素环上非线性Lie中心化子
2014-10-25张芳娟
张 芳 娟
(1.西安邮电大学 理学院,西安710121;2.西安外事学院 工学院,西安710077)
设R是环,对任意的a,b∈R,如果aR b=0,有a=0或b=0,则称R是素环.φ:R→R是可加映射,对任意的A,B∈R,如果φ(AB)=φ(A)B(φ(AB)=Aφ(B)),则称φ是左(右)中心化子;若φ既是左中心化子又是右中心化子,则φ是中心化子.目前关于中心化子的研究已取得了许多成果[1-5].
如果φ([A,B])=[φ(A),φ(B)],则称φ是Lie同构,其中[A,B]=AB-BA 表示A 和B 的Lie积.如果φ(AB)=φ(A)B+Aφ(B),则称φ是导子.如果φ([A,B])=[φ(A),B]+[A,φ(B)],则称φ是Lie导子.文献[6-11]给出了算子代数上的Lie同构及Lie导子结构.张建华等[7]在因子von Neumann代数上讨论了非线性Lie同构的结构问题;张芳娟等[11]得到了因子von Neumann代数上的非线性Lie导子是可加的导子与中心值迹之和的结论.
受中心化子、Lie同构、Lie导子概念的启发,下面引出Lie中心化子的定义.
定义1 设φ:R→R是可加映射,对任意的A,B∈R,如果满足φ([A,B])=[φ(A),B](或φ([A,B])=[A,φ(B)]),则称φ是R上Lie中心化子.
注1 观察发现:若φ([A,B])=[φ(A),B],则
在式(1)中交换A和B,可得
在式(2)中用-A代替A,有
即φ([A,B])=[A,φ(B)].于是可得φ([A,B])=[φ(A),B]和φ([A,B])=[A,φ(B)]是等价的,并且和φ的可加性无关.
设φ:R→R是可加映射,对任意的A∈R,如果有[φ(A),A]=0,则称φ是交换映射.易知,每个中心化子是Lie中心化子,且每个Lie中心化子是交换映射.
受文献[11]的启发,本文研究素环上非线性Lie中心化子,并给出素环上非线性Lie中心化子的结构.
定理1 设M是包含非平凡投影P的素环,且素环的中心是平凡的.若φ:M→M是非线性映射,如果对所有的A,B∈M,都有φ([A,B])=[φ(A),B],则存在λ∈ℂ以及映射ξ:M→ℂ满足ξ([A,B])=0(∀A,B∈M),使得对任意的X∈M,有φ(X)=λX+ξ(X)I.
引理1 设A∈M且P1∈M是非平凡投影.则A∈P1MP2+ℂI当且仅当对任意的B∈P1MP2,有[A,B]=0.
证明与文献[7]中引理2.2类似.
引理2 φ(0)=0,φ(ℂI)=ℂI.
证明:任取A∈M,有φ[A,0]=[φ(A),0]=0,则φ(0)=0.又由于
所以φ(ℂI)=ℂI.
引理3 设i,j∈{1,2}且i≠j,则
证明:设i,j∈{1,2}且i≠j,由[Pi,Pj]=0和引理2得[φ(Pi),Pj]=φ(0)=0.因此φ(Pi)Pj=Pjφ(Pi).进而Piφ(Pi)Pj=Pjφ(Pi)Pi=0.所以
引理4 设i,j∈{1,2}且i≠j,则对任意的X∈Mij,有φ(X)=Piφ(X)Pj.
证明:设i,j∈{1,2}且i≠j,X∈Mij.因为X=[Pi,X],故有φ(X)=[φ(Pi),X].由引理3,对任意的X∈Mij,有
引理5 设i,j,k,l∈{1,2},则对任意的Aij∈Mij和Bkl∈Mkl,有
证明:1)如果i=j且k≠l,则k=i且l≠i或者l=i且k≠i.
第一种情况:对任意的Til∈Mil,有[Aii+Bil,Til]=[Aii,Til].因此
由引理1,存在λ1∈ℂ,使得
由[Aii,Pi]=0得[φ(Aii),Pi]=0.因此,式(3)可化为
由Bil=[Aii+Bil,Pl]得
由引理4和上面的等式有
于是由式(4)知,φ(Aii+Bil)-φ(Aii)-φ(Bil)∈ℂI.同理可证第二种情况.
2)如果i≠j且k≠l,则k=i且l=j或者k=j且l=i.
