隐藏在概率问题中的数学思想

刘茹红

数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它是建立数学和用数学解决问题的指导思想.而概率是新课程的教材中新增内容，它在理论与实际生活中都有非常重要的意义，在多年的高考考题中都有很到位的体现.然而教材给出的解题方法只适合解决一些简单的概率问题，对于具有一定实际背景又兼一定深度的概率问题显然不够用，因此，笔者研读了近些年的高三的各类备考概率题型，试图找出隐藏在概率问题中的五种常见数学思想：转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、分类综合思想以及函数与方程思想.

一、化归思想.“化归”是转化和归结的简称，它是数学解决问题的基本方法.解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，但是，通过观察、分析、类比、联想，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个对自己较熟悉的问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归思想方法”.解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.

例1. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

审题：（1）读懂所给表格，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径.

解析：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44（人），

∴用频率估计相应的概率为0.44.

（2）选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：

（3）设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由（2）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5. ∵P（A1）>P（A2），∴甲应选择L1.

同理，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B1）

点评：（1）在求解随机事件问题时，要注意频率、概率的区别.（2）对复杂事件概率的计算，可以先把事件转化为几个互斥事件的和.

练习1.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

二、分类讨论思想. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，所谓分类讨论，实质上，就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.注意把握分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论.

例2. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记？孜=x-2 +y-x.

（1）求随机变量？孜的最大值，并求事件“？孜取得最大值”的概率；

（2）求随机变量？孜的分布列.

审题：（1）根据x，y的取值，随机变量？孜的最大值为3，当？孜=3时，只能x=1，y=3或x=3，y=1；

（2）根据x，y的取值，？孜的所有取值为0，1，2，3，列举计数计算其相应的概率值即可.

解析：（1）∵x，y可能的取值为1，2，3，∴x-2≤1，y-x≤2，

三、数形结合思想. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，通过“以形助数，以数解形”，使代数问题几何化，几何问题代数化.数形结合思想使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些概率问题，可起到事半功倍的效果.

五、方程与函数思想

1. 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.

例5. A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：

（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D（Y1），D（Y2）；

（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值.

审题：（1）求随机变量Y1，Y2的方差D（Y1），D（Y2），关键是先计算出相应变量的均值E（Y1），E（Y2）.

（2）读清题目的要求，列出函数f（x）的解析式同，再利用二次函数性质求出f（x）的最小值.

解析：（1）由题设可知Y1和Y2的分布列为：

E（Y1）=5×0.8+10×0.2=6，D（Y1）=（5-6）2×0.8+（10-6）2×0.2=4.

点评：（1）解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件.（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.

2. 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

（作者单位：广东省紫金中学）

责任编校 徐国坚

数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它是建立数学和用数学解决问题的指导思想.而概率是新课程的教材中新增内容，它在理论与实际生活中都有非常重要的意义，在多年的高考考题中都有很到位的体现.然而教材给出的解题方法只适合解决一些简单的概率问题，对于具有一定实际背景又兼一定深度的概率问题显然不够用，因此，笔者研读了近些年的高三的各类备考概率题型，试图找出隐藏在概率问题中的五种常见数学思想：转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、分类综合思想以及函数与方程思想.

一、化归思想.“化归”是转化和归结的简称，它是数学解决问题的基本方法.解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，但是，通过观察、分析、类比、联想，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个对自己较熟悉的问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归思想方法”.解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.

例1. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

审题：（1）读懂所给表格，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径.

解析：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44（人），

∴用频率估计相应的概率为0.44.

（2）选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：

（3）设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由（2）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5. ∵P（A1）>P（A2），∴甲应选择L1.

同理，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B1）

点评：（1）在求解随机事件问题时，要注意频率、概率的区别.（2）对复杂事件概率的计算，可以先把事件转化为几个互斥事件的和.

练习1.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

二、分类讨论思想. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，所谓分类讨论，实质上，就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.注意把握分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论.

例2. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记？孜=x-2 +y-x.

