变量间的相关关系

孔庆儒

变量间的相关关系试题常以考查基本概念、散点图、相关系数和回归方程为主，也会考查定量分析两个变量之间的线性相关关系.同时注意联想日常生活实际，或利用最小二乘法的思想，根据给出的线性回归方程的系数建立线性回归方程，并以此为工具载体考查同学们对概念的深层次理解.

1. 相关关系重基础概念的考查

相关关系注重基本概念的考查，主要是判断变量有无相关关系，这里一定要把它和函数关系区分开，并要学会对数据进行统计分析，发现其规律，作出正确判断.

例1 下列变量关系是相关关系的是（ ）

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；

②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；

③学生的身高与学生的学习成绩的关系；

④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④

解析 要判定两变量是否是相关关系就是要看两变量是否有影响，以及是否具有函数关系，从而可判定.①学生的学习态度会影响学习成绩，但不是函数关系，故两者之间是相关关系；②老师的执教水平会影响学生的学习成绩，但不是函数关系，故两者之间是相关关系；③学生的身高与学生的学习成绩无直接关系，故两变量不是相关关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间无直接关系，故两变量不是相关关系.

答案 A

点拨 本题考查了两个变量之间具有相关关系的定义，根据经验进行逐项验证，一定要和函数关系区别出来，属于基础题.

2. 相关关系注重数形结合，联系实际

在相关关系中由图观察判断结论的题目有很重要的地位，由图不仅能看出两个变量有无相关关系，也能看出是否是线性相关，判断是正相关还是负相关，对相关关系的强弱，相关系数的判断也很有帮助，数形结合是高中数学的很重要的思想.

例2 设某大学的女生体重[y][（单位：kg）]与身高[x]（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据[（xi，yi）（i=1，2，…，n）]，用最小二乘法建立的回归方程为[y=0.85x-85.71]，则下列结论中不正确的是（ ）

A. [y与x]具有正的线性相关关系

B. 回归直线过样本点的中心[（x，y）]

C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

解析 根据回归方程为[y=0.85x-85.71]，而0.85>0，可知A，B，C项均正确，对于D项回归方程只能进行预测，但不可断定.对于A项，0.85>0，所以[y与x]具有正的

线性相关关系，故正确；对于B项，回归直线过样本点的中心[（x-，y-）]，故正确；对于C项，∵回归方程为[y=0.85x-85.71]，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D项，[x=170cm]时，[y=0.85×170-85.71=58.79]，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg不正确.

答案 D

点拨 本题考查线性回归方程，考查对线性回归方程的理解，属于中档题.

3. 回归分析紧密联系实际，能做出较为准确的预测

回归直线方程的求法是最小二乘法，是数据中的点到它的距离的平方和最小，利用回归直线我们可以进行预测分析.

例3 设[（x1，y1）]，[（x2，y2），]…，[（xn，yn）]是变 量[x]和[y]的[n]次方个样本点，直线[l]是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）

A. 直线[l]过点[（x-，y-）]

B. [x]和[y]的相关系数为直线[l]的斜率

C. [x]和[y]的相关系数在0到1之间

D. 当[n]为偶数时，分布在[l]两侧的样本点的个数一定相同

分析 回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，是在-1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的限制.

解 回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A项正确. 两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B项错误. 两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，故C项错误. 所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D项错误.

答案 A

点拨 本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查相关系数的做法，考查样本点的分布特点，是一个基础题.

例4 已知[x与y]之间的几组数据如下表：

[[x]＼& 1＼& 2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&[y]＼& 0＼& 2＼&1＼&3＼&3＼&4＼&]

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为[y=bx+a]中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为[y=b′x+a′]，则以下结论正确的是 （ ）

A.[b>b，a>a] B.[b>b，a

C.[ba] D.[b

解析 由表格中的数据可得[n]，[x，y]，进而可得[i=1nx2i-nx2]，和[i=1nxiyi-nxy]，代入可得[b]，进而可得[a]，再由直线方程的求法可得[b′和a′]，比较可得答案.

