在数学广角教学中渗透数学思想的策略

陈明娟

摘 要 数学广角是在培养学生解决问题能力中渗透数学思维的重要载体。本文以“植树问题”为例，阐述如何在数学广角教学中渗透对应、数形结合、数学建模等重要数学思想，以提高学生解决数学问题的能力。

关键词 数学广角 数学思想

中图分类号：G424 文献标识码：A

基本数学思想方法是提高学生数学能力和思维能力的重要手段，是实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力转变的重要途径。但它们都是隐性的，抽象的。数学广角的内容都是把这些抽象的数学思想方法以学生可以理解的直观的、生动有趣的形式呈现。让学生在直观的解决问题过程中感悟抽象的数学思想。在教学过程中教师的作用就不可小觑，应该作为组织引导者和促进参与者，要运用多种手段激发学生的思考意识和问题意识。引导学生充分发挥主体作用，自主实践，运用已有知识经验，探索新方法手段，利用多样的思想方法来解决问题。在“植树问题”教学中笔者充分渗透了如下的一些思想方法。

1 对应思想

所谓“对应”是指一个系统中某一项性质、作用、位置或数量上跟另一系统中某一项相当。对应思想有助于加深对知识的理解，培养学生清晰有条理的思考方法，提高学生比较问题、分析问题、解决问题的能力。在植树问题教学中，对于研究段数和间隔数的关系，笔者充分引导了这一思想方法。

【片断一】

探究关系：（1）为什么都是在24米长的小路，都是每隔6米种一棵，会出现3种不同的结果呢？（2）有没有共同的地方？（3）段数相同，棵树相同吗？

打开信封，结合里面的两个材料想一想。

材料一：

材料二：

男生女生排队，人数一样多，最后一位（ ）

（1）先独立思考。（2）可以同桌之间，小组之间相互讨论。（3）请小朋友说出自己的想法，并把关键字板书。（4） 总结。

学生很容易发现，篱笆数和木桩数之间的关系：篱笆数=木桩数+1。

男学生数和女学生数之间的关系：男生数=女生数。

再回到3种种树情况中有没有对应思想的存在。

一棵树跟着一个间隔，间隔和树一一对应，最后那棵树没有间隔与其对应，所以棵树比间隔数多1。

一棵树跟着一个间隔，间隔和树一一对应，棵树和间隔数一样。

一棵树跟着一个间隔，间隔和树一一对应，最后多了一个间隔出来。

至此学生已经感受植树问题中一一对应思想方法的存在，理解了多1的原因，建立起深刻、整体的表象，体会到不同植树问题情形中棵树和间隔之间的关系。在后续的练习中，学生能够充分利用这一思想方法来解题，正确率大大提高了。

2 数形结合思想

所谓数形结合是指借助简单的图形、符号和文字所做的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。在学生掌握基础知识和基本技能的基础上，通过教师的引导，建立数形结合有利于学生的思考，降低学习的难度。加大学生的思考空间和创造空间，激活学生的思维。

在植树问题教学中，要进一步研究不同情形的植树问题棵树和间隔数之间的关系，并且抽象出公式，如果只是单纯地把数量关系告诉学生，让学生强硬记住，并且反复练习，所得的结果只有两个：易混淆和易出错，时间一长容易忘记。所以笔者不提倡让学生单纯记忆任何一种植树问题的数量关系和公式，而是注重让学生与他人合作交流，利用较小的数做实验，通过探究活动，画线段图或示意图的方式很好地把数量关系抽象出来，并尝试用自己的语言表述这个结果，利用“多数推广”的方法找规律，以小见大，推广应用。

【片断二】

（1）独立尝试把上述不同的种树情况和自己的想法通过画图表示出来，收集不同图示进行展示，如下：

（2）就上述不同情况进行比较和辨析。

为什么在同样长24米的小路一边植树，都是每隔6米种一棵，会出现三种不同的结果？（关键是看两个端点是否植树）。初步感知棵树和段数之间的关系。

（3）再次尝试合作探究，不同条件下棵树和段数直接的关系。

①在这条24米长的路上植树，除了可以每隔6米种一棵，还可以每隔几米种一棵？学生纷纷说出各自的想法，每隔2米、3米、4米、8米等等。

②请学生选择自己喜欢的相隔米数，再次通过画图来完成三种不同的植树情况。（提供独立探究的操作纸）

③数据填入表格

④展示学生研究结果

观察表格结果，你对不同植树情况下，棵树和段数之间的关系有什么新的发现？（很多学生都说有规律）。

总结学生的发现：两端都种：棵树=段数+1。

一端种，一端不种：棵树=段数

两端都不种：棵树=段数1

这样的操作和探索不单单做到了数形结合，同时又把三种植树情况联系在一起，为学生的个性化思维提供了宽敞的舞台，力求让每个层次的学生都能展现出自己的理解，并在适当的时候进行交流，让学生由表及里地把外在的感性操作提升为内在的理性经验，真正培养和发展了学生的抽象思维能力和问题解决能力。

3 数学建模思想

数学建模是把错综复杂的数学问题抽象、简化为简单的合理的易于理解的数学结构的过程。它是一种数学的思考方法和数学学习方式，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。“植树问题”的模型是典型的数学模型，它源于现实，又高于生活。在现实中有着广泛的应用。

【片断三】

发现生活中的植树问题

（1）先让学生说说生活中有没有类似植树问题的例子。

（2）老师这里准备了一些图片，我们一起来看一看。（课件出示有间隔的图片）①手；②楼梯。③锯木头。④学生排队。⑤栽电线杆、安路灯、插彩旗、汽车站、钟面。

通过举例身边的实例，进一步体会，现实生活中的许多不同事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义。