基于混合法的月球软着陆轨迹优化

彭 坤 果琳丽 向开恒 王 平

(中国空间技术研究院 载人航天总体部，北京100094)

徐世杰

(北京航空航天大学 宇航学院，北京100191)

在进行无人月面勘探或载人登月任务时，都需要使着陆器实现月球表面软着陆，以保证仪器设备以及航天员的安全.在典型的月球软着陆过程中，从环月轨道下降到月球表面主要可分为2个阶段:霍曼转移段和动力下降段.其中，霍曼转移段指着陆器从环月停泊轨道通过霍曼变轨进入环月椭圆轨道，并运行至近月点;动力下降段[1]指着陆器从近月点处开始发动机制动抵消水平速度，并最终以较小速度着陆月面.由于霍曼变轨速度增量较小，着陆器的大部分燃料都消耗在动力下降段，故有必要对动力下降段的着陆轨迹进行优化设计以减少燃料消耗.

当前，求解月球软着陆轨迹优化这类最优控制问题的方法有基于Pontryagin极大值原理的间接法以及基于参数化方法的直接法[2].王大轶等[3]和赵吉松等[4]分别用间接法搜索最优月球软着陆轨迹.由于间接法初值难以猜测，大部分学者均采用直接法进行月球软着陆轨迹优化研究.王劼等[5－6]、朱建丰等[7]和段佳佳等[8]分别用序列二次规划(SQP，Sequential Quadratic Programming)方法、遗传算法(GA，Genetic Algorithm)、自适应模拟退火遗传算法以及蚁群算法对着陆轨迹进行优化.孙军伟等[9]直接将着陆轨道进行离散，采用SQP方法求解了月球软着陆轨道优化问题.彭祺擘等[10]、单永正等[11]和梁栋等[12]分别用高斯伪谱法、miser 3.2最优控制软件和李雅普诺夫直接法求解了月球定点软着陆轨道优化问题.为提高直接法的优化速度，王明光等[13]和赵吉松等[14]分别基于伪光谱和广义乘子法进行了月球软着陆轨道快速优化设计.直接法虽然不存在初值敏感问题，但其寻优结果最优性得不到保证.为保证寻优结果的最优性，同时避免初值敏感问题，文献[15－16]采用混合法思想求解月球软着陆轨迹优化问题.混合法是将直接法和间接法结合起来的一种综合方法.它一方面引入伴随状态，利用伴随方程来确定控制函数，另一方面又不直接求解两点边值问题，而通过参数优化求解最优控制问题.但文献[15－16]的混合法求得的终端速度误差较大.

本文基于混合法的思想将月面软着陆轨迹优化问题转化为以伴随变量初值和终端时刻为待优化变量的最优化问题，并应用全局优化和局部收敛能力较好的随机优化算法——引导人工免疫算法(GAIA，Guiding Artificial Immune Algorithm)进行优化.将GAIA混合法优化结果与传统间接法和直接法进行比对，从而验证该优化方法的优化性能.

1 月球软着陆问题

1.1 系统模型

忽略动力下降段末段的不共面影响，将动力下降段近似为在同一个平面内飞行，建立如图1所示二维坐标系描述月面着陆器的软着陆飞行过程.该坐标系原点O为月心，极轴Ox指向动力下降起始位置.考虑动力下降飞行时间较短，忽略太阳和地球的第3天体引力摄动、月球非球形摄动和月球自转速度.着陆器在软着陆过程中只受月球引力FL和制动发动机推力Ft的作用.

图1 月球软着陆示意图

着陆器的运动可由二维极坐标系下的位置速度摄动方程[5]来描述，并将着陆器质量作为状态变量加入状态方程中，其形式如式(1)所示:

式中，m为质量;μL为月心引力常数;w为比冲，m/s.

设初始状态为环月停泊轨道近月点[3]，终端状态为着陆月面.设初始时刻t0=0，终端时刻tf可变，边界条件数学表述如下:

式中，r0为近月点处的月心距;vθ0为近月点处的轨道速度;m0为着陆器动力下降前初始质量;rf为月球半径.

1.2 归一化处理

为提高系统模型的收敛性，对其进行归一化处理.设距离和质量参考量为r*=r0，m*=m0，则归一化状态方程为

相应的边界条件为

最优月球软着陆轨迹为燃料消耗最少的飞行轨迹，即要求最终质量最大，其性能指标设置如下:

2 基于混合法的优化模型

2.1 最优控制律设计

利用Pontryagin极大值原理可得月球软着陆归一化模型的哈密顿函数为

1)最优推力方向角u为

2)伴随方程为

2.2 优化变量

由式(9)、式(10)以及式(4)可知，只要给出4个伴随变量的初值，就可逐步推出下一时刻的最优推力方向角和软着陆状态变量.为避免伴随变量的初值猜测，混合法将4个伴随变量初值λr(0)，λvr(0)，λvθ(0)，λm(0)作为优化变量，采用优化算法对其进行优化.同时，由于终端时间f自由，也需将其作为优化变量.故混合法的优化变量为

2.3 状态方程

联立式(4)和式(10)就可得到混合法优化模型的状态方程.其中，状态变量θ可与其他变量解耦.为简化优化模型，状态方程中暂时去掉极角θ和其伴随变量的微分方程.

2.4 评价函数及约束处理

在优化模型中，评价函数除考虑着陆器最终质量外，还需考虑终端约束的满足情况.本文将终端状态误差以罚函数形式引入评价函数faff(X)中，其表达式如下:

式中，X=[λr(0)，λvr(0)，λvθ(0)，λm(0)，f]T;σ1，σ2，σ3为罚函数权重.

