图像函数在发动机轮盘动力学模型校准中的简单应用

万俊丹++何遗非++聂磊

摘 要：研究表明，模态振型的图像函数可以有效的描述结构的振动特征，并可应用于结构动力学模型的设计与改进。本文将探讨图像函数-Zernike矩（以下简称Z矩）在结构动力学模型校准中的应用，通过某型弹用发动机轮盘的动力学模型校准，验证了基于Z图像函数用于实际结构的动力学模型设计与改进的实际应用是可行性。

关键词：图像函数 动力学 模型校准

中图分类号：V231.9 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于图像函数的模型校准方法

基于图像函数的模型校准方法的研究刚刚起步，尚有许多的新方法有待研究与发现。本节介绍了基于图像函数的灵敏度的模型校准方法，推导了图像函数的灵敏度公式，并给出了修正参数的估计方法。

1.1 模态振型的图像函数的灵敏度

模态振型的描述符对结构参数的灵敏度可以表示为：

（1）

这里，是待修正的结构参数。

连续模态振型函数可以表示为单元型函数和模态特征向量的线性组合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模态振型图像函数的灵敏度可以通过计算单元形函数的特征矩与特征向量的灵敏度之积来获得。

此外，前向差分法也可以用来计算图像函数灵敏度，该方法简单易行，但须选择适宜的步长。

1.2 修正参数估计

与基于灵敏度的修正方法类似，在获得响应对修正参数的灵敏度后，可以利用灵敏度与Z特征矩残差来估计下次迭代的参数：

（4）

其中，是模态振型图像函数的灵敏度，为测试模态振型函数的特征矩，为第j次迭代的仿真的模态振型特征矩。

在利用图像函数进行修正时，可以选择模态振型的主要特征矩作为响应目标，否则修正过程易发散。

2 Z矩在发动机轮盘的动力学模型校准中的应用

本文利用基于图像函数的模型校准的方法，利用试验数据对某型弹用发动机轮盘进行模型校准。由于测试数据中包含了较大的噪声（尤其是高频模态），故将固有频率和模态振型的Z特征矩同时作为修正对象。

由相关性分析结果可知，第3～5、8和9阶模态对的固有频率误差很大（均高于10%）。经分析，这几阶模态均包含轮盘的节圆振动（伞形振动），而节圆振动的主要区域在轮盘的内孔和中间薄壁处，可能是这些区域存在误差导致了频率差异过大；此外，考虑到测绘过程中倒角等部位测量的不够准确，也是模型中可能的误差源。最终，确定了3个区域进行修正，分别为轮盘内孔、薄壁和薄壁与轮缘间的倒角部分。各修正区域如图1所示，修正参数选择弹性模量，分别为P1～P3。

修正的目标为前13阶试验频率及其对应模态振型的Z特征主矩，共80个响应。采用基于灵敏度的迭代法进行修正，采用本中所给方法分别计算频率及图像函数的灵敏度。修正过程中固有频率误差及参数的变化如图2所示。

可以看到，迭代9次后，参数收敛。各阶模态的频率误差均下降，有限元预测结果与试验数据之间的误差被大大减小。值得注意的是，薄壁与轮缘的倒角处的刚度降低了将近80%，说明在有限元建模过程中，该处的建模误差较大。

图3中比较了修正前后的频率误差，可以看到，经过修正，第3～5和第8、9阶模态的固有频率误差明显减小，各模态的最大频率误差也由17.5%降1.74%，这说明通过修正有效的减小了有限元模型与实际结构的差异。

修正前后的频率误差、MAC的变化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5阶模态的MAC值明显变大，均上升至90%以上，这是由于利用Z矩进行修正，缩小了模态对之间的转角。

表2比较了是否考虑模态振型的Z图像函数的修正结果（取MAC>70%的前10阶模态对）。

由表2可知，两种情况下，修正后的固有频率误差均降至2%以内，达到了很好的修正效果；考虑轮盘模态振型的Z矩后，修正后的MAC值高于仅修正固有频率的结果，这是因为基于图像函数的模型校准考虑了模态振型的影响，从而使模态振型得到了有效的改善。