由题意可知[n=6]，[x=72，y=136]，

故[i=1nx2i-nx2=352]，[i=1nxiyi-nxy]=-33，

故可得[b=-6635]，[a=y-bx=22930]，

而由直线方程的求解可得[b=2]，把（1，0）代入可得[a′=-2]，

比较可得[ba].

答案 C

1.下列变量中，具有相关关系的是（ ）

A.正方体的体积与边长

B.匀速行驶的车辆所行驶距离与行驶的时间

C.人的身高与视力

D.人的身高与体重

2.下列说法正确的是（ ）

A.任何两个变量都具有相关关系

B.球的体积与该球的半径具有相关关系

C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系

D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系

3.已知[x与y]之间的一组数据如表，则[y与x]的线性回归方程[y=bx+a]必过（ ）

[[x]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[y]＼&1＼&3＼&5＼&7＼&]

A.点（2，2） B.点（1.5，0）

C.点（1，2） D.点（1.5，4）

4.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

[①] [②] [③] [④]

A.① B.② C.③ D.④

5.甲、乙、丙、丁四位同学各自对[A，B]两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数[r]与残差平方和[m]如下表.

[＼&甲＼&乙＼&丙＼&丁＼&[r]＼&0.82＼&0.78＼&0.69＼&0.85＼&[m]＼&106＼&115＼&124＼&103＼&]

则哪位同学的试验结果体现[A，B]两变量有更强的线性相关性（ ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

变量间的相关关系试题常以考查基本概念、散点图、相关系数和回归方程为主，也会考查定量分析两个变量之间的线性相关关系.同时注意联想日常生活实际，或利用最小二乘法的思想，根据给出的线性回归方程的系数建立线性回归方程，并以此为工具载体考查同学们对概念的深层次理解.

1. 相关关系重基础概念的考查

相关关系注重基本概念的考查，主要是判断变量有无相关关系，这里一定要把它和函数关系区分开，并要学会对数据进行统计分析，发现其规律，作出正确判断.

例1 下列变量关系是相关关系的是（ ）

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；

②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；

③学生的身高与学生的学习成绩的关系；

④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④

解析 要判定两变量是否是相关关系就是要看两变量是否有影响，以及是否具有函数关系，从而可判定.①学生的学习态度会影响学习成绩，但不是函数关系，故两者之间是相关关系；②老师的执教水平会影响学生的学习成绩，但不是函数关系，故两者之间是相关关系；③学生的身高与学生的学习成绩无直接关系，故两变量不是相关关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间无直接关系，故两变量不是相关关系.

答案 A

点拨 本题考查了两个变量之间具有相关关系的定义，根据经验进行逐项验证，一定要和函数关系区别出来，属于基础题.

2. 相关关系注重数形结合，联系实际

在相关关系中由图观察判断结论的题目有很重要的地位，由图不仅能看出两个变量有无相关关系，也能看出是否是线性相关，判断是正相关还是负相关，对相关关系的强弱，相关系数的判断也很有帮助，数形结合是高中数学的很重要的思想.

例2 设某大学的女生体重[y][（单位：kg）]与身高[x]（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据[（xi，yi）（i=1，2，…，n）]，用最小二乘法建立的回归方程为[y=0.85x-85.71]，则下列结论中不正确的是（ ）

A. [y与x]具有正的线性相关关系

B. 回归直线过样本点的中心[（x，y）]

C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

解析 根据回归方程为[y=0.85x-85.71]，而0.85>0，可知A，B，C项均正确，对于D项回归方程只能进行预测，但不可断定.对于A项，0.85>0，所以[y与x]具有正的

线性相关关系，故正确；对于B项，回归直线过样本点的中心[（x-，y-）]，故正确；对于C项，∵回归方程为[y=0.85x-85.71]，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D项，[x=170cm]时，[y=0.85×170-85.71=58.79]，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg不正确.

答案 D

点拨 本题考查线性回归方程，考查对线性回归方程的理解，属于中档题.

3. 回归分析紧密联系实际，能做出较为准确的预测

回归直线方程的求法是最小二乘法，是数据中的点到它的距离的平方和最小，利用回归直线我们可以进行预测分析.

