关于曲线构图的一点探讨

焦莉萍

摘 要 本文通过例题引出在曲线构图时需要注意的问题并加以总结，随之用典型题目予以强调应用，以期提高学生利用导数知识解决问题的能力。

关键词 导数应用 曲线构图 能力提高

中图分类号：J211 文献标识码：A

数学不仅有数的一面，也有“形”的一面。美国著名数学家克莱茵曾指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”数学具有广泛的应用性，其它学科和日常生活都可以找到应用数学解决问题的例子。通过函数图形来掌握函数的性态也显得格外重要。随着现代计算机的发展，很多软件都可以做到输入解析式后，立刻显示出函数图象来。但是，如何识别机器作图中的误差、掌握图形上的关键点、选择作图的范围等问题，并进行人工干预，仍需要我们能运用微分学的方法描绘出函数的图形。本文就导数在曲线构图方面的应用做出一点探讨，以期提高学生利用导数知识解决问题的能力。值得注意的是，在作图过程中，除了微分学知识的应用外，还需要应用初等数学的知识及一些基本常识来辅助。

例1 画出（） = 的图形。

解：（1）所给函数的定义域为（，+），（） = = 3（）（），得 （）的驻点为 = 。易得， （）在（，1）和（1，）上单调递减，在（）上单调递增，且 （）在 = 处取得极小值，在 = 处取得极大值2。可以首先在坐标系内描出点（），（1，2），注意在 = ？处 （）的切线为水平，描绘出 = ？两点附近函数的单调性。

（2）考虑无限远端问题，即→时 （）的取值问题，这是一类很容易忽略的问题。→ ， （） = ≈，则有→时， （）→+；→+时， （）→。记为 （） = +， （+） = 。

（3）考察（），对在（1）、（2）里勾画出的图形加以修饰。由（） = 得， （）在（，0）上为凹函数，在（0，+）上为凸函数，且点（0，0）为 （）的拐点。

综上，可以作出 （）= 的图形（图1）。①

例2 描绘函数 （）= 的图形。

解：（1）所给函数 （）= 的定义域为（），（），（） = ≠0。 = 为 （）的间断点，且 （） = ， （） = +。 = 为函数的铅直渐近线。

（2）考察函数在无限远端的取值。 （）= = ，→时， （）→1。即 = 1为函数的水平渐近线。

（3）讨论在（），（）内函数的极值问题。由（） = >0≠0（≠），可知 （）在（）和（）内分别单调递增。

（4）最后利用（）在（）和（）内的符号进一步考察函数的形态。 由（） = （≠），得（）时，（）>0， （）= 是凹的；（）时，（）<0， （）= 是凸的。

综上，可以作出 （）= 的图形（图2）。

根据以上两个例题，我们可以得出描绘函数图形的步骤如下：（1）描出特殊点：）间断点；）无限远端的点；）图形与坐标轴的交点。（2）求出（），得到可能的极值点（包括驻点和不可导点），并计算出相应的极值。（3）判断（）在以可能极值点为端点的区间内的符号，据此判定函数在相应区间上的凹凸性，求出拐点。（4）综合以上信息，作出图形。

现在，应用以上知识解决问题：作出 （） = （>0）的图形。

解：（1）描点。）易知 = 1为 （）的间断点，且 （）= ， （）= ；）考虑无限远端，左端 = 0，右端 （）= ；） （0） = 0。

（2）（）= ，令（）= 0，得 = ，且 （）= 。（0，1）和（1，）时，（）<0；（1，+）时，（）>0。点（）为驻点。在本题中，值得注意的是，（） = = ，则有（） = 0，即 = 0也是函数的一个驻点，作图时需要加以注意。

（3）考虑（）的符号，最终确定函数的图形。 求出（） = ，令（） = 0，得 = 。（0，1）和（，+）时，（）<0， （） = （>0）是凸的；（1，）时，（）>0， （） = （>0）是凹的。

综上所述，作出 （） = （>0）的图形（图3）。