综上所述，利用结合固有频率和Z矩进行模型校准，可以有效的改善发动机轮盘动力学模型与实际结构的差异，使修正后的模型可以很好的反映结构的振动特性；考虑模态振型的Z矩后，使修正后试验/有限元的MAC值得到了提高。可见，利用图像函数进行模型校准是完全可行的，且具有一定优越性。

3 结论

本文对基于图像函数的模型校准的方法的可行性进行了探讨与研究。通过本文的研究，成功将Zernike矩应用于某型弹用发动机轮盘的模型校准之中。修正后，轮盘的固有频率误差降至2%以内，前10阶模态振型的MAC值均高于0.8。此外，考虑模态振型的Z矩，修正后试验/有限元的MAC值较仅采用固有频率进行修正得到了提高。可见，将图像函数应用于实际结构的模型校准是可行的，可以使修正后的模型更准确的反映结构的动力学特性。

参考文献

[1] 刘银超.矩函数在结构动力学模型确认中的应用[D].南京航空航天大学，2012.

[2] 樊征兵.考虑不确定性因素的结构动力学分析技术研究[D].南京航空航天大学，2012.

[3] 林贤响.机床结构动力学建模及动态特性分析技术的研究[D].浙江工业大学 2012.endprint

摘 要：研究表明，模态振型的图像函数可以有效的描述结构的振动特征，并可应用于结构动力学模型的设计与改进。本文将探讨图像函数-Zernike矩（以下简称Z矩）在结构动力学模型校准中的应用，通过某型弹用发动机轮盘的动力学模型校准，验证了基于Z图像函数用于实际结构的动力学模型设计与改进的实际应用是可行性。

关键词：图像函数 动力学 模型校准

中图分类号：V231.9 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于图像函数的模型校准方法

基于图像函数的模型校准方法的研究刚刚起步，尚有许多的新方法有待研究与发现。本节介绍了基于图像函数的灵敏度的模型校准方法，推导了图像函数的灵敏度公式，并给出了修正参数的估计方法。

1.1 模态振型的图像函数的灵敏度

模态振型的描述符对结构参数的灵敏度可以表示为：

（1）

这里，是待修正的结构参数。

连续模态振型函数可以表示为单元型函数和模态特征向量的线性组合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模态振型图像函数的灵敏度可以通过计算单元形函数的特征矩与特征向量的灵敏度之积来获得。

此外，前向差分法也可以用来计算图像函数灵敏度，该方法简单易行，但须选择适宜的步长。

1.2 修正参数估计

与基于灵敏度的修正方法类似，在获得响应对修正参数的灵敏度后，可以利用灵敏度与Z特征矩残差来估计下次迭代的参数：

（4）

其中，是模态振型图像函数的灵敏度，为测试模态振型函数的特征矩，为第j次迭代的仿真的模态振型特征矩。

在利用图像函数进行修正时，可以选择模态振型的主要特征矩作为响应目标，否则修正过程易发散。

2 Z矩在发动机轮盘的动力学模型校准中的应用

本文利用基于图像函数的模型校准的方法，利用试验数据对某型弹用发动机轮盘进行模型校准。由于测试数据中包含了较大的噪声（尤其是高频模态），故将固有频率和模态振型的Z特征矩同时作为修正对象。

由相关性分析结果可知，第3～5、8和9阶模态对的固有频率误差很大（均高于10%）。经分析，这几阶模态均包含轮盘的节圆振动（伞形振动），而节圆振动的主要区域在轮盘的内孔和中间薄壁处，可能是这些区域存在误差导致了频率差异过大；此外，考虑到测绘过程中倒角等部位测量的不够准确，也是模型中可能的误差源。最终，确定了3个区域进行修正，分别为轮盘内孔、薄壁和薄壁与轮缘间的倒角部分。各修正区域如图1所示，修正参数选择弹性模量，分别为P1～P3。

