关于数列求和问题的一些思考

褚艳春　杨红强

在中学数学的教学中，求数列各项和的问题是我们不容忽视的教学重点内容，依据《课程标准》的要求，高中阶段的学生应该掌握等差数列，等比数列前n项的求和公式，还应该会采用这些简单的公式去解决生活中一些常见的简单问题。

一、关于数列求和问题的认识

与数列有关的题目是我们在中学阶段重点学习的内容，一般使用公式法、通项分析法、错位相减法、裂项相消法、递推法和阶差法等方法进行数列的求和，在这些方法中公式法是最基本的方法。我们在学习数列的时候首先学习的就是等差数列和等比数列，公式法的本质就是一定要记清楚、记准确公式，能够准确地通过分析数列的特征给出其通项公式，然后求出数列前项和。

通项分析法是相对灵活多变的方法，首先分析数列各项的特征，观察有没有什么共同的特点，例如各项是否可以分解，局部是否可以先求和等等，分组求和然后再整体求和。遇到这种题目，我们要灵活面对，方法不唯一，具体情况还得具体分析，上面我们只是介绍了通项分析法运用的一部分，也是我们常见的一类题目，必须要牢牢掌握。

错位相减法是我们常用的方法，值得注意的是在解题过程当中一定要自仔细认真，因为在解题过程当中数列的项数是繁多的，稍微不注意就容易写错。

裂项相消法就是把一项分解成两项甚至是多项，然后采用消除的办法求得前项和。用这种方法解决数列问题的类型有很多，其中包括等差型、无理型、指数型、对数型、三角函数型等等，其中三角函数型是不常见的，但是我们在遇到的时候要会解，以上介绍的几种类型一定要牢牢的掌握，在解题过程当中我们经常会遇到，每一种类型都有自己鲜明的特点，同学们要在理解的基础上加以记忆，灵活多变的去解决遇到的不同问题。

递推法大体上在解决自然数平方和、立方和的题目时常常会用到。采用递推法解决数列题目，起初我们要知道数列的通项公式，求通项的办法就是要先找到数列各项间的规律，继后化难为易，在中学课本上等差数列和等比数列其通项的求法就可以通过递推公式的形式来求出。上文我们已经介绍了等差数列其通项通过递推公式的办法证明了出来。我已经介绍了三种用递推法去解决问题的类型，这三种类型是我们在解决数列问题时经常会遇到的问题，希望读者可以理解并牢牢的掌握。

阶差法是求通项公式常用的方法，我们知道数列是由一项一项构成的，其排列有一定的次序，这里的一定次序是关键，换句话说这里的一定次序就是数列的通项，而阶差法就是在通项公式不是很容易看出来的情况下采用的办法。上文中我所介绍的那道例题就是一道很典型的例题，充分理解这道例题，分析阶差法的微妙之处是解决这种类型的关键。

归纳、猜想、证明这种类型的题目一般情况下我们是可以通过分析数列各项的共同特征归纳出其前项和，然后猜想通项和公式，最重要的一点就是证明，证明方法一般采用假设法，假设法就是假设当时等式成立，我们来推当时等式也成立。采用这种方法的题目都有自己和鲜明的特点，读者通过分析上文所介绍的例题可以很快的理解什么时候采用这种方法。关键的一点就是假设法的运用，读者一定要牢牢地掌握。多做一些与此相关的例题，千锤百炼。

与组合数有关的数列的求和法和特殊的三角数列求和法是不常见的一类题目解法，在此我们要了解这两种方法，在遇到这种题目的时候要会用、会解。

二、一些思考

以上讨论的是数列求和问题常用到的一些解题方法，而数列求和类的题目其解法灵活多变，不限于一种方法。对于较复杂的的数列求和题目需要在掌握基本或者说是根本方法的基础上进行更进一步的探究，并在处理数学问题时，摸索求解规律的过程之中，努力培养剖析问题和解决问题的本领，逐步养成勤于思考，善于动手的良好习惯。很多学生在遇到数列问题时常会感到特别棘手，或者是一看到数列求和问题就头大，就害怕，我觉得这完全是没有必要的行为，只要我们掌握了数列的最基本的方法，把其他方法好好地理解，我想在以后再次遇到数列求和问题时就会得心应手。

（责编 张景贤）