事件与概率

谢明铎

事件与概率在近年高考命题中有以下特点：（1）事件的考查仍稳中求新、稳中求活.这部分题以基础题型为主， 大多数是选择题、填空题，一般难度不大，属于基础题，重要考查对立和互斥的联系与区别.（2）概率的考查通常考查一些简单的计算，对于复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率.涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解.

1. 互斥与对立的区别

例1 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛. 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有1名男生和至少有1名女生；

（3）至少有1名男生和全是男生；

（4）至少有1名男生和全是女生.

解析 应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.

（1）在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.

（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.不可能是互斥事件，从而也不是对立事件.

（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.不可能是互斥事件，也不是对立事件.

（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是对立事件.

2. 概率与频率的关系

例2 某市统计的2010～2013年新生婴儿数及其中男婴数（单位：人）见下表：

[时间＼&2010年＼&2011年＼&2012年＼&2013年＼&新生婴儿数＼&21840＼&23070＼&20094＼&19982＼&男婴数＼&11453＼&12031＼&10297＼&10242＼&]

（1）试计算男婴各年的出生频率；（精确到0.001）

（2）该市男婴出生的概率约是多少？

解析 （1）2010年男婴出生的频率为[f（nA）=nAn=][1145321840]≈0.524.

同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率分别约为0.521，0.512，0.513.

（2）由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.

3. 概率的性质

例3 袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512].

（1）求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；

（2）求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.

解析 （1）从袋中任取一球，记事件[A]为“得到红球”，[B]为“得到黑球”，[C]为“得到黄球”，[D]为“得到绿球”，则事件[A，B，C，D]两两互斥.

由已知[P（A）=13，][P（B+C）=P（B）+P（C）=512，][P（C+D）=][P（C）+P（D）=512].

∴[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].

∵[B与C+D，B+C与D]也互斥，

∴[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].

[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]

[=1-（13+14+14）=1-56=16].

故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是[14]，[16]，[14].

（2）∵得到的球既不是黑球也不是绿球，

∴得到的球是红球或黄球，即事件[A+C].

∴[P（A+C）=P（A）+P（C）=13+16=12]，

故所求的概率是[12].

点拨 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母[Ω]表示.概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似值.

1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是[12]，乙获胜的概率是[13]，则[56]是（ ）

A.乙胜的概率 B.乙不输的概率

C.甲胜的概率 D.甲不输的概率

2. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，若甲每局比赛获胜的概率均为[23]，则甲以3[∶]1获胜的概率为（ ）

A. [827] B.[3281] C.[6481] D.[49]

3. 从一副标准的52张扑克牌中任意抽一张，抽到黑色K的概率为（ ）

A.[152] B.[112] C. [126] D.[14]

4. 有5件产品.其中有3件一级品和2件二级品.从中任取两件，则以0.7为概率的是（ ）

A.至多有1件一级品 B.恰有l件一级品

C.至少有1件一级品 D.都不是一级品

5. 下列说法正确的是（ ）

A. 某事件发生的频率为P（A）=1.1

B. 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

C. 小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件

D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

6.从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为（ ）

A.0.3 B.0.5

C.0.8 D.0.7

7. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（ ）

A.至多两件次品 B.至多一件次品

C.至多两件正品 D.至少两件正品

8.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别写有1，2，3，4，5，6），若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是（ ）

A. 一定出现“6点朝上”

B. 出现“6点朝上”的概率大于[16]

C. 出现“6点朝上”的概率等于[16]

D. 无法预测“6点朝上”的概率

事件与概率在近年高考命题中有以下特点：（1）事件的考查仍稳中求新、稳中求活.这部分题以基础题型为主， 大多数是选择题、填空题，一般难度不大，属于基础题，重要考查对立和互斥的联系与区别.（2）概率的考查通常考查一些简单的计算，对于复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率.涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解.

1. 互斥与对立的区别

例1 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛. 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有1名男生和至少有1名女生；

（3）至少有1名男生和全是男生；

（4）至少有1名男生和全是女生.

解析 应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.

（1）在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.

（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.不可能是互斥事件，从而也不是对立事件.

（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.不可能是互斥事件，也不是对立事件.

（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是对立事件.

2. 概率与频率的关系

例2 某市统计的2010～2013年新生婴儿数及其中男婴数（单位：人）见下表：

[时间＼&2010年＼&2011年＼&2012年＼&2013年＼&新生婴儿数＼&21840＼&23070＼&20094＼&19982＼&男婴数＼&11453＼&12031＼&10297＼&10242＼&]

（1）试计算男婴各年的出生频率；（精确到0.001）

（2）该市男婴出生的概率约是多少？

解析 （1）2010年男婴出生的频率为[f（nA）=nAn=][1145321840]≈0.524.

同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率分别约为0.521，0.512，0.513.

（2）由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.

3. 概率的性质

例3 袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512].

（1）求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；

（2）求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.

解析 （1）从袋中任取一球，记事件[A]为“得到红球”，[B]为“得到黑球”，[C]为“得到黄球”，[D]为“得到绿球”，则事件[A，B，C，D]两两互斥.

由已知[P（A）=13，][P（B+C）=P（B）+P（C）=512，][P（C+D）=][P（C）+P（D）=512].

