁在外载荷作用下加速度导纳：，其中振型。以2.1节简支梁为研究对象，取，计算处的原点导纳，见图3。

3.2 预应力对简支板阻抗特性的影响

由模态叠加法得简支板在外载荷作用下加速度导纳：。以2.2节简支板为研究对象，计算激励点原点导纳，见图4。

由图3、图4可知，梁、板的原点导纳曲线的峰值频率在预加压力的影响下向低频区移动，并且对应的峰值并不相同，导纳值在峰值频率附近差别加大，其余频段影响较小；在预应力影响下板导纳曲线的峰值频率增加，因无预应力导纳曲线的峰值频率与阶模态频率相对应，对方板而言阶模态频率与模态频率相同，但在预应力的影响下二者不再相同，因此会多出一个峰值频率；由预应力下简支板频率公式可知当即方向的半波数少于向的半波数时预应力对模态频率的影响降低，图4中曲线中的205 Hz，410 Hz两个峰值频率对应（1，2）阶和（1.3）阶模态频率，其向低频的偏移量较其它峰值频率点要小很多。

此外，由简支梁、板导纳公式可知，在频域内利用位移导纳和加速度导纳评价预应力对梁板结构振动特性的影响是等价的。

由上述分析得到了简支梁、板在预应力作用下的基本振动特性，为更好的了解预应力对板梁组合结构的影响，下文利用有限元方法分析预应力作用下加筋板的振动特性。

4 有限元方法验证

首先验证有限元方法计算预应力结构振动特性的可行性和准确性，以2.2节中简支板为计算对象，固有频率和原点导纳（激励点为（0.1，0.1）的对比见表3和图5。

由表3和图5可知固有频率的计算值与理论解基本一致；预应力作用下的导纳曲线除在第一个峰值和谷值频率处有5 dB的误差，整个计算频域内吻合较好，从而验证了有限元方法的准确性。

5 预应力对加筋板振动的影响

加筋板尺寸：平板长m、宽 m，厚 m，两根方形梁作为纵向加强筋将平板沿向平均分为3部分，材料损耗因子为0.01，梁截面尺寸为 m2，加筋板四边简支，有限元模型见图6。加筋板临界压力的精确解较难得到，同时为方便与相同尺寸的平板比较，此处取为平板临界压力。预应力沿方向，激励点为，利用有限元方法得到不同预应力下加筋板的固有频率及导纳曲线，分别见表4及图7。

由表4和图7可知，在方向预加压力作用下加筋板固有频率降低，但由于纵肋的加强作用预应力对加筋板的影响较平板减弱；导纳曲线的部分峰值向低频偏移，主要原因为对平板而言当振动在方向的半波数小于方向的半波数时预应力效应降低，同时纵肋主要增强板的第一弹性主向即方向的刚度，因此当时预应力对该阶模态频率的影响很小，导纳曲线上与之对应的峰值频率基本不变。

6 设备安装对基座导纳的影响

为深入分析设备安装引起的预加载荷对舰艇基座振动特性的影响，分别计算了淡水泵基座以及实艇浮筏基座的导纳特性。前者为简单板梁组合结构，通过螺栓固定于刚性平板上，模拟基座的刚性台架试验；后者主要是分析实艇测试条件下设备安装对基座导纳的影响。

6.1 淡水泵基座导纳计算

淡水泵基座的有限元模型见图8，淡水泵与基座的连接简化为点连接，设备重1.6 t，a，b，c，d为水泵与基座的连接点。

首先计算了裸基座和设备安装时基座的固有频率，见表5；然后计算了安装点a的原点导纳和a到c的跨点导纳，见图9。

由表5可知，在淡水泵安装条件下基座的固有频率有所下降，尤其是低阶模态。由图9可知淡水泵基座的原点导纳和跨点导纳曲线在设备安装条件下峰值频率向低频偏移，在峰值频率附近差别较为明显尤其是跨点导纳，其余频率处影响较小。因此当淡水泵基座安装在刚性台架上测量其导纳时，要考虑设备安装引起的预应力对其导纳的影响。

6.2 实艇浮筏基座的导纳计算

以实艇浮筏基座为研究对象，有限元模型见图10。筏架与设备总重7.8 t，筏架通过6个隔振器与基座联结，视为点接触，图10中a-f即为连接点。endprint

首先对裸基座和设备安装条件两种情况进行模态分析，见表6。结果表明基座低阶模态主要表现为壳体的整体振动，垂直作用于基座板平面的预加载荷对模态的影响很小。

进一步计算点b原点导纳和点b到点f的跨点导纳，见图11。

由图11中可知设备安装对实艇基座的导纳特性基本没有影响。在工程实际中基座和舰艇均有不同形式的加强结构，如肘板、环肋等，并且安装与实艇的基座在中低频主要表现为整体模态，预应力对高阶模态的影响又很小，因此在实艇测量基座导纳时可以不考虑设备安装带来的预加载荷对其造成的影响。

7 结语

该文研究表明预应力会影响梁板结构的振动特性，影响程度取决与预应力大小、分析频段；对加筋板结构而言还取决与筋的布置形式及预应力方向。设备安装引起的预应力对刚性台架上的淡水泵基座导纳的影响较为明显，尤其是跨点导纳，影响频段集中在峰值频率附近，其余频段影响很小；设备安装对实艇浮筏基座导纳的影响很小，可以用裸基座导纳代替设备安装条件下的基座导纳。设备安装对基座导纳影响的大小主要取决与基座刚度和预加载荷大小，对加强结构如加强筋、肘板较多的基座预加载荷对其振动特性的影响会降低，因此在工程实际中是否需要考虑设备安装对刚性台架上的基座导纳的影响可以根据实际情况确定，当预应力的数量级与基座的临界压力数量级相同或接近时就要考虑设备安装的影响，否则亦可以用裸基座导纳代替设备安装条件下的基座导纳。

参考文献

[1] 原春晖.机械设备振动源特性测试方法研究[D].武汉：华中科技大学，2006.