第一种情况:由于Aij+Bij=[Pi+Aij,Pj+Bij],由1)的第一种情况、引理3和引理4得
进而
第二种情况:对任意的Tij∈Mij,Sji∈Mji,有
从而可得
由引理1,存在λ2,λ3∈ℂ,使得
根据引理4,有Piφ(Bji)Pj=Pjφ(Aij)Pi=0.因此式(6),(7)可化为
由于Aij+Bji= [[Aij+Bji,Pi],-Pj],有
由式(8)~(10)得
3)如果i=j且k=l,则k=i或者k≠i.
第一种情况:对任意的Tim∈Mim和m∈{1,2}且m≠i,有
由式(5),
即对任意的Tim∈Mim,
由
分别得
于是可得
又由引理1有φ(Aii+Bii)-φ(Aii)-φ(Bii)∈ℂI.
第二种情况:对任意的Tik∈Mik,有[Aii+Bkk,Tik]=AiiTik-TikBkk.根据式(5),
与3)的第一种情况类似可得
由引理1,有
引理6 设i,j∈{1,2}且i≠j,则对任意的A11∈M11,C22∈M22和Bij∈Mij,有
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证明:对任意的Tij∈Mij,有
由引理5,
再由引理1和Piφ(A11)Pj=Piφ(C22)Pj=0知,存在λ4∈ℂ,使得
显然Bij=[A11+Bij+C22,Pj],因此
再根据引理4,
所以
由引理6,
再由引理1和
知,存在λ5∈ℂ,使得
同理,对任意的T21∈M21,由
存在λ6∈ℂ,使得
根据引理5,有
由式(13),(14)可知,存在λ7∈ℂ,使得
由式(11),(12),(15)有
引理8 对任意的A,B∈M,φ(A+B)-φ(A)-φ(B)∈ℂI.
由引理5,对任意的i,j∈{1,2},有φ(Aij+Bij)-φ(Aij)-φ(Bij)∈ℂI.因此,对任意的A,B∈M,φ(A+B)-φ(A)-φ(B)∈ℂI.
引理9 对任意的A∈M11,P2φ(A)P2∈ℂP2;对任意的B∈M22,P1φ(B)P1∈ℂP1.
证明:设A∈M11,B∈M22,由[A,P1]=0得[φ(A),P1]=0,即φ(A)P1-P1φ(A)=0,进一步P1φ(A)P2=P2φ(A)P1=0.因而,对任意的A∈M11,
同理,对任意的B∈M22,由[B,P2]=0有
因为[A,B]=[B,A]=0,所以
结合式(16)~(18)得
因此,对任意的A∈M11,P2φ(A)P2∈ℂP2;对任意的B∈M22,P1φ(B)P1∈ℂP1.
注2 由引理9,对任意的A∈M11,B∈M22,定义f1(A)和f2(B)分别为出现在P2φ(A)P2和P1φ(B)P1中的数.特别地,P2φ(A)P2=f1(A)P2,P1φ(B)P1=f2(B)P1.由引理 9,对任意的A∈M11,
对任意的B∈M22,有
则对任意的Aij∈Mij(1≤i,j≤2),有g(Aij)=0;对任意的Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),有f(Aij)=0.记ψ(A)=φ(A)-g(A)I-f(A)I.
引理10 注2中的ψ是可加的.
证明:由ψ的定义,对任意的A∈M,一方面,由注2和引理4,有
另一方面,由注2,有
则P1ψ(A)P1=ψ(P1AP1).同理可得P2ψ(A)P2=ψ(P2AP2).由注2和引理4,有
因此对任意的Aij∈Mij,i,j∈{1,2},
由注2知,当i≠j时,有g(Aij)=f(Aij)=0,于是,若i≠j,则有ψ(Aij)=φ(Aij).因此,由式(5),对任意的Aij,Bij∈Mij,i≠j,
设Tij∈Mij,i≠j,则对任意的Aii,Bii∈Mii(i=1,2),有
因此
由式(19)~(21)知,对任意的A,B∈M,有ψ(A+B)=ψ(A)+ψ(B).
下面证明定理1.由引理10,ψ是可加映射,并且由于[A,A]=0,所以,对任意的A∈M,
因此ψ是可加的可交换映射,由文献[5],存在数λ∈ℂ和映射μ:M→ℂ,使得对任意的X∈M,ψ(X)=λX+μ(X)I.所以,对任意的X∈M,φ(X)=λX+ξ(X)I,这里ξ=μ+f+g是M→ℂ的映射.进而,对任意的A,B∈M,φ([A,B])=λ[A,B]+ξ[A,B]I.另一方面,
则ξ[A,B]I=0,即对任意的A,B∈M,ξ[A,B]=0.
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