∴[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].

∵[B与C+D，B+C与D]也互斥，

∴[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].

[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]

[=1-（13+14+14）=1-56=16].

故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是[14]，[16]，[14].

（2）∵得到的球既不是黑球也不是绿球，

∴得到的球是红球或黄球，即事件[A+C].

∴[P（A+C）=P（A）+P（C）=13+16=12]，

故所求的概率是[12].

点拨 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母[Ω]表示.概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似值.

1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是[12]，乙获胜的概率是[13]，则[56]是（ ）

A.乙胜的概率 B.乙不输的概率

C.甲胜的概率 D.甲不输的概率

2. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，若甲每局比赛获胜的概率均为[23]，则甲以3[∶]1获胜的概率为（ ）

A. [827] B.[3281] C.[6481] D.[49]

3. 从一副标准的52张扑克牌中任意抽一张，抽到黑色K的概率为（ ）

A.[152] B.[112] C. [126] D.[14]

4. 有5件产品.其中有3件一级品和2件二级品.从中任取两件，则以0.7为概率的是（ ）

A.至多有1件一级品 B.恰有l件一级品

C.至少有1件一级品 D.都不是一级品

5. 下列说法正确的是（ ）

A. 某事件发生的频率为P（A）=1.1

B. 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

C. 小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件

D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

6.从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为（ ）

A.0.3 B.0.5

C.0.8 D.0.7

7. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（ ）

A.至多两件次品 B.至多一件次品

C.至多两件正品 D.至少两件正品

8.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别写有1，2，3，4，5，6），若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是（ ）

A. 一定出现“6点朝上”

B. 出现“6点朝上”的概率大于[16]

C. 出现“6点朝上”的概率等于[16]

D. 无法预测“6点朝上”的概率

事件与概率在近年高考命题中有以下特点：（1）事件的考查仍稳中求新、稳中求活.这部分题以基础题型为主， 大多数是选择题、填空题，一般难度不大，属于基础题，重要考查对立和互斥的联系与区别.（2）概率的考查通常考查一些简单的计算，对于复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率.涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解.

1. 互斥与对立的区别

例1 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛. 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有1名男生和至少有1名女生；

（3）至少有1名男生和全是男生；

（4）至少有1名男生和全是女生.

解析 应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.

（1）在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.

（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.不可能是互斥事件，从而也不是对立事件.

（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.不可能是互斥事件，也不是对立事件.

（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是对立事件.

2. 概率与频率的关系

例2 某市统计的2010～2013年新生婴儿数及其中男婴数（单位：人）见下表：

[时间＼&2010年＼&2011年＼&2012年＼&2013年＼&新生婴儿数＼&21840＼&23070＼&20094＼&19982＼&男婴数＼&11453＼&12031＼&10297＼&10242＼&]

（1）试计算男婴各年的出生频率；（精确到0.001）

（2）该市男婴出生的概率约是多少？

解析 （1）2010年男婴出生的频率为[f（nA）=nAn=][1145321840]≈0.524.

同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率分别约为0.521，0.512，0.513.

（2）由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.

3. 概率的性质

例3 袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512].

（1）求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；

（2）求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.

解析 （1）从袋中任取一球，记事件[A]为“得到红球”，[B]为“得到黑球”，[C]为“得到黄球”，[D]为“得到绿球”，则事件[A，B，C，D]两两互斥.

由已知[P（A）=13，][P（B+C）=P（B）+P（C）=512，][P（C+D）=][P（C）+P（D）=512].

∴[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].

∵[B与C+D，B+C与D]也互斥，

∴[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].

[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]

[=1-（13+14+14）=1-56=16].

故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是[14]，[16]，[14].

（2）∵得到的球既不是黑球也不是绿球，

∴得到的球是红球或黄球，即事件[A+C].

∴[P（A+C）=P（A）+P（C）=13+16=12]，

故所求的概率是[12].

点拨 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母[Ω]表示.概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似值.

1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是[12]，乙获胜的概率是[13]，则[56]是（ ）

A.乙胜的概率 B.乙不输的概率

C.甲胜的概率 D.甲不输的概率

2. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，若甲每局比赛获胜的概率均为[23]，则甲以3[∶]1获胜的概率为（ ）

A. [827] B.[3281] C.[6481] D.[49]

3. 从一副标准的52张扑克牌中任意抽一张，抽到黑色K的概率为（ ）

A.[152] B.[112] C. [126] D.[14]

4. 有5件产品.其中有3件一级品和2件二级品.从中任取两件，则以0.7为概率的是（ ）

A.至多有1件一级品 B.恰有l件一级品

C.至少有1件一级品 D.都不是一级品

5. 下列说法正确的是（ ）

A. 某事件发生的频率为P（A）=1.1

B. 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

C. 小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件

D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

6.从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为（ ）

A.0.3 B.0.5

C.0.8 D.0.7

7. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（ ）

A.至多两件次品 B.至多一件次品

C.至多两件正品 D.至少两件正品

8.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别写有1，2，3，4，5，6），若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是（ ）

A. 一定出现“6点朝上”

B. 出现“6点朝上”的概率大于[16]

C. 出现“6点朝上”的概率等于[16]

D. 无法预测“6点朝上”的概率