例析样本的数字特征
2014-10-24黄艳侠
黄艳侠
1. 众数、中位数、平均数的简单应用
例1 下面是一家快餐店所有工作人员（共7人）一周的工资表：
[总经理＼&大厨＼&二厨＼&采购员＼&杂工＼&服务员＼&会计＼&3000元＼&450元＼&350元＼&400元＼&320元＼&320元＼&410元＼&]
（1）计算所有人员一周的平均工资；
（2）计算出的平均工资能反映一般工作人员一周的收入水平吗？
（3）去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员一周的收入水平吗？
分析 平均工资[x=750]元，而总经理工资偏高，不能反映所有工作人员的收入水平，因此应去掉总经理的工资.平均工资[x=375]元能反映一般员工的收入水平.
解 （1）平均工资即为该组数据的平均数
[x=17×（3000+450+350+400+320+320+410）]
[=17×5250=750]（元）.
（2）由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由（1）所得的平均工资不能反映一般工作人员一周的收入水平.
（3）除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为
[x=16×（450+350+400+320+320+410）][=375]（元）.
该平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平.
点拨 平均数受个别极端数据（比其它数据大很多，或小很多的数据）影响大，因此若在数据中存在少量极端数据时，平均数对总体估计的可靠性较差，往往用众数或中位数去估计总体.有时也用剔除最大值与最小值所得的平均数去估计总体.
2. 根据频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
例2 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
[50 60 70 80 90 100][分数（分）][频率
组距][0.040
0.030
0.015
0.010
0.005]
求：（1）高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
（2）高一参赛学生的平均成绩.
分析 根据众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系计算.
解 （1）由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设第二个小矩形底边的一部分长为[x]，
则[x×0.04=0.2]，得[x=5].
∴中位数为60+5=65.
（2）依题意，平均成绩为
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67，
∴平均成绩约为67.
点拨 （1）利用频率分布直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数左右两侧直方图的面积相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标.
（2）利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
3. 茎叶图的应用
例3 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538
乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531
（1）用茎叶图表示两学生的成绩；
（2）分别求两学生成绩的中位数和平均分.
分析 （1）将十位与百位数字作为茎，个位数字作为叶，逐一统计；（2）根据茎叶图分析两组数据，得出结论.
解 （1）两学生成绩的茎叶图如图所示.
[甲 乙][ 2 51 5
2 8 52 1 7
8 4 6 53 2 6 1
1 9 54 3 8
6 4 55 8 9]
（2）将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：
甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556
乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为
[536+5382]=537，
乙学生成绩的中位数为[532+5362]=534.
甲学生成绩的平均数为
500+[12+22+28+34+36+38+41+49+54+5610]
=537.
乙学生成绩的平均数为
500+[15+21+27+31+32+36+43+48+58+5910]
=537.
点拨 （1）茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况.
（2）茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况.
4. 用折线图中样本的数字特征估计总体的数字特征
例4 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.
乙][第一次][第二次][第三次][第四次][第五次][16
15
14
13
12
11
10]
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.
分析 （1）先通过图象统计出甲、乙两人的成绩；（2）利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价.
解 （1）由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分.
[x]甲=[10+13+12+14+165]=13，
[x]乙=[13+14+12+12+145]=13，
[s甲2]=[15][（10-13）2+（13-13）2+（12-13）2+（14-13）2+（16-13）2]=4，
[s乙2]=[15][（13-13）2+（14-13）2+（12-13）2+（12-13）2+（14-13）2]=0.8.
（2）由[s甲2>s乙2]可知乙的成绩较稳定.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
点拨 （1）平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.
（2）平均数、方差的公式推广：
①若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均数是mx+a.
②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
a.数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也为s2；
b.数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
1. 众数、中位数、平均数的简单应用
例1 下面是一家快餐店所有工作人员（共7人）一周的工资表：
[总经理＼&大厨＼&二厨＼&采购员＼&杂工＼&服务员＼&会计＼&3000元＼&450元＼&350元＼&400元＼&320元＼&320元＼&410元＼&]
（1）计算所有人员一周的平均工资；
（2）计算出的平均工资能反映一般工作人员一周的收入水平吗？
（3）去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员一周的收入水平吗？
分析 平均工资[x=750]元，而总经理工资偏高，不能反映所有工作人员的收入水平，因此应去掉总经理的工资.平均工资[x=375]元能反映一般员工的收入水平.
解 （1）平均工资即为该组数据的平均数
[x=17×（3000+450+350+400+320+320+410）]
[=17×5250=750]（元）.
（2）由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由（1）所得的平均工资不能反映一般工作人员一周的收入水平.
（3）除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为
[x=16×（450+350+400+320+320+410）][=375]（元）.
该平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平.
点拨 平均数受个别极端数据（比其它数据大很多，或小很多的数据）影响大，因此若在数据中存在少量极端数据时，平均数对总体估计的可靠性较差，往往用众数或中位数去估计总体.有时也用剔除最大值与最小值所得的平均数去估计总体.
2. 根据频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
例2 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
[50 60 70 80 90 100][分数（分）][频率
组距][0.040
0.030
0.015
0.010
0.005]
求：（1）高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
（2）高一参赛学生的平均成绩.
分析 根据众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系计算.
解 （1）由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设第二个小矩形底边的一部分长为[x]，
则[x×0.04=0.2]，得[x=5].
∴中位数为60+5=65.
（2）依题意，平均成绩为
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67，
∴平均成绩约为67.
