浅谈旋转类问题的分类方法

王睿

[摘 要] 图形的旋转是中考的热点和难点，考查了勾股定理、直角三角形的边角关系、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等几何知识，也考查了运动思想、转化思想、分类思想等数学思想. 本文结合多年教学实践和对旋转类问题的深入剖析，总结出了操作法、切线法和枚举法三种分类方法. 操作法直观性强，易于掌握；切线法抓住了旋转的本质；枚举法则另辟蹊径，避开旋转的难点，由易到难解决问题.

[关键词] 旋转；分类；操作法；切线法；枚举法

近年来，动态问题成为各省市中考题的常见题型，重庆市中考更是连续多年都将动态问题作为压轴题，图形的运动分为平移、对称和旋转三类. 从2013年开始，重庆市中考题的压轴题就将平移和旋转结合起来考查，这样就增大了题目的难度，得分率相当低. 初三80%以上的学生平常几乎都不敢碰这类题目. 面对如此高难度的压轴题，怎样才能让学生敢于尝试呢？关于平移的问题笔者已经在《数学教学通讯》（初等教育）2013年12月号上研究了. 本文将专题研究旋转的分类问题.

我们来研究一下重庆市2014年中考压轴题（部分）

已知：如图1所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=■，AE⊥BD，垂足是E. 点F是点E关于AB的对称点，连结AF，BF.

（3）如图2所示，将△ABF绕点B顺时针旋转α（0°<α<180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q. 是否存在这样的P，Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由.

■ 分类方法一：操作法

此法的基本思想是制作模型，然后按题目要求旋转模型，在实际操作过程中找出满足条件的情况. 下面给出的是考试过程中的简易操作方法：

第一步，将与形成交点相关的、不运动的线段延长为直线，便于找到交点. 即画出直线BD和AD，如图3所示.

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图3

第二步，取一张餐巾纸（只要其中一层，增加透明度），用临摹的方法将要旋转的图形画在餐巾纸上，并将与形成交点相关的（运动的）线段延长为直线. 如图4所示.

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图4

第三步，用圆规或笔尖将原图和餐巾纸上图形的旋转中心固定，再通过旋转，分别画出满足条件的情况即可. 如图5所示. （其中一种情况）

小结：操作法的优点是直观和可操作性，非常实用. 缺点是不容易把情况分析完整，容易漏解.

■ 分类方法二：切线法

由于旋转有“对应点到旋转中心的距离相等”的性质，所以必然和圆的知识相关. 根据旋转前后的图形全等，容易得出“旋转中心到对应线段的距离相等”这一结论. 据此说明旋转线段必是圆的切线，而该圆的圆心是旋转中心，半径就是旋转中心到旋转线段的距离. 故切线法的操作步骤为：

第一步，仍将与形成交点相关的、不运动的线段延长为直线，便于找到交点. 即画出直线BD和AD，如分类方法一中的图3.

第二步，以旋转中心为圆心，旋转中心到与形成交点的旋转线段的距离为半径作圆. 即以B为圆心，BF（此题满足BF⊥AF，否则BF不是半径）为半径作圆B，如图6所示.

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第三步，用直尺的一边作圆的切线，以题目原图为起点，按题目要求的旋转方向和角度转到直尺，旋转过程中要保证直尺的一边始终是圆的切线，直到结束. 分别画出旋转过程中满足条件的情况即可. 如图5所示. （其中一种情况）

小结：切线法的优点是图形简单、作图方便，不必借助其他工具. 缺点除容易漏解外，由于画图时没有画整个旋转图形，容易把图形中的某些条件遗失，所以解题遇到困难时，可以考虑将旋转图形补全.

为了弥补分类方法一和二的漏解问题，笔者发现：在旋转过程中，特别注意与形成交点相关的旋转直线和与形成交点相关的、不运动的直线平行时以及交点与交点重合时，在这些特殊时刻的前后，交点的位置都会发生本质性的变化.

■ 分类方法三：枚举法

根据等腰三角形有三个顶点，所以可以根据其顶点的位置来分类. 步骤如下：

第一步，仍将与形成交点相关的、不运动的线段延长为直线，便于找到交点. 即画出直线BD和AD，如分类方法一中的图3.

第二步，根据研究图形的关键点的位置确定情况数. 如开篇问题，因为P的位置有“在射线DA上”和“在射线DA的反向延长线上”两种情况、Q的位置也有“在射线DB上”和“在射线DB的反向延长线上”两种情况，从而P、Q的位置就有四种情况，列表如下：

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第三步，根据等腰三角形两边相等的性质讨论各种情况下存在等腰三角形的可能结果，并画出结果. 如上述第1种情况就存在DP=DQ，PD=PQ，QP=QD三种可能的结果，而在第2种情况就只存在DP=DQ一种可能的结果，……，再画出对应的图形即可. 图8即是第2种情况的唯一一种结果.

小结：枚举法的优点是分类比较完整，不易漏解；缺点是图形中的条件遗失很多，非常不利于解题，还有就是画图也容易出错.

下面笔者将说明为何第三步中写的是“可能的结果”.

首先我删去题目中0°<α<180°这一条件，那么上表中第1种情况分别存在DP=DQ，PD=PQ，QP=QD三种结果（实际是6个答案），第2和第3种情况分别存在1种等腰三角形的结果，而第4种情况没有结果，合计8种. 如第1种情况下DP=DQ就有两个答案，如图9、图10所示.

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接下来我把题目中旋转的△BAF以B为位似中心放大为原来的三倍，如图11所示.

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图11

这样再旋转一周的结果就不同了. 如第1种情况下DP=DQ就只有1个答案了，如图12所示.

而另一个答案则成为第4种情况的一个答案了，如图13所示.

由此发现，“可能的结果”和“答案”之间在数量上并不一定是相等的，既可能出现一个结果一个答案，也可以出现一个结果多个答案，还可以出现一个结果没有答案.

以旋转为背景的压轴题类型很多，如从旋转线段的条数分，有一条线段旋转，也有两条线短旋转；从旋转中心的位置分，有旋转中心在图形的顶点处，有旋转中心在图形的边上，有旋转中心在图形的内部，还有旋转中心在图形的外部；从考查对象的种类分，有等腰三角形的存在性，也有直角三角形的存在性；从问题考查的数学元素分，有求线段长的，也有求角度大小的. 但无论是哪一种，本质都是一样的，都可以从上述分类方法中找到结果.