（1）求随机变量？孜的最大值，并求事件“？孜取得最大值”的概率；

（2）求随机变量？孜的分布列.

审题：（1）根据x，y的取值，随机变量？孜的最大值为3，当？孜=3时，只能x=1，y=3或x=3，y=1；

（2）根据x，y的取值，？孜的所有取值为0，1，2，3，列举计数计算其相应的概率值即可.

解析：（1）∵x，y可能的取值为1，2，3，∴x-2≤1，y-x≤2，

三、数形结合思想. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，通过“以形助数，以数解形”，使代数问题几何化，几何问题代数化.数形结合思想使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些概率问题，可起到事半功倍的效果.

五、方程与函数思想

1. 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.

例5. A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：

（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D（Y1），D（Y2）；

（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值.

审题：（1）求随机变量Y1，Y2的方差D（Y1），D（Y2），关键是先计算出相应变量的均值E（Y1），E（Y2）.

（2）读清题目的要求，列出函数f（x）的解析式同，再利用二次函数性质求出f（x）的最小值.

解析：（1）由题设可知Y1和Y2的分布列为：

E（Y1）=5×0.8+10×0.2=6，D（Y1）=（5-6）2×0.8+（10-6）2×0.2=4.

点评：（1）解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件.（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.

2. 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

（作者单位：广东省紫金中学）

责任编校 徐国坚

数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它是建立数学和用数学解决问题的指导思想.而概率是新课程的教材中新增内容，它在理论与实际生活中都有非常重要的意义，在多年的高考考题中都有很到位的体现.然而教材给出的解题方法只适合解决一些简单的概率问题，对于具有一定实际背景又兼一定深度的概率问题显然不够用，因此，笔者研读了近些年的高三的各类备考概率题型，试图找出隐藏在概率问题中的五种常见数学思想：转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、分类综合思想以及函数与方程思想.

一、化归思想.“化归”是转化和归结的简称，它是数学解决问题的基本方法.解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，但是，通过观察、分析、类比、联想，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个对自己较熟悉的问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归思想方法”.解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.

例1. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

审题：（1）读懂所给表格，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径.

解析：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44（人），

∴用频率估计相应的概率为0.44.

（2）选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：

（3）设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由（2）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5. ∵P（A1）>P（A2），∴甲应选择L1.

同理，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B1）

点评：（1）在求解随机事件问题时，要注意频率、概率的区别.（2）对复杂事件概率的计算，可以先把事件转化为几个互斥事件的和.

练习1.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

二、分类讨论思想. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，所谓分类讨论，实质上，就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.注意把握分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论.

例2. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记？孜=x-2 +y-x.

（1）求随机变量？孜的最大值，并求事件“？孜取得最大值”的概率；

（2）求随机变量？孜的分布列.

审题：（1）根据x，y的取值，随机变量？孜的最大值为3，当？孜=3时，只能x=1，y=3或x=3，y=1；

（2）根据x，y的取值，？孜的所有取值为0，1，2，3，列举计数计算其相应的概率值即可.

解析：（1）∵x，y可能的取值为1，2，3，∴x-2≤1，y-x≤2，

三、数形结合思想. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，通过“以形助数，以数解形”，使代数问题几何化，几何问题代数化.数形结合思想使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些概率问题，可起到事半功倍的效果.

五、方程与函数思想

1. 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.

例5. A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：

（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D（Y1），D（Y2）；

（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值.

审题：（1）求随机变量Y1，Y2的方差D（Y1），D（Y2），关键是先计算出相应变量的均值E（Y1），E（Y2）.

（2）读清题目的要求，列出函数f（x）的解析式同，再利用二次函数性质求出f（x）的最小值.

解析：（1）由题设可知Y1和Y2的分布列为：

E（Y1）=5×0.8+10×0.2=6，D（Y1）=（5-6）2×0.8+（10-6）2×0.2=4.

点评：（1）解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件.（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.

2. 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

（作者单位：广东省紫金中学）

责任编校 徐国坚