[2] 黄惜春，吴崇健，胡刚义，等.用有限元法计算基座阻抗[J].舰船工程研究， 2004（3）：1-6.

[3] Bokaian A.Natural frequencies of beams under tensile axial loads[Jl.Journal of sound and vibration.1990， 142（3）：481-98.

[4] 吕中荣，罗绍湘，刘济科.预应力对预应力梁振动的影响[J].中山大学学报（自然科学版），2006，45（2）：119-120.

[5] 姜劲枫，王柏生.预应力梁、板弯曲振动固有频率的研究[J].工程力学， 1996（A2）：439-443.

[6] Matsunaga H.Free vibration and stability of thick elastic plates subjected to in-plane forces[Jl. International journal of solid and structure，1994，31（22）：3113-3124.

[7] Werner S.vibration of shells and plates[M].New York：Marcel Dekker Inc，2005.endprint

首先对裸基座和设备安装条件两种情况进行模态分析，见表6。结果表明基座低阶模态主要表现为壳体的整体振动，垂直作用于基座板平面的预加载荷对模态的影响很小。

进一步计算点b原点导纳和点b到点f的跨点导纳，见图11。

由图11中可知设备安装对实艇基座的导纳特性基本没有影响。在工程实际中基座和舰艇均有不同形式的加强结构，如肘板、环肋等，并且安装与实艇的基座在中低频主要表现为整体模态，预应力对高阶模态的影响又很小，因此在实艇测量基座导纳时可以不考虑设备安装带来的预加载荷对其造成的影响。

7 结语

该文研究表明预应力会影响梁板结构的振动特性，影响程度取决与预应力大小、分析频段；对加筋板结构而言还取决与筋的布置形式及预应力方向。设备安装引起的预应力对刚性台架上的淡水泵基座导纳的影响较为明显，尤其是跨点导纳，影响频段集中在峰值频率附近，其余频段影响很小；设备安装对实艇浮筏基座导纳的影响很小，可以用裸基座导纳代替设备安装条件下的基座导纳。设备安装对基座导纳影响的大小主要取决与基座刚度和预加载荷大小，对加强结构如加强筋、肘板较多的基座预加载荷对其振动特性的影响会降低，因此在工程实际中是否需要考虑设备安装对刚性台架上的基座导纳的影响可以根据实际情况确定，当预应力的数量级与基座的临界压力数量级相同或接近时就要考虑设备安装的影响，否则亦可以用裸基座导纳代替设备安装条件下的基座导纳。

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[5] 姜劲枫，王柏生.预应力梁、板弯曲振动固有频率的研究[J].工程力学， 1996（A2）：439-443.

[6] Matsunaga H.Free vibration and stability of thick elastic plates subjected to in-plane forces[Jl. International journal of solid and structure，1994，31（22）：3113-3124.

[7] Werner S.vibration of shells and plates[M].New York：Marcel Dekker Inc，2005.endprint

首先对裸基座和设备安装条件两种情况进行模态分析，见表6。结果表明基座低阶模态主要表现为壳体的整体振动，垂直作用于基座板平面的预加载荷对模态的影响很小。

进一步计算点b原点导纳和点b到点f的跨点导纳，见图11。

由图11中可知设备安装对实艇基座的导纳特性基本没有影响。在工程实际中基座和舰艇均有不同形式的加强结构，如肘板、环肋等，并且安装与实艇的基座在中低频主要表现为整体模态，预应力对高阶模态的影响又很小，因此在实艇测量基座导纳时可以不考虑设备安装带来的预加载荷对其造成的影响。

7 结语

该文研究表明预应力会影响梁板结构的振动特性，影响程度取决与预应力大小、分析频段；对加筋板结构而言还取决与筋的布置形式及预应力方向。设备安装引起的预应力对刚性台架上的淡水泵基座导纳的影响较为明显，尤其是跨点导纳，影响频段集中在峰值频率附近，其余频段影响很小；设备安装对实艇浮筏基座导纳的影响很小，可以用裸基座导纳代替设备安装条件下的基座导纳。设备安装对基座导纳影响的大小主要取决与基座刚度和预加载荷大小，对加强结构如加强筋、肘板较多的基座预加载荷对其振动特性的影响会降低，因此在工程实际中是否需要考虑设备安装对刚性台架上的基座导纳的影响可以根据实际情况确定，当预应力的数量级与基座的临界压力数量级相同或接近时就要考虑设备安装的影响，否则亦可以用裸基座导纳代替设备安装条件下的基座导纳。

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