分离变量法在求解波动方程中的应用

王平心

【摘 要】分离变量法又称傅里叶级数法，它是求解数学物理方程定解问题的最常用和最基本的方法之一。该方法的基本思想是将偏微分方程的定解问题转化为常微分方程的定解问题。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。它能够求解相当多的定解问题，特别是对一些常见区域上混合问题和边值问题，都可以用分离变量法试着求解。本文将讨论分离变量法在求解波动方程中的应用。

【关键词】分离变量法;波动方程;求解

0 引言

自然界很多物理现象都可以归结为波动问题，在机械工程中经常遇到的振动问题，可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳，可归结为声波问题;在广播领域和光学领域，可归纳出电磁波。他们都具有相同的数学物理基础，并且可以用一个式子表示：

我们称它为波动方程，因为它描述了自然界的波动这种运动形式，其中△为拉普拉斯算子。△中，变量的个数表示波动船舶空间的维数，现实生活中的波动，一般都是三维的。但是为了研究方便，我们先讨论一维的波动。

分量变量法是求解数学物理方程的一种重要方法，这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题，经过变量分离，转化为求解两个或多个只含一个变量的常微分方程的初值问题，使原问题得到简化，这是一种很常用的方法。它通常用来求解有限区域（区间）上的边值问题或初边值问题。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。

1 变量分离法的基本步骤

第一步：边界条件齐次化。

如果关于未知函数u的混合问题中的边界条件不是齐次的，那么选取一个与u具有相同边界条件的已知函数，作变换u=v+w，代入关于u的混合问题，导出新的未知函数v的混合问题，这时v所满足的边界条件就是齐次的了。当方程中的非齐次项与初始条件都与t无关时，可以选择合适的变换让方程与边界条件同时齐次化。

第二步：非齐次方程的处理。

若此时方程是非齐次的，可以利用叠加原理将问题转化一个齐次方程非齐次的初始条件与一个非齐次方程齐次初始条件的方程之和，而对齐次方程非齐次的初始条件的方程可以利用下面的步骤直接利用变量分量法，对非齐次方程齐次初始条件的方程可以利用特征函数法将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族特征函数展开进行求解。

第三步：建立特征值问题并求其解。

设vx，t=XxTt，代入关于v的混合问题所对应的齐次方程及齐次边界条件，经过变量分离后，可得关于Xx的特征值问题，求出特征值λn和特征函数Xnx。一般要分三种情况进行讨论，并得到满足定解问题中方程和边界条件的变量分离解。

第四步：求解关于v的混合问题。

设该问题的解为特征函数的级数vx，t=XxTt。将其代入v所满足的方程及初始条件，从中可分离出待定函数Tn（t）所满足的常微分方程的初值问题，求出Tn（t）后可得v（x，t）。

第五步：求解关于u的混合问题。

将所求得的v代入u=v+w，便得关于u的混合问题的解。

上述求解过程可以用图1来表示。

图1

而娈量分量的过程也可以用一个图来表示，下面我们以两端固定的齐次边界为例来说明一下变量分量的过程。

图2 两端固定边界条件的波动方程分离变量过程图

2 应用举例

用变量分离法求解下面波动方程的混合问题：

分析：由于方程和边界条件都是非齐次的，因此首先应将边界条件齐次化. 注意到方程中的自由项及边界条件都与t无关， 因此可适当选取一个与t无关的辅助函数w（x），使得新的未知函数的方程和边界条件都是齐次的。

解：令u（x，t）=v（x，t）+w（x）（4）

将（4）代入（1），整理得（下转第85页）

vtt=a2vxx+a2w″x+A（5）

为了使方程（5）及边界条件同时齐次化，取w（x）滿足

a2w″x+A=0w0=0，wl=B

求解这个常微分方程定解问题，得

于是作代换

将（6）代入原定解问题得

这是一个具有齐次边界条件的线性齐次方程的定解问题，采用分离变量法，可得其解为

其中

3 总结

分离变量法是求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的基本方法，它不仅适用于波动方程，而且也适用于热传导方程和位势方程。本文针对数学物理方程的一波动方程定解问题，总结了分离变量法求解方法及步骤。

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