修正的目标为前13阶试验频率及其对应模态振型的Z特征主矩，共80个响应。采用基于灵敏度的迭代法进行修正，采用本中所给方法分别计算频率及图像函数的灵敏度。修正过程中固有频率误差及参数的变化如图2所示。

可以看到，迭代9次后，参数收敛。各阶模态的频率误差均下降，有限元预测结果与试验数据之间的误差被大大减小。值得注意的是，薄壁与轮缘的倒角处的刚度降低了将近80%，说明在有限元建模过程中，该处的建模误差较大。

图3中比较了修正前后的频率误差，可以看到，经过修正，第3～5和第8、9阶模态的固有频率误差明显减小，各模态的最大频率误差也由17.5%降1.74%，这说明通过修正有效的减小了有限元模型与实际结构的差异。

修正前后的频率误差、MAC的变化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5阶模态的MAC值明显变大，均上升至90%以上，这是由于利用Z矩进行修正，缩小了模态对之间的转角。

表2比较了是否考虑模态振型的Z图像函数的修正结果（取MAC>70%的前10阶模态对）。

由表2可知，两种情况下，修正后的固有频率误差均降至2%以内，达到了很好的修正效果；考虑轮盘模态振型的Z矩后，修正后的MAC值高于仅修正固有频率的结果，这是因为基于图像函数的模型校准考虑了模态振型的影响，从而使模态振型得到了有效的改善。

综上所述，利用结合固有频率和Z矩进行模型校准，可以有效的改善发动机轮盘动力学模型与实际结构的差异，使修正后的模型可以很好的反映结构的振动特性；考虑模态振型的Z矩后，使修正后试验/有限元的MAC值得到了提高。可见，利用图像函数进行模型校准是完全可行的，且具有一定优越性。

3 结论

本文对基于图像函数的模型校准的方法的可行性进行了探讨与研究。通过本文的研究，成功将Zernike矩应用于某型弹用发动机轮盘的模型校准之中。修正后，轮盘的固有频率误差降至2%以内，前10阶模态振型的MAC值均高于0.8。此外，考虑模态振型的Z矩，修正后试验/有限元的MAC值较仅采用固有频率进行修正得到了提高。可见，将图像函数应用于实际结构的模型校准是可行的，可以使修正后的模型更准确的反映结构的动力学特性。

参考文献

[1] 刘银超.矩函数在结构动力学模型确认中的应用[D].南京航空航天大学，2012.

[2] 樊征兵.考虑不确定性因素的结构动力学分析技术研究[D].南京航空航天大学，2012.

[3] 林贤响.机床结构动力学建模及动态特性分析技术的研究[D].浙江工业大学 2012.endprint

摘 要：研究表明，模态振型的图像函数可以有效的描述结构的振动特征，并可应用于结构动力学模型的设计与改进。本文将探讨图像函数-Zernike矩（以下简称Z矩）在结构动力学模型校准中的应用，通过某型弹用发动机轮盘的动力学模型校准，验证了基于Z图像函数用于实际结构的动力学模型设计与改进的实际应用是可行性。

关键词：图像函数 动力学 模型校准

中图分类号：V231.9 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于图像函数的模型校准方法

基于图像函数的模型校准方法的研究刚刚起步，尚有许多的新方法有待研究与发现。本节介绍了基于图像函数的灵敏度的模型校准方法，推导了图像函数的灵敏度公式，并给出了修正参数的估计方法。

1.1 模态振型的图像函数的灵敏度

模态振型的描述符对结构参数的灵敏度可以表示为：

（1）

这里，是待修正的结构参数。

连续模态振型函数可以表示为单元型函数和模态特征向量的线性组合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模态振型图像函数的灵敏度可以通过计算单元形函数的特征矩与特征向量的灵敏度之积来获得。

