证明圆的切线的三种典型例题

李冬梅

切线是直线与圆的位置关系中最重要的一种关系。随着新课改的推进，近几年的中考题中越来越多地出现了证明圆的切线的题型，为此，我在教学中积累了证明圆的切线的几道典型例题，每道题中都经典地用到了切线的判定定理，但方法各异。下面我介绍三道经典题。

例1.在直角三角形ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，∠C=90°当r为2.4 cm时，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？

思路导析：如下图所示，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需求出圆心C到直线AB的距离CD，然后与r比较就可以。

解：做CD⊥AB于点D。

在直角三角形ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，∠C=90°

有勾股定理得：AB=5 cm

又∵S=AB×CD÷2=AC×BC÷2

∴CD=2.4 cm ∴CD=r=2.4 cm

∴AB与⊙C相切.

例2.如下图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D.試猜想CD所在直线与⊙O的位置关系，并证明。

思路导析：圆的切线的判定定理的条件是：①经过半径外端点。②这条半径与直线垂直。

证明：连接OC

方法（一）：

∵AO=CO ∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB ∴∠CAB=∠DAC

又∵AD⊥CD于点D ∴∠DAC+∠ACD=90°

∴∠AOC+∠ACD=90°∴OC⊥AD∴CD所在直线与⊙O相切.

方法（二）：

∵弧BC所对的圆心角、圆周角分别是∠BOC和∠CAB

∴∠BOC和∠2CAB ∵AC平分∠DAB ∴∠CAB和∠DAC

∴∠DAB和∠BOC ∴OC∥AD ∴∠OCD和∠ACD

∵AD⊥CD于点D ∴OC⊥CD ∴CD所在直线与⊙O相切.

例3.直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？请证明你的结论。

思路导析：本题没有指明圆心在直径AB上的哪一点，可先做EF⊥CD于点F，再证明E点是圆心，EF是半径即可。

证明：做EF⊥CD于点F

∵DE平分∠ADC，∠A=90°，EF⊥CD于点F

∴AE=EF 同理可证：BE=EF ∴AE=BE=EF

∵AB为直径 ∴E是圆心，EF是半径

∴AB为直径的圆与边CD相切。

综合上述三种典型例题，不难发现，圆的切线的判定定理可用两句话概括“作垂直证半径”“连半径证垂直”。