点拨 （1）利用频率分布直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数左右两侧直方图的面积相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标.
（2）利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
3. 茎叶图的应用
例3 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538
乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531
（1）用茎叶图表示两学生的成绩；
（2）分别求两学生成绩的中位数和平均分.
分析 （1）将十位与百位数字作为茎，个位数字作为叶，逐一统计；（2）根据茎叶图分析两组数据，得出结论.
解 （1）两学生成绩的茎叶图如图所示.
[甲 乙][ 2 51 5
2 8 52 1 7
8 4 6 53 2 6 1
1 9 54 3 8
6 4 55 8 9]
（2）将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：
甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556
乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为
[536+5382]=537，
乙学生成绩的中位数为[532+5362]=534.
甲学生成绩的平均数为
500+[12+22+28+34+36+38+41+49+54+5610]
=537.
乙学生成绩的平均数为
500+[15+21+27+31+32+36+43+48+58+5910]
=537.
点拨 （1）茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况.
（2）茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况.
4. 用折线图中样本的数字特征估计总体的数字特征
例4 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.
乙][第一次][第二次][第三次][第四次][第五次][16
15
14
13
12
11
10]
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.
分析 （1）先通过图象统计出甲、乙两人的成绩；（2）利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价.
解 （1）由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分.
[x]甲=[10+13+12+14+165]=13，
[x]乙=[13+14+12+12+145]=13，
[s甲2]=[15][（10-13）2+（13-13）2+（12-13）2+（14-13）2+（16-13）2]=4，
[s乙2]=[15][（13-13）2+（14-13）2+（12-13）2+（12-13）2+（14-13）2]=0.8.
（2）由[s甲2>s乙2]可知乙的成绩较稳定.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
点拨 （1）平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.
（2）平均数、方差的公式推广：
①若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均数是mx+a.
②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
a.数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也为s2；
b.数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
1. 众数、中位数、平均数的简单应用
例1 下面是一家快餐店所有工作人员（共7人）一周的工资表：
[总经理＼&大厨＼&二厨＼&采购员＼&杂工＼&服务员＼&会计＼&3000元＼&450元＼&350元＼&400元＼&320元＼&320元＼&410元＼&]
（1）计算所有人员一周的平均工资；
（2）计算出的平均工资能反映一般工作人员一周的收入水平吗？
（3）去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员一周的收入水平吗？
分析 平均工资[x=750]元，而总经理工资偏高，不能反映所有工作人员的收入水平，因此应去掉总经理的工资.平均工资[x=375]元能反映一般员工的收入水平.
解 （1）平均工资即为该组数据的平均数
[x=17×（3000+450+350+400+320+320+410）]
[=17×5250=750]（元）.
（2）由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由（1）所得的平均工资不能反映一般工作人员一周的收入水平.
（3）除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为
[x=16×（450+350+400+320+320+410）][=375]（元）.
该平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平.
点拨 平均数受个别极端数据（比其它数据大很多，或小很多的数据）影响大，因此若在数据中存在少量极端数据时，平均数对总体估计的可靠性较差，往往用众数或中位数去估计总体.有时也用剔除最大值与最小值所得的平均数去估计总体.
2. 根据频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
例2 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
[50 60 70 80 90 100][分数（分）][频率
组距][0.040
0.030
0.015
0.010
0.005]
求：（1）高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
（2）高一参赛学生的平均成绩.
分析 根据众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系计算.
解 （1）由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设第二个小矩形底边的一部分长为[x]，
则[x×0.04=0.2]，得[x=5].
∴中位数为60+5=65.
（2）依题意，平均成绩为
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67，
∴平均成绩约为67.
点拨 （1）利用频率分布直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数左右两侧直方图的面积相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标.
（2）利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
3. 茎叶图的应用
例3 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538
乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531
（1）用茎叶图表示两学生的成绩；
（2）分别求两学生成绩的中位数和平均分.
分析 （1）将十位与百位数字作为茎，个位数字作为叶，逐一统计；（2）根据茎叶图分析两组数据，得出结论.
解 （1）两学生成绩的茎叶图如图所示.
[甲 乙][ 2 51 5
2 8 52 1 7
8 4 6 53 2 6 1
1 9 54 3 8
6 4 55 8 9]
（2）将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：
甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556
乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为
[536+5382]=537，
乙学生成绩的中位数为[532+5362]=534.
甲学生成绩的平均数为
500+[12+22+28+34+36+38+41+49+54+5610]
=537.
乙学生成绩的平均数为
500+[15+21+27+31+32+36+43+48+58+5910]
=537.
点拨 （1）茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况.
（2）茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况.
4. 用折线图中样本的数字特征估计总体的数字特征
例4 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.
乙][第一次][第二次][第三次][第四次][第五次][16
15
14
13
12
11
10]
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.
分析 （1）先通过图象统计出甲、乙两人的成绩；（2）利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价.
解 （1）由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分.
[x]甲=[10+13+12+14+165]=13，
[x]乙=[13+14+12+12+145]=13，
[s甲2]=[15][（10-13）2+（13-13）2+（12-13）2+（14-13）2+（16-13）2]=4，
[s乙2]=[15][（13-13）2+（14-13）2+（12-13）2+（12-13）2+（14-13）2]=0.8.
（2）由[s甲2>s乙2]可知乙的成绩较稳定.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
点拨 （1）平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.
（2）平均数、方差的公式推广：
①若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均数是mx+a.
②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
a.数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也为s2；
b.数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
