单纯形算法在高速公路深挖路堑边坡设计中的运用

2014-11-09周娟

山西建筑 2014年22期

关键词：单纯形土条滑面

周娟

(海南省公路勘察设计院，海南海口 570206)

边坡极限平衡分析非常重要的一步是寻找最小安全系数所对应的临界滑裂面。搜索临界滑裂面的方法主要包括三大类:枚举法，数值分析法(模式搜索法和牛顿法)以及诸如模拟退火、遗传算法、神经网络等非数值算法。

W.Fellenius及D.W.Talor的研究成果指出:均质简单土坡，其滑裂面为规则的圆弧，且该圆弧通过坡脚［1］。对于这样的滑裂面，寻找最危险滑面，实际就是寻找安全系数函数的最小值:

其中，F(Xi)为潜在的滑面安全系数;Xi为关于圆弧圆心坐标的二维向量，即 Xi=(xi，yi)T。

采用单纯形法构造一个三角形便可快速寻找到临界滑面。本文首先推导了以圆心坐标为参数的均质简单边坡的Bishop计算式，并编写了基于单纯性法的临界滑面搜索程序，将其运用于海南横线万宁—儋州—洋浦高速公路某深挖路堑边坡设计中。

1 以滑面圆心坐标为参数的安全系数求解

1.1 边坡计算模型

以坡脚处为原点，建立如图1所示直角坐标系。边坡几何物理力学条件如下:圆弧滑面圆心坐标为(X0，Y0);高度为H，坡角为β;均布荷载为q，距坡顶起点距离为B1，作用宽度为B2;假设浸润线由几条直线连接而成，各条浸润线端点坐标为(XJi，YJi)，其中第一条浸润线第一个端点为(0，0)。

图1 边坡稳定性计算模型

采用Bishop法计算滑面安全系数，需要将上述已知条件转化为式(2)所需参数。

其中，下标i表示任一土条;下标j为土层;γj为土层重度;H(i，j)为土条每一土层的高度;Bi为土条宽度;αi为土条重力与圆弧法线夹角;Ui为土条底部水压力;ci，φi分别为滑面粘聚力、内摩擦角;F为安全系数。

1.2 参数转换

在直角坐标系中求出圆弧、坡面线、坡顶线以及各条浸润线的方程。

圆弧方程:

坡面线方程:

坡顶线方程:

浸润线方程:

得到方程后，按下述方法进行参数转换。

1)将圆弧方程与坡顶线方程联立求解滑面与坡顶交点坐标(XD，H)，并求出坡面起点坐标(Xs，H)。2)根据划分的土条数 n将各土条设置为同一宽度Bi=XD/n，并计算各分界线横坐标XFi=XFi－1+Bi，将XFi代入圆弧方程取较小值求得 YFi。3)计算土条中线与滑面交点坐标(XHi，YHi)。XHi=(XFi+XFi－1)/2，将XHi代入圆弧方程取较小值求得YHi。4)计算土条中线与坡面交点坐标(XPi，YPi)。XPi=XHi;当 XPi＜ Xs时，将 XPi代入坡面线方程求得 YPi，当 XPi≥Xs时，YPi=H。5)计算土条高度 Hi。Hi=YPi－YHi。6)计算土条分界线与浸润线交点纵坐标 YJFi。根据土条分界线横坐标XFi与浸润线端点横坐标XJi+1，XJi的大小关系，判断分界线与哪条浸润线相交，然后将XFi代入该浸润线方程求得YJFi。7)计算重力与圆弧法线夹角αi。根据土条中线横坐标与圆心横坐标的关系有三种情况:XHi＜X0，αi=arctan［(Y0－ YHi)/(X0－ XHi)］－ π/2。XHi=X0，αi=0。XHi＞ X0，αi=π/2－arctan［(Y0－YHi)/(X0－XHi)］。8)计算土条底部水压力Ui。分界线上水面到滑面的高度 Hwi=YJFi－YFi，水压力Ui=(Hwi+Hwi－1)·Bi/(2cosαi)。9)计算外荷载 Qi。根据分界线坐标与荷载左右边界的关系求得各土条上的外荷载Qi。

2 单纯形法搜索临界滑面的基本原理

2.1 单纯形法的基本思想

单纯形是指在n维向量空间具有n+1个顶点的多面体。对于本文所讨论的问题，初始向量为关于圆心坐标的二维向量x0=(X0，Y0)T，则以下述3个向量构成二维空间的三角形:x1=x0=(X0，Y0)T。x2=(X0+pl，Y0+ql)T。x3=(X0+ql，Y0+pl)T。其为边长，取值 n+1=3。首先求出3个顶点的目标函数值 F(xi)，找出其中的最大值F(xh)，最小值 F(xl)和中间值 F(xm)，对应顶点为 xh，xl和 xm。从这一个单纯形出发，每次迭代都设法构造新的单纯形，用新单纯形的一个顶点替换掉原单纯形具有最大安全系数F(xh)的顶点，以此逐步逼近目标函数的极小点。

2.2 单纯形的基本算法

单纯形主要包括反射、扩大、收缩和缩边四种操作。在操作前先求出除xh外两个顶点的中心xc，以及中心的函数值F(xc)。

1)反射。将最大函数值顶点通过中心xc反射到对面xr，并计算反射点的函数值F(xr)。

其中，通常取反射系数α=1。

2)扩大。若F(xr)＜F(xl)，反射成功，并表明沿着xcxr方向函数值有可能进一步下降，因此将xr扩大到xe，计算扩大点的函数值F(xe)。

其中，通常取扩大系数γ=2。

若F(xe)＜F(xl)，表明扩大成功，用xe替换xh构成新的单纯形。若F(xe)≥F(xl)，表明扩大失败，用xr替换xh构成新的单纯形，进行收敛判定，如图2所示。

图2 单纯形反射、扩大操作

3)收缩。若F(xm)≥F(xr)≥F(xl)，用xr替换xh，构成新的单纯形，进行收敛判定。若F(xh)＞F(xr)＞F(xm)，用xr替换xh，构成新的单纯形，进行收敛判定。若F(xr)≥F(xh)，必须进行收缩操作，将反射点收缩至xt，并计算反射点的函数值F(xt)。

其中，通常取收缩系数β=0.5。

若F(xh)＞F(xt)，用xt替换xh，构成新的单纯形，进行收敛判定，否则进行缩边操作。单纯形收缩操作见图3。

图3 单纯形收缩操作

4)缩边。当F(xt)≥F(xh)时进行缩边，保持xl不变，对其他顶点进行缩边操作，得到新的单纯形，进行收敛判定。单纯形缩边操作见图4。

5)收敛准则。

其中，ε为足够小的数。

图4 单纯形缩边操作

3 工程运用

3.1 工程及工点概况

海南横线万宁—儋州—洋浦高速公路，路线全长164.1 km，是《国务院关于推进海南国际旅游岛建设发展的若干意见》确定的交通基础设施项目，是列入《海南国际旅游岛建设发展规划纲要》及《海南省公路交通“十二五”发展规划》的重点项目，在完善海南岛路网结构，充分发挥博鳌亚洲论坛及洋浦国家级经济开发区的区位优势，以及促进中部市县快速发展等方面具有如下重要功能和作用。其主要技术标准为:四车道高速公路，设计速度100 km/h，路基宽26 m。

K130+180～K130+560段，路线翻越垭口，其中心挖深最大为12 m，路堑边坡高度最高为28 m，为深挖路堑，需进行单独设计。