例3 设[（x1，y1）]，[（x2，y2），]…，[（xn，yn）]是变 量[x]和[y]的[n]次方个样本点，直线[l]是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）

A. 直线[l]过点[（x-，y-）]

B. [x]和[y]的相关系数为直线[l]的斜率

C. [x]和[y]的相关系数在0到1之间

D. 当[n]为偶数时，分布在[l]两侧的样本点的个数一定相同

分析 回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，是在-1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的限制.

解 回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A项正确. 两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B项错误. 两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，故C项错误. 所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D项错误.

答案 A

点拨 本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查相关系数的做法，考查样本点的分布特点，是一个基础题.

例4 已知[x与y]之间的几组数据如下表：

[[x]＼& 1＼& 2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&[y]＼& 0＼& 2＼&1＼&3＼&3＼&4＼&]

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为[y=bx+a]中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为[y=b′x+a′]，则以下结论正确的是 （ ）

A.[b>b，a>a] B.[b>b，a

C.[ba] D.[b

解析 由表格中的数据可得[n]，[x，y]，进而可得[i=1nx2i-nx2]，和[i=1nxiyi-nxy]，代入可得[b]，进而可得[a]，再由直线方程的求法可得[b′和a′]，比较可得答案.

由题意可知[n=6]，[x=72，y=136]，

故[i=1nx2i-nx2=352]，[i=1nxiyi-nxy]=-33，

故可得[b=-6635]，[a=y-bx=22930]，

而由直线方程的求解可得[b=2]，把（1，0）代入可得[a′=-2]，

比较可得[ba].

答案 C

1.下列变量中，具有相关关系的是（ ）

A.正方体的体积与边长

B.匀速行驶的车辆所行驶距离与行驶的时间

C.人的身高与视力

D.人的身高与体重

2.下列说法正确的是（ ）

A.任何两个变量都具有相关关系

B.球的体积与该球的半径具有相关关系

C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系

D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系

3.已知[x与y]之间的一组数据如表，则[y与x]的线性回归方程[y=bx+a]必过（ ）

[[x]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[y]＼&1＼&3＼&5＼&7＼&]

A.点（2，2） B.点（1.5，0）

C.点（1，2） D.点（1.5，4）

4.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

[①] [②] [③] [④]

A.① B.② C.③ D.④

5.甲、乙、丙、丁四位同学各自对[A，B]两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数[r]与残差平方和[m]如下表.

[＼&甲＼&乙＼&丙＼&丁＼&[r]＼&0.82＼&0.78＼&0.69＼&0.85＼&[m]＼&106＼&115＼&124＼&103＼&]

则哪位同学的试验结果体现[A，B]两变量有更强的线性相关性（ ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

变量间的相关关系试题常以考查基本概念、散点图、相关系数和回归方程为主，也会考查定量分析两个变量之间的线性相关关系.同时注意联想日常生活实际，或利用最小二乘法的思想，根据给出的线性回归方程的系数建立线性回归方程，并以此为工具载体考查同学们对概念的深层次理解.

1. 相关关系重基础概念的考查

相关关系注重基本概念的考查，主要是判断变量有无相关关系，这里一定要把它和函数关系区分开，并要学会对数据进行统计分析，发现其规律，作出正确判断.

例1 下列变量关系是相关关系的是（ ）

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；

②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；

③学生的身高与学生的学习成绩的关系；

④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④

解析 要判定两变量是否是相关关系就是要看两变量是否有影响，以及是否具有函数关系，从而可判定.①学生的学习态度会影响学习成绩，但不是函数关系，故两者之间是相关关系；②老师的执教水平会影响学生的学习成绩，但不是函数关系，故两者之间是相关关系；③学生的身高与学生的学习成绩无直接关系，故两变量不是相关关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间无直接关系，故两变量不是相关关系.

答案 A

点拨 本题考查了两个变量之间具有相关关系的定义，根据经验进行逐项验证，一定要和函数关系区别出来，属于基础题.

