尺规作图化圆为方

谭忠仁

“化圆为方”是数学三大作图难题之一，作者在“尺规作图，三等分任意角”作图方法的基础上，给出“化圆为方”的作图方法，既准确，又简捷，并给出科学严谨的证明.圆弧和线段原本不是同类量，但在谭老师所作图形的相互制约下，特定的圆弧与线段可以等点，特定的圆弧与线段可以等长，这无疑是一个数学先例，如同把一根线绕在圆柱上，令其两端恰好衔接，此时这根线构成了一个圆周，当我们把线取下，拉直，它扔然是一条线段，由此可见，圆弧线与线段是可以等长的.

证明如下：

已知：⊙O的半径为R，面积为πR2，

求作：正方形ABCD，使正方形ABCD面积= ⊙0的面积.

作法：

在⊙O内引直径AE和直径FG，并且使AE⊥FG；

取 的中点G1，连结G1G；

G1G的垂直平分线MT，交GA的延长线于T、H为垂足；

连结TG1，连结AF；

在AG上截取AT4，使AT4=R；

在GT的延长线上，依次截取TT1=T1T2=T2T3=TA；

以T4T3为直径作⊙O1；

作AB⊥T4T3，A为垂足交⊙01于B；

作BC1⊥AB，B作为垂足；

在射线BC1上截取BC，使BC=AB；

在AT3上截取AD，使AD=AB；

连结CD.

则四边形ABCD即是所求作的正方形.

证明： 1. MT是G1G的垂直平分线 TG1=TG

△TG1G为等腰三角形，AE⊥FG，OF=OG.由于等腰三角形TG1G和等腰三角形AFG特定的位置关系和制约关系，我们可作出下面的辅助线：在线段TA上取任意一点T5，以T5为圆心，以T5G为半径画弧，必交于 上，令其交点为N，连结T5N，连结NG，则易知△T5NG为等腰三角形，再在线段TA上任意取一点T6，以T6为圆心，以T6G为半径画弧，必交于 上，令其交点为N1，连结T6N1，连结N1G，则易知△T6N1G为等腰三角形，如果继续在TA上取点按同样方法作下去，就可以作出类似于等腰三角形T5NG，等腰三角形T6NG的无数个等腰三角形，加之等腰三角形TG1G，等腰三角形AFG，所有这些等腰三角形的共同特点是：顶角的顶点都在TA上，左侧底角的顶点都在 上，而右侧底角的顶点是公共点G，左侧腰线都是相交线，且两两相交，右侧腰线都在TG上，由此可知：线段TA上点的总数，等于等腰三角形的个数，等于等腰三角形左腰的条数，等于等腰三角形左侧底角的顶点在 上的个数，它们是一一对应关系，由于所有的等腰三角形左腰两两相交，所以，所有的左侧底角的顶点相互不会再出现重合，因此，我们暂时得出第一个结论： 上点的总数≥等腰三角形左侧底角的顶点个数， 上点的总数≥等腰三角形的个数， 上点的总数≥线段TA上点的总数.

2. 作弦NG的垂直平分线，则这条垂直平分线必经过圆心O，必经过等腰三角形T5NG顶角的顶点T5，可知T5O即是NG的垂直平分线，再作弦N1G的垂直平分线，则这条垂直平分线也必经过圆心O，必经过等腰三角形T6N1G顶角的顶点T6，可知T6O即是N1G的垂直平分线，只要在 上任意取一个点，所取点与G点的连线，就是⊙O的一条弦，分别作每一条弦的垂直平分线，均交于线段TA上，这是由于受弦G1G的垂直平分线MT和直径FG和垂直平分线AE制约局限所至，因此 上点的总数，等于G1G、NG、N1G、FG等弦的条数，等于MT、T50、T60、AE等垂直平分线的条数，等于垂直平分线与TA相交的交点个数，它们也是一一对应关系，由于所有的垂直平分线都经过圆心O，也就是都交于圆心O，所以，所有的垂直平分线与TA的交点之间不会再出现重合，因此，我们暂时得出第二个结论：线段TA上点的总数≥所有垂直平分线与TA相交的交点个数≥线段TA上点的总数≥所有垂直平分线的条数，线段TA上点的总数≥所有弦的条数，线段TA上点的总数≥ 上点的总数.