此外，前向差分法也可以用来计算图像函数灵敏度，该方法简单易行，但须选择适宜的步长。

1.2 修正参数估计

与基于灵敏度的修正方法类似，在获得响应对修正参数的灵敏度后，可以利用灵敏度与Z特征矩残差来估计下次迭代的参数：

（4）

其中，是模态振型图像函数的灵敏度，为测试模态振型函数的特征矩，为第j次迭代的仿真的模态振型特征矩。

在利用图像函数进行修正时，可以选择模态振型的主要特征矩作为响应目标，否则修正过程易发散。

2 Z矩在发动机轮盘的动力学模型校准中的应用

本文利用基于图像函数的模型校准的方法，利用试验数据对某型弹用发动机轮盘进行模型校准。由于测试数据中包含了较大的噪声（尤其是高频模态），故将固有频率和模态振型的Z特征矩同时作为修正对象。

由相关性分析结果可知，第3～5、8和9阶模态对的固有频率误差很大（均高于10%）。经分析，这几阶模态均包含轮盘的节圆振动（伞形振动），而节圆振动的主要区域在轮盘的内孔和中间薄壁处，可能是这些区域存在误差导致了频率差异过大；此外，考虑到测绘过程中倒角等部位测量的不够准确，也是模型中可能的误差源。最终，确定了3个区域进行修正，分别为轮盘内孔、薄壁和薄壁与轮缘间的倒角部分。各修正区域如图1所示，修正参数选择弹性模量，分别为P1～P3。

修正的目标为前13阶试验频率及其对应模态振型的Z特征主矩，共80个响应。采用基于灵敏度的迭代法进行修正，采用本中所给方法分别计算频率及图像函数的灵敏度。修正过程中固有频率误差及参数的变化如图2所示。

可以看到，迭代9次后，参数收敛。各阶模态的频率误差均下降，有限元预测结果与试验数据之间的误差被大大减小。值得注意的是，薄壁与轮缘的倒角处的刚度降低了将近80%，说明在有限元建模过程中，该处的建模误差较大。

图3中比较了修正前后的频率误差，可以看到，经过修正，第3～5和第8、9阶模态的固有频率误差明显减小，各模态的最大频率误差也由17.5%降1.74%，这说明通过修正有效的减小了有限元模型与实际结构的差异。

修正前后的频率误差、MAC的变化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5阶模态的MAC值明显变大，均上升至90%以上，这是由于利用Z矩进行修正，缩小了模态对之间的转角。

表2比较了是否考虑模态振型的Z图像函数的修正结果（取MAC>70%的前10阶模态对）。

由表2可知，两种情况下，修正后的固有频率误差均降至2%以内，达到了很好的修正效果；考虑轮盘模态振型的Z矩后，修正后的MAC值高于仅修正固有频率的结果，这是因为基于图像函数的模型校准考虑了模态振型的影响，从而使模态振型得到了有效的改善。

综上所述，利用结合固有频率和Z矩进行模型校准，可以有效的改善发动机轮盘动力学模型与实际结构的差异，使修正后的模型可以很好的反映结构的振动特性；考虑模态振型的Z矩后，使修正后试验/有限元的MAC值得到了提高。可见，利用图像函数进行模型校准是完全可行的，且具有一定优越性。

3 结论

本文对基于图像函数的模型校准的方法的可行性进行了探讨与研究。通过本文的研究，成功将Zernike矩应用于某型弹用发动机轮盘的模型校准之中。修正后，轮盘的固有频率误差降至2%以内，前10阶模态振型的MAC值均高于0.8。此外，考虑模态振型的Z矩，修正后试验/有限元的MAC值较仅采用固有频率进行修正得到了提高。可见，将图像函数应用于实际结构的模型校准是可行的，可以使修正后的模型更准确的反映结构的动力学特性。

参考文献

[1] 刘银超.矩函数在结构动力学模型确认中的应用[D].南京航空航天大学，2012.

[2] 樊征兵.考虑不确定性因素的结构动力学分析技术研究[D].南京航空航天大学，2012.

[3] 林贤响.机床结构动力学建模及动态特性分析技术的研究[D].浙江工业大学 2012.endprint