2. 相关关系注重数形结合，联系实际

在相关关系中由图观察判断结论的题目有很重要的地位，由图不仅能看出两个变量有无相关关系，也能看出是否是线性相关，判断是正相关还是负相关，对相关关系的强弱，相关系数的判断也很有帮助，数形结合是高中数学的很重要的思想.

例2 设某大学的女生体重[y][（单位：kg）]与身高[x]（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据[（xi，yi）（i=1，2，…，n）]，用最小二乘法建立的回归方程为[y=0.85x-85.71]，则下列结论中不正确的是（ ）

A. [y与x]具有正的线性相关关系

B. 回归直线过样本点的中心[（x，y）]

C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

解析 根据回归方程为[y=0.85x-85.71]，而0.85>0，可知A，B，C项均正确，对于D项回归方程只能进行预测，但不可断定.对于A项，0.85>0，所以[y与x]具有正的

线性相关关系，故正确；对于B项，回归直线过样本点的中心[（x-，y-）]，故正确；对于C项，∵回归方程为[y=0.85x-85.71]，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D项，[x=170cm]时，[y=0.85×170-85.71=58.79]，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg不正确.

答案 D

点拨 本题考查线性回归方程，考查对线性回归方程的理解，属于中档题.

3. 回归分析紧密联系实际，能做出较为准确的预测

回归直线方程的求法是最小二乘法，是数据中的点到它的距离的平方和最小，利用回归直线我们可以进行预测分析.

例3 设[（x1，y1）]，[（x2，y2），]…，[（xn，yn）]是变 量[x]和[y]的[n]次方个样本点，直线[l]是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）

A. 直线[l]过点[（x-，y-）]

B. [x]和[y]的相关系数为直线[l]的斜率

C. [x]和[y]的相关系数在0到1之间

D. 当[n]为偶数时，分布在[l]两侧的样本点的个数一定相同

分析 回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，是在-1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的限制.

解 回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A项正确. 两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B项错误. 两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，故C项错误. 所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D项错误.

答案 A

点拨 本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查相关系数的做法，考查样本点的分布特点，是一个基础题.

例4 已知[x与y]之间的几组数据如下表：

[[x]＼& 1＼& 2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&[y]＼& 0＼& 2＼&1＼&3＼&3＼&4＼&]

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为[y=bx+a]中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为[y=b′x+a′]，则以下结论正确的是 （ ）

A.[b>b，a>a] B.[b>b，a

C.[ba] D.[b

解析 由表格中的数据可得[n]，[x，y]，进而可得[i=1nx2i-nx2]，和[i=1nxiyi-nxy]，代入可得[b]，进而可得[a]，再由直线方程的求法可得[b′和a′]，比较可得答案.

由题意可知[n=6]，[x=72，y=136]，

故[i=1nx2i-nx2=352]，[i=1nxiyi-nxy]=-33，

故可得[b=-6635]，[a=y-bx=22930]，

而由直线方程的求解可得[b=2]，把（1，0）代入可得[a′=-2]，

比较可得[ba].

答案 C

1.下列变量中，具有相关关系的是（ ）

A.正方体的体积与边长

B.匀速行驶的车辆所行驶距离与行驶的时间

C.人的身高与视力

D.人的身高与体重

2.下列说法正确的是（ ）

A.任何两个变量都具有相关关系

B.球的体积与该球的半径具有相关关系

C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系

D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系

3.已知[x与y]之间的一组数据如表，则[y与x]的线性回归方程[y=bx+a]必过（ ）

[[x]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[y]＼&1＼&3＼&5＼&7＼&]

A.点（2，2） B.点（1.5，0）

C.点（1，2） D.点（1.5，4）

4.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

[①] [②] [③] [④]

A.① B.② C.③ D.④

5.甲、乙、丙、丁四位同学各自对[A，B]两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数[r]与残差平方和[m]如下表.

[＼&甲＼&乙＼&丙＼&丁＼&[r]＼&0.82＼&0.78＼&0.69＼&0.85＼&[m]＼&106＼&115＼&124＼&103＼&]

则哪位同学的试验结果体现[A，B]两变量有更强的线性相关性（ ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