3. 综上所述，第一个结论是 上点的总数≥线段TA上点的总数，而第二个结论是线段TA上点的总数≥ 上点的总数.然而，在同一图形上，根本不存在

上点的总数>线段TA上点的总数，线段TA上点的总数> 上点的总数这种情况必须排除，所以，最终的结论是： 上点的总数=线段TA上点的总数.

下面，我们用反证法也可证明这一命题：

假设 上点的总数≠线段TA上点的总数，则会出现两种情况：第一种情况是 上点的总数>线段TA上点的总数，第二种情况是 上点的总数<线段TA上点的总数.

先证明第一种情况：

当 上点的总数>线段TA上点的总数时，由于 上点的总数=弦的条数=垂直平分线的条数=垂直平分线与TA相交的交点个数，所以，垂直平分线与TA相交的交点个数也就>线段TA上点的总数.这样，交点与交点之间出现重合，与已经证出的交点之间根本不能重合相矛盾.

再证明第二种情况：

当 上点的总数<线段TA上线段TA上点的总数.

由于线段TA上点的总数=等腰三角形的个数=等腰三角形左侧底角的顶点个数，所以，当 上点的总数<等腰三角形左侧底角的顶点个数，这样，顶点与顶点之间出现重合，这与已经证出的顶点与顶点之间根本不能重合相矛盾.

因此，假设不成立，原命题确实正确，即 上点的总数=线段TA上点的总数，也就是 与线段TA必等长.

E-mail：88686329@qq.com

编辑/张烨endprint

“化圆为方”是数学三大作图难题之一，作者在“尺规作图，三等分任意角”作图方法的基础上，给出“化圆为方”的作图方法，既准确，又简捷，并给出科学严谨的证明.圆弧和线段原本不是同类量，但在谭老师所作图形的相互制约下，特定的圆弧与线段可以等点，特定的圆弧与线段可以等长，这无疑是一个数学先例，如同把一根线绕在圆柱上，令其两端恰好衔接，此时这根线构成了一个圆周，当我们把线取下，拉直，它扔然是一条线段，由此可见，圆弧线与线段是可以等长的.

证明如下：

已知：⊙O的半径为R，面积为πR2，

求作：正方形ABCD，使正方形ABCD面积= ⊙0的面积.

作法：

在⊙O内引直径AE和直径FG，并且使AE⊥FG；

取 的中点G1，连结G1G；

G1G的垂直平分线MT，交GA的延长线于T、H为垂足；

连结TG1，连结AF；

在AG上截取AT4，使AT4=R；

在GT的延长线上，依次截取TT1=T1T2=T2T3=TA；

以T4T3为直径作⊙O1；

作AB⊥T4T3，A为垂足交⊙01于B；

作BC1⊥AB，B作为垂足；

在射线BC1上截取BC，使BC=AB；

在AT3上截取AD，使AD=AB；

连结CD.

则四边形ABCD即是所求作的正方形.

证明： 1. MT是G1G的垂直平分线 TG1=TG

△TG1G为等腰三角形，AE⊥FG，OF=OG.由于等腰三角形TG1G和等腰三角形AFG特定的位置关系和制约关系，我们可作出下面的辅助线：在线段TA上取任意一点T5，以T5为圆心，以T5G为半径画弧，必交于 上，令其交点为N，连结T5N，连结NG，则易知△T5NG为等腰三角形，再在线段TA上任意取一点T6，以T6为圆心，以T6G为半径画弧，必交于 上，令其交点为N1，连结T6N1，连结N1G，则易知△T6N1G为等腰三角形，如果继续在TA上取点按同样方法作下去，就可以作出类似于等腰三角形T5NG，等腰三角形T6NG的无数个等腰三角形，加之等腰三角形TG1G，等腰三角形AFG，所有这些等腰三角形的共同特点是：顶角的顶点都在TA上，左侧底角的顶点都在 上，而右侧底角的顶点是公共点G，左侧腰线都是相交线，且两两相交，右侧腰线都在TG上，由此可知：线段TA上点的总数，等于等腰三角形的个数，等于等腰三角形左腰的条数，等于等腰三角形左侧底角的顶点在 上的个数，它们是一一对应关系，由于所有的等腰三角形左腰两两相交，所以，所有的左侧底角的顶点相互不会再出现重合，因此，我们暂时得出第一个结论： 上点的总数≥等腰三角形左侧底角的顶点个数， 上点的总数≥等腰三角形的个数， 上点的总数≥线段TA上点的总数.

