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关于曲线构图的一点探讨

2014-11-11焦莉萍

科教导刊 2014年28期
关键词:能力提高

焦莉萍

摘 要 本文通过例题引出在曲线构图时需要注意的问题并加以总结,随之用典型题目予以强调应用,以期提高学生利用导数知识解决问题的能力。

关键词 导数应用 曲线构图 能力提高

中图分类号:J211 文献标识码:A

数学不仅有数的一面,也有“形”的一面。美国著名数学家克莱茵曾指出:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时,它们就相互吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善。”数学具有广泛的应用性,其它学科和日常生活都可以找到应用数学解决问题的例子。通过函数图形来掌握函数的性态也显得格外重要。随着现代计算机的发展,很多软件都可以做到输入解析式后,立刻显示出函数图象来。但是,如何识别机器作图中的误差、掌握图形上的关键点、选择作图的范围等问题,并进行人工干预,仍需要我们能运用微分学的方法描绘出函数的图形。本文就导数在曲线构图方面的应用做出一点探讨,以期提高学生利用导数知识解决问题的能力。值得注意的是,在作图过程中,除了微分学知识的应用外,还需要应用初等数学的知识及一些基本常识来辅助。

例1 画出() = 的图形。

解:(1)所给函数的定义域为(,+),() = = 3()(),得 ()的驻点为 = 。易得, ()在(,1)和(1,)上单调递减,在()上单调递增,且 ()在 = 处取得极小值,在 = 处取得极大值2。可以首先在坐标系内描出点(),(1,2),注意在 = ?处 ()的切线为水平,描绘出 = ?两点附近函数的单调性。

(2)考虑无限远端问题,即→时 ()的取值问题,这是一类很容易忽略的问题。→ , () = ≈,则有→时, ()→+;→+时, ()→。记为 () = +, (+) = 。

(3)考察(),对在(1)、(2)里勾画出的图形加以修饰。由() = 得, ()在(,0)上为凹函数,在(0,+)上为凸函数,且点(0,0)为 ()的拐点。

综上,可以作出 ()= 的图形(图1)。①

例2 描绘函数 ()= 的图形。

解:(1)所给函数 ()= 的定义域为(),(),() = ≠0。 = 为 ()的间断点,且 () = , () = +。 = 为函数的铅直渐近线。

(2)考察函数在无限远端的取值。 ()= = ,→时, ()→1。即 = 1为函数的水平渐近线。

(3)讨论在(),()内函数的极值问题。由() = >0≠0(≠),可知 ()在()和()内分别单调递增。

(4)最后利用()在()和()内的符号进一步考察函数的形态。 由() = (≠),得()时,()>0, ()= 是凹的;()时,()<0, ()= 是凸的。

综上,可以作出 ()= 的图形(图2)。

根据以上两个例题,我们可以得出描绘函数图形的步骤如下:(1)描出特殊点:)间断点;)无限远端的点;)图形与坐标轴的交点。(2)求出(),得到可能的极值点(包括驻点和不可导点),并计算出相应的极值。(3)判断()在以可能极值点为端点的区间内的符号,据此判定函数在相应区间上的凹凸性,求出拐点。(4)综合以上信息,作出图形。

现在,应用以上知识解决问题:作出 () = (>0)的图形。

解:(1)描点。)易知 = 1为 ()的间断点,且 ()= , ()= ;)考虑无限远端,左端 = 0,右端 ()= ;) (0) = 0。

(2)()= ,令()= 0,得 = ,且 ()= 。(0,1)和(1,)时,()<0;(1,+)时,()>0。点()为驻点。在本题中,值得注意的是,() = = ,则有() = 0,即 = 0也是函数的一个驻点,作图时需要加以注意。

(3)考虑()的符号,最终确定函数的图形。 求出() = ,令() = 0,得 = 。(0,1)和(,+)时,()<0, () = (>0)是凸的;(1,)时,()>0, () = (>0)是凹的。

综上所述,作出 () = (>0)的图形(图3)。

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