一个古塔变形情况的分析

朱 莹，李建龙，张生华

(扬州职业大学，江苏扬州 225009)

中国的古塔，融合了中国古代建筑楼、台、亭、阁的精华，是中外文明的交汇与升华。中国是世界上建塔最多的国家，现存的古塔就有上万座，这些古建筑的存在表明了人类历史的连续性和人类文化的积累。古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等［1］。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

1 问题的提出

某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测，相关数据见有关网站［2］。2013“高教社杯”数学建模竞赛要求:首先给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标;接着分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况;进而分析该塔的变形趋势，为决策部门提供依据。

题目提供的附件中有四次不同时间观测数据，要给出确定古塔各层中心的通用方法，可以平均值求出。对于变形情况，可以分别研究古塔倾斜、弯曲、扭曲三种情况。倾斜是整体发生偏离竖向或者水平方向的转动，弯曲是指一个物体在外力下偏离中心的轴线的状态。根据相关文献［3］，假定古塔的弯曲呈现抛物线趋势，通过数据进行拟合并得到方程，可以确定弯曲情况。扭曲是指线状物体发生横截面方向顺(逆)时针扭转的状态。以1986年为基础点，并通过和其他年份以及塔层的计算，最终得到42个扭曲角度，即为扭曲的变形情况。在此基础上予以进一步合理的分析古塔今后的变形趋势。建于1056年的山西应县佛光寺释迩塔是我国现存最大的古塔，外形呈八角形，所以可以假定古塔是八边形的;并且古塔弯曲呈抛物线形状;在计算扭曲时弧长和圆上两点间的距离是相等的。

2 模型建立和求解

2.1 确定古塔各年份各层中心位置

因为测绘数据所提供的8个点是对称分布的，假设古塔为正八边形，然后用相应的中点坐标公式求出古塔每层的中心位置，具体见表1。

表1 四个年份每层的中心点

2.2 古塔的倾斜、弯曲、扭曲

2.2.1 古塔的倾斜

需要在两个方向考虑古塔倾斜的问题，分别为南北方向、东西方向，进行分别计算倾斜角度。

从表2中数据可以看出古塔向南、向西倾斜逐年增加，但倾斜度变化不是十分明显。

表2 四个年份古塔倾斜情况

2.2.2 古塔的弯曲度拟合

用最小二乘法分别拟合1986年、1996年、2009年、2011年的古塔在 yoz平面内弯曲曲线［4，5］，见图 1 － 图 4。

图1 1986年古塔的弯曲度曲线

图2 1996年古塔的弯曲度曲线

图3 2009年古塔的弯曲度曲线

图4 2011年古塔的弯曲度曲线

从以上图形可以看出1986年和1996年古塔是弯曲度相似，大致底层与塔身高层的弯曲度大;2009年总体是稳定的，2011年越往上弯曲的曲率越大，目前古塔的形状没有明显的突变。

2.2.3 古塔的曲率

表3 四个年份古塔的弯曲曲率值

1986年和1996年底层和第13层弯曲度较大，2009年依然是底部曲率较大，2011年从底层往上弯曲度逐渐增大。

2.2.4 古塔的扭曲度

相对1986年的数据，算出逐年塔身相邻两层的扭曲度，计算公式为|α|=。计算结果见表4。从三组数据可以看出，从1986年到1996古塔各层的扭曲并不明显，2009年以后古塔自身扭曲有加大的趋势，但并不十分明显，可以在观测的时候多加关注。

表4 三个年份古塔扭曲度

3 模型评价与改进

综上所述，古塔目前的倾斜基本是稳定的，弯曲度也基本上没有十分明显变化，唯有扭曲度略有增加，需要进一步的注意观察。古塔一般都经历了自然界几百甚至上千年的风风雨雨，本文尝试通过有关数学模型将监测的数据具体化，并采取从整体到部分，运用相关数学模型，同时通过大量的数据计算、总结与归纳，从而给相关部门的决策提供依据。

［1］金磊.漫话全球的古建筑与古塔的保护［J］.今日科苑，1996(3):15－16.

［2］2013年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题［EB/OL］.(2013－03－09)［2013－09－14］.http://www.mcm.edu.cn/problem/2013/cumcm2013 problems.rar.

［3］高凯.立木树干弯曲度自动识别方法的研究［D］.北京:北京林业大学，2007.

［4］丁大正.科学计算强档Mathematica4教程［M］.北京:电子电子工业出版社，2002.

［5］曹瑞成，姜海勤.大学数学［M］.苏州:苏州大学出版社，2011.