土的极限平衡条件的简化证明

许建军

摘 要：本文利用相似三角形，证明粘性土和无粘性土的极限平衡条件，比传统的证明方法大为简化而且比较直观。

关键词：极限平衡条件 相似三角形 证明

一、 引言

土的极限平衡条件是土力学中最基本的公式之一。它是反映土的抗剪强度的重要公式。著名的朗金土压力理论，就是根据半空間内的应力状态和土的极限平衡条件得出的土压力计算方法。

土力学方面的书籍一般都给出了土的极限平衡条件的证明，这些证明大同小异，都要经过复杂的三角函数变换[1][2]。本文利用三角形相似证明土的极限平衡条件不仅简单而且比较直观。

二、典型的证明（参见附图二）

中国建筑工业出版社1991年11月第二版的《地基及基础》（华南工学院，南京工学院，浙江大学，湖南大学，合编），给出了典型的证明。

AD = O'D ×sinф

因 AD =1/2（σ1+σ3）

O'D =C/tgф+1/2（σ1+σ3）

故 1/2（σ1+σ3） =【C/tgф+1/2（σ1+σ3）】×sinф

简化后得：

σ1 = σ3×（1+sinф）/（1-sinф） + 2C×cosф/（1-sinф）

由三角函数可以证明：

（1+sinф）/（1-sinф）= tg2（45 ?+ф/2）

（1-sinф）/（1+sinф）= tg2（45 ?-ф/2）

代人上式得粘性土的极限平衡条件：

σ1 = σ3tg2（45?+ф/2） + 2Ctg（45?+ф/2）

σ3 = σ1tg2（45?-ф/2） + 2Ctg（45?-ф/2）

对于无粘性土，由于 C = 0

σ1 = σ3tg2（45?+ф/2）

σ3 = σ1tg2（45?-ф/2）

即为无粘性土的极限平衡条件。

本人当年读书时，就感觉三角函数变换太突然，就像变魔术一样！

有些土力学方面的书籍给出了更加详细的证明，单单是三角函数变换就长达一页纸。三角函数变换太复杂，就让人感觉太神秘，结论太突然，不那么可信。

本人经多年努力，发现利用三角形相似证明土的极限平衡条件，更简单，更直观。比如无粘性土的极限平衡条件，利用三角形相似证明，不仅是简单明了，而且物理意义更加明确。完全不必复杂的神秘的三角函数变换！

三、无粘性土的极限平衡条件的证明（参见附图一）

∵ ∠AOF共用， ∠OAB=∠OFA（圆切角=圆周角）

∴ ΔOAF∽ΔOAB

于是有： OF/OA=OA/OB=AF/AB

可 得： OF=AF/AB×OA=（AF/AB）2×OB

∵ ∠ADF=∠DAO +∠DOA 即2α = 90?+ф

∴ α= 45? + ф/2

∵ AF/AB = tg∠ABF = tgα

∵ OF =σ1 ； OB = σ3 ；

∴ σ1 = σ3 tg2（45 ?+ф/2）

即为无粘性土的极限平衡条件。

四、粘性土的极限平衡条件的证明（参见附图二）

∵ ∠AO'F共用， ∠O'AB=∠O'FA（圆切角=圆周角）

∴ ΔO'AF∽ΔO'AB

于是有：O'F/O'A=O'A/O'B=AF/AB

可 得：O'F=（AF/AB）2×O'B

∵∠ADF=∠DAO'+∠DO'A

即2α= 90?+ф

∴ α= 45? + ф/2

∵ AF/AB = tgα

∵ O'F=σ1+ C/tgф

O'B=σ3 + C/tgф

∴ （σ1+ C/tgф） = （ σ3 + C/tgф） tg2（45 ?+ф/2）

即：σ1 = σ3 tg2（45?+ф/2） + C/tgф[ tg2（45 ?+ ф/2）–1]

∵ 1/tgф=–tg（90 ?+ф）

= 2tg（45 ?+ф/2）/[ tg2（45? +ф/2）–1]

∴ σ1 = σ3tg2（45?+ф/2） + 2Ctg（45?+ф/2）

即粘性土的极限平衡条件。

附图一 附图二

参考文献

[1] 《地基及基础》中国建筑工业出版社1991年11月第二版P123，P124

[2] 《土力学及基础工程》陈希哲主编 中央广播电视大学出版社1995年10月第一版P128-P130。