激光器吸收泵浦功率在横模上的分布

许 宏，王立新

(1.光电信息控制和安全技术重点实验室，河北三河065201;2.北京理工大学光电学院，北京100081)

1 概述

激光器在得到较高功率输出时，光束质量往往明显下降，主要表现在光斑面积增大和中心功率密度下降，甚至出现中心功率密度低于周围的“凹陷”情况，这对于后继的非线性晶体泵浦和扩束耦合都产生了不利的影响。

激光光束质量在高功率输出时下降的主要原因是在较高的泵浦功率下激光器中出现了高阶横模振荡现象。在一般情况下，阶数越高的横模损耗系数越大，但同时模体积也越大，因此在起振后会比低阶的横模吸收更多的泵浦功率。同时，高阶与低阶横模在工作物质中有空间重叠的部分，几个模式在这部分空间存在着“争夺”泵浦功率的竞争现象。分析表明，高阶横模具有竞争优势，即吸收的泵浦功率会由低阶横模向高阶横模转移，而且随着出现更多的高阶模，转移的功率也更多。这可以很好地解释在实验中观察到的现象。

2 公式推导

2.1 匹配矩阵

实际激光腔中可能存在多个振荡的横模。每个模式会有不同的衰减，主要是往返衍射损耗系数Ldiff［1］的不同。以两个重叠的横模为例，如图 1所示。

图1 两个横模的空间重叠关系

图1表示在腔中的两个重叠的横模，即TEM00模和TEM10模，为后面讨论方便，可编号为模式1和

表1 模式与区域的匹配关系表

表1中的数据可用一个匹配矩阵表示:

矩阵下标分别表示行数和列数，也就是模式数和区域数。

可以将情况扩展到有m种横模，以及它们之间重叠形成的k个区域的情况。参照表1和式(1)写出它们之间的匹配矩阵Mmk。显然，横模数越多重叠情况越复杂，划分出的区域越多而细碎。如包含TEM00、TEM10和TEM01模的情况划出的区域可达7个，匹配矩阵可写为:

注意区域是按照体积从小到大的顺序排列的，考察式(1)和式(2)，一个共同趋势是越是高阶的横模，与之匹配的区域总体积越大。这是因为高阶横模本身的模体积较大，而且主要部分在光束的边缘，被分割的区域较大;而基模和其他低阶模主要处于光束的中心处，在那里叠加的模式很多，每一块区域的体积都较小。设泵浦功率密度恒定，较大体积的区域吸收的泵浦功率也较多。同时，每出现一个高阶模，就会在光束中心增加一些重叠区域，吸收一部分原本属于低阶模的功率，但低阶模不会吸收光束边缘高阶模区域的功率。结果是随着模数的增加，泵浦功率从低阶模转移至高阶模。

2.2 泵浦功率的具体分布

参照文献［2］，在第i个横模吸收的第j区域功率形成的光强为:

式中，gj为第j个区域中的小信号增益系数;gti为第i个横模的泵浦阈值增益;Is为饱和光强，由激光受激粒子的特性和腔参数决定。I为一个m×k的矩阵。

小信号增益系数与光强无关，因此gj对该区域中的任何横模都是相同的。

激光器的增益与泵浦功率成正比，式(3)可以写成:

式中，Pabsj为第j区域内工作物质吸收的泵浦功率;Ppti为第i个横模的泵浦阈值功率。

式中，ρ为泵浦功率密度;VRj为第j区域的体积。

k个区域分配到m个横模上的功率可用一个矩阵P表示。由于功率与光强成正比关系，即:

因此第个j区域对第i个横模的输出功率贡献的泵浦功率为:

式中，Kj为功率与光强的比例系数，由激光器的参数决定。在＞1时乘以匹配矩阵中相应的系数Mmk(i，j)，表示第j个区域与第i个模式不匹配时它分配到第i模式的泵浦功率是0≤1时，第 j个区域吸收的泵浦功率小于第i个模式所需的振荡阈值，此时它分配到第i模式的功率也是0。因此P中各元素的值受泵浦功率、模式阈值功率和横模匹配情况的共同影响。

第j区域分配给所有横模的泵浦功率的加和就是Pabsj:

上式就是工作物质中各区域吸收的功率在不同横模上的分布。与式(7)相比，消去了Kj。

第i个横模分配到的功率可用Pmodi表示，则有:

而第i个横模的输出功率可用Pouti表示，则有:

式中，Ai为第i个横模在工作物质中的截面积;T为输出腔镜的透过率。

2.3 横模数m的确定

对于固体激光器，腔内的情况较为复杂，一般在进行计算前，能够起振的横模数m是不知道的。一个简易的办法是先设一个较大的m值，按照式(11)算出各阶横模分配到的泵浦功率Pouti，将小于相应的泵浦阈值Ppti的高阶模去除，得到新的起振横模数m'，再设m=m'作新的计算，直到m'=m。一般一二次迭代可得到最终结果。

3 算例与讨论

以式(10)、式(12)为基础，对一台激光器［3］进行了理论计算。这是一台室温固体脉冲激光器，工作物质为φ5×10的YAP晶体，首先计算出其内部各横模占据的体积，并考虑热透镜效应［4］和泵浦功率实际分布的不均匀性(设为高斯分布)，计算结果如下。

输入10 W功率下，共产生6个横模，分布在各模上的泵浦功率和输出功率如表2所示。

表2 10W总泵浦，各横模功率分布

输入35 W功率下，共产生8个横模，分布在其上的泵浦功率和输出功率如表3所示。

表3 35W总泵浦，各横模功率分布

输出的总功率分别为10 W泵浦下1.53 W和35 W 泵浦下11.32 W，与实测值基本吻合［3］。

对照表2和表3，随着泵浦功率增加，基模与高阶模的输出功率都会增加，但高阶模增加的更快。另外各阶模的发散角均随功率增加而增加，这些综合结果导致激光输出光斑功率密度在低功率时尖锐的近高斯分布，在高功率时变形为相对平坦但范围较大的分布，甚至在中央出现凹陷，这已经在实验中观察到。

另外，2.1节中的定性分析设泵浦功率密度为恒定，实际计算表明泵浦不均匀时结论也是成立的。

4 结论

通过前面的分析和计算，对激光器中高阶横模对光束功率密度的影响有了定量认识。提高泵浦功率有助于提高输出总功率，但可能导致光束功率密度下降，对后续非线性泵浦不利。对于存在热透镜效应的固体激光器，基模模体积随着功率增加而减小，使情况更加严重。因此必须采取措施抑制高阶横模的产生，同时增大基模的模体积。办法有设计适当的腔型，采用横模选择技术以及适当地调整腔镜角度等。公式(10)和(12)可为采取这些措施提供指导依据。

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