2. 作弦NG的垂直平分线，则这条垂直平分线必经过圆心O，必经过等腰三角形T5NG顶角的顶点T5，可知T5O即是NG的垂直平分线，再作弦N1G的垂直平分线，则这条垂直平分线也必经过圆心O，必经过等腰三角形T6N1G顶角的顶点T6，可知T6O即是N1G的垂直平分线，只要在 上任意取一个点，所取点与G点的连线，就是⊙O的一条弦，分别作每一条弦的垂直平分线，均交于线段TA上，这是由于受弦G1G的垂直平分线MT和直径FG和垂直平分线AE制约局限所至，因此 上点的总数，等于G1G、NG、N1G、FG等弦的条数，等于MT、T50、T60、AE等垂直平分线的条数，等于垂直平分线与TA相交的交点个数，它们也是一一对应关系，由于所有的垂直平分线都经过圆心O，也就是都交于圆心O，所以，所有的垂直平分线与TA的交点之间不会再出现重合，因此，我们暂时得出第二个结论：线段TA上点的总数≥所有垂直平分线与TA相交的交点个数≥线段TA上点的总数≥所有垂直平分线的条数，线段TA上点的总数≥所有弦的条数，线段TA上点的总数≥ 上点的总数.

3. 综上所述，第一个结论是 上点的总数≥线段TA上点的总数，而第二个结论是线段TA上点的总数≥ 上点的总数.然而，在同一图形上，根本不存在

上点的总数>线段TA上点的总数，线段TA上点的总数> 上点的总数这种情况必须排除，所以，最终的结论是： 上点的总数=线段TA上点的总数.

下面，我们用反证法也可证明这一命题：

假设 上点的总数≠线段TA上点的总数，则会出现两种情况：第一种情况是 上点的总数>线段TA上点的总数，第二种情况是 上点的总数<线段TA上点的总数.

先证明第一种情况：

当 上点的总数>线段TA上点的总数时，由于 上点的总数=弦的条数=垂直平分线的条数=垂直平分线与TA相交的交点个数，所以，垂直平分线与TA相交的交点个数也就>线段TA上点的总数.这样，交点与交点之间出现重合，与已经证出的交点之间根本不能重合相矛盾.

再证明第二种情况：

当 上点的总数<线段TA上线段TA上点的总数.

由于线段TA上点的总数=等腰三角形的个数=等腰三角形左侧底角的顶点个数，所以，当 上点的总数<等腰三角形左侧底角的顶点个数，这样，顶点与顶点之间出现重合，这与已经证出的顶点与顶点之间根本不能重合相矛盾.

因此，假设不成立，原命题确实正确，即 上点的总数=线段TA上点的总数，也就是 与线段TA必等长.

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“化圆为方”是数学三大作图难题之一，作者在“尺规作图，三等分任意角”作图方法的基础上，给出“化圆为方”的作图方法，既准确，又简捷，并给出科学严谨的证明.圆弧和线段原本不是同类量，但在谭老师所作图形的相互制约下，特定的圆弧与线段可以等点，特定的圆弧与线段可以等长，这无疑是一个数学先例，如同把一根线绕在圆柱上，令其两端恰好衔接，此时这根线构成了一个圆周，当我们把线取下，拉直，它扔然是一条线段，由此可见，圆弧线与线段是可以等长的.

证明如下：

已知：⊙O的半径为R，面积为πR2，

求作：正方形ABCD，使正方形ABCD面积= ⊙0的面积.

作法：

在⊙O内引直径AE和直径FG，并且使AE⊥FG；

取 的中点G1，连结G1G；

G1G的垂直平分线MT，交GA的延长线于T、H为垂足；

连结TG1，连结AF；

在AG上截取AT4，使AT4=R；

在GT的延长线上，依次截取TT1=T1T2=T2T3=TA；

以T4T3为直径作⊙O1；

作AB⊥T4T3，A为垂足交⊙01于B；

作BC1⊥AB，B作为垂足；

在射线BC1上截取BC，使BC=AB；

在AT3上截取AD，使AD=AB；

连结CD.

则四边形ABCD即是所求作的正方形.