权重系数在寻优过程中进行自适应调整，其表达式如下:

式中，β 为变化率系数，β∈[0，1];Tλ为初始参数;g为当前寻优代数;gmax为最大代数.为加强罚函数前期约束功能，将权重系数值与1取最大值.

3 人工免疫算法

经过混合法处理，月球软着陆轨迹优化问题转化为以伴随变量和终端时间为优化变量的高维非线性规划问题.常用的非线性规划问题求解方法为SQP，但其存在全局优化性能不佳、对初始值敏感等问题.在随机优化算法方面，GA应用最广，但也存在局部收敛和收敛速度慢等问题.本文采用全局优化性能好和局部搜索能力强的GAIA对该非线性规划问题进行求解.

3.1 人工免疫算法流程

人工免疫算法将免疫系统产生抗体的过程与寻优过程一一对应，其算法流程如图2所示.

图2 人工免疫算法流程

3.2 人工免疫算法实现

1)亲和度计算.设亲和度如式(11)所示.

2)浓度和激励度计算.激励度计算公式[17]如下:

式中抗体浓度fden(XI)计算公式[17]如下:

式中 n，XI，fbff(XI，Xi)的含义见文献[17].

3)免疫操作.对种群中优质抗体进行选择、克隆和变异，搜索最优解.引导型变异计算公式[17]如下:

式中 XI，j，k，δ，Pr，Pm，Xbj，τ，G 的含义见文献[17].选出最优变异抗体AI替代所选优质抗体XI.

4)种群刷新.设置淘汰机制，对种群中劣质抗体进行删除，并生成相同个数的新抗体进行补足.

4 仿真实例

为便于寻优结果的比较，选择文献[7]中的算例进行仿真.着陆器初始条件为r0=1 753 km，θ0=0°，vr0=0 m/s，vθ0=(9.65 × 10－4·r0)m/s，m0=600 kg.终端约束为 rf=1738 km，vrf=0 m/s，vθf=0 m/s.μL=4.902 75 × 1012m3/s2，设 Ft=λvθ(0) ＞ 0，且.由横截条件和伴随方程可知，λm(tf)=0，˙λm＜0，故λm(0)＞0.由多次搜索结果可知λr(0)＞0.由于伴随变量的初值等比例放大或缩小不影响寻优结果，可将4个伴随变量初值设置在[－1，1]之间.故可设λvr(0)∈[0，1]，λvr(0)∈[－ 0.1，0]，λvθ(0)∈[0，1]，λm(0)∈[0，1].月球软着陆的时间一般在600 s左右，设置f∈[0.5，0.7].

在GAIA参数设置中，令种群抗体个数n=300，gmax=60，τ=15，Pm=0.8，激励度参数 a=2，G自适应调整.为保证搜索到全局最优解，进行10次GAIA寻优，寻优结果均收敛.将寻优结果与间接法结果进行比对，验证其是否为最优解，如表1和图3所示.1350 N，w=2 940 m/s.在罚函数法中，取 β =0.005，T2=0.1;直接令σ1=5σ2，σ3=σ2.

由月球软着陆的优化经验[3]可知，初始推力方向角应约为180°，由式(10)可知，λvr(0)＜0和

表1 GAIA混合法与间接法寻优结果对比

由表1可知，GAIA混合法寻优结果平均值的终端状态误差虽比间接法(基于Pontryagin极大值原理)的误差大，但其误差量级已经非常小，足够满足着陆器软着陆的要求.同时其燃料消耗与间接法的结果相同，说明GAIA混合法的寻优精度非常高.

图3为GAIA混合法10次寻优的最优结果与间接法求解结果的对比图.由图3可看出，采用GAIA混合法和间接法得到的月心距、径向速度、横向速度和推力方向角变化曲线完全重合，GAIA混合法的寻优结果即为理论最优解.相比于间接法，GAIA混合法的猜测初值收敛区间更大，敏感度低.以λvr(0)的单个伴随变量初值收敛区间[4]为例，其理论初值为0.481 2，间接法的收敛区间为[－ 0.247 8，2.563 6];而 GAIA 混合法在[－30000，30000]范围内均可收敛，即收敛区间至少涵盖[－30 000，30 000]，远大于间接法的收敛区间.当软着陆边界条件和着陆器参数改变、理论初值未知时，GAIA混合法仅需修改仿真参数和调整初值取值范围就可重新求得最优轨迹，通用性强.

图3 控制变量与状态变量变化曲线

表2为GAIA混合法寻优结果与基于十进制蚁群算法(DACA)[8]和基于自适应模拟退火遗传算法(ASAGA)[7]的直接法寻优结果的对比.由表2可看出，除月心距误差略大外，GAIA混合法的其他终端误差比DACA直接法和ASAGA直接法小一个量级;同时，GAIA混合法的燃料消耗比DACA直接法和ASAGA直接法少，这是因为混合法中的最优控制律由间接法推导而来，相比于直接法来说更加接近理论上的最优推力方向角(如图3所示).由于GAIA混合法的待优化变量较少，其平均寻优时间比DACA直接法和ASAGA直接法小得多，因此GAIA混合法寻优速度更快，如表2所示.

表2 GAIA混合法与DACA直接法及ASAGA直接法寻优结果对比

5 结束语

本文通过Pontryagin极大值原理和自适应权重罚函数，将月球软着陆轨迹优化问题转化为以伴随变量初值和终端时间为优化变量的非线性规划问题;将全局优化性能和局部搜索能力强的GAIA用于非线性规划问题求解.仿真结果表明，相比于间接法，GAIA混合法初值收敛范围大，易于求解，通用性好，且寻优结果与理论最优解相同.同时，与DACA直接法和ASAGA直接法相比，GAIA混合法寻优结果最优性更好，寻优速度快.

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