证明： 1. MT是G1G的垂直平分线 TG1=TG

△TG1G为等腰三角形，AE⊥FG，OF=OG.由于等腰三角形TG1G和等腰三角形AFG特定的位置关系和制约关系，我们可作出下面的辅助线：在线段TA上取任意一点T5，以T5为圆心，以T5G为半径画弧，必交于 上，令其交点为N，连结T5N，连结NG，则易知△T5NG为等腰三角形，再在线段TA上任意取一点T6，以T6为圆心，以T6G为半径画弧，必交于 上，令其交点为N1，连结T6N1，连结N1G，则易知△T6N1G为等腰三角形，如果继续在TA上取点按同样方法作下去，就可以作出类似于等腰三角形T5NG，等腰三角形T6NG的无数个等腰三角形，加之等腰三角形TG1G，等腰三角形AFG，所有这些等腰三角形的共同特点是：顶角的顶点都在TA上，左侧底角的顶点都在 上，而右侧底角的顶点是公共点G，左侧腰线都是相交线，且两两相交，右侧腰线都在TG上，由此可知：线段TA上点的总数，等于等腰三角形的个数，等于等腰三角形左腰的条数，等于等腰三角形左侧底角的顶点在 上的个数，它们是一一对应关系，由于所有的等腰三角形左腰两两相交，所以，所有的左侧底角的顶点相互不会再出现重合，因此，我们暂时得出第一个结论： 上点的总数≥等腰三角形左侧底角的顶点个数， 上点的总数≥等腰三角形的个数， 上点的总数≥线段TA上点的总数.

2. 作弦NG的垂直平分线，则这条垂直平分线必经过圆心O，必经过等腰三角形T5NG顶角的顶点T5，可知T5O即是NG的垂直平分线，再作弦N1G的垂直平分线，则这条垂直平分线也必经过圆心O，必经过等腰三角形T6N1G顶角的顶点T6，可知T6O即是N1G的垂直平分线，只要在 上任意取一个点，所取点与G点的连线，就是⊙O的一条弦，分别作每一条弦的垂直平分线，均交于线段TA上，这是由于受弦G1G的垂直平分线MT和直径FG和垂直平分线AE制约局限所至，因此 上点的总数，等于G1G、NG、N1G、FG等弦的条数，等于MT、T50、T60、AE等垂直平分线的条数，等于垂直平分线与TA相交的交点个数，它们也是一一对应关系，由于所有的垂直平分线都经过圆心O，也就是都交于圆心O，所以，所有的垂直平分线与TA的交点之间不会再出现重合，因此，我们暂时得出第二个结论：线段TA上点的总数≥所有垂直平分线与TA相交的交点个数≥线段TA上点的总数≥所有垂直平分线的条数，线段TA上点的总数≥所有弦的条数，线段TA上点的总数≥ 上点的总数.

3. 综上所述，第一个结论是 上点的总数≥线段TA上点的总数，而第二个结论是线段TA上点的总数≥ 上点的总数.然而，在同一图形上，根本不存在

上点的总数>线段TA上点的总数，线段TA上点的总数> 上点的总数这种情况必须排除，所以，最终的结论是： 上点的总数=线段TA上点的总数.

下面，我们用反证法也可证明这一命题：

假设 上点的总数≠线段TA上点的总数，则会出现两种情况：第一种情况是 上点的总数>线段TA上点的总数，第二种情况是 上点的总数<线段TA上点的总数.

先证明第一种情况：

当 上点的总数>线段TA上点的总数时，由于 上点的总数=弦的条数=垂直平分线的条数=垂直平分线与TA相交的交点个数，所以，垂直平分线与TA相交的交点个数也就>线段TA上点的总数.这样，交点与交点之间出现重合，与已经证出的交点之间根本不能重合相矛盾.

再证明第二种情况：

当 上点的总数<线段TA上线段TA上点的总数.

由于线段TA上点的总数=等腰三角形的个数=等腰三角形左侧底角的顶点个数，所以，当 上点的总数<等腰三角形左侧底角的顶点个数，这样，顶点与顶点之间出现重合，这与已经证出的顶点与顶点之间根本不能重合相矛盾.

因此，假设不成立，原命题确实正确，即 上点的总数=线段TA上点的总数，也就是 与线段TA必等长.

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