谈高考中数学中的分类讨论思想

谢必烨

分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略.它体现了化整为零、积零化整的思想与归类整理的方法，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化.每年高考都有考查分类讨论这一数学思想，可以反映考生对分类标准理解的深度，具有一定的探索性，而且分类讨论问题综合性强，能力要求高，思维力度大，内在联系密切，思维方法灵活，致使很多考生在有关分类讨论的题目中失分较多.下面就来介绍分类讨论的类型.

一、概念型分类讨论

有一些问题所涉及的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0，a=0，a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型.

例1 关于x的方程x2-12-x2-1+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根;

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根;

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根;

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

分析 本题中含有参变量k以及绝对值符号，不同取值会导致问题的结论有多种情况或多种不同结果.

解 由题意可设x2-1=t（t≥0）①，则方程化为t2-t+k=0②，作出函数y=x2-1的图像，结合函数的图像可知：（1）当t=0或t>1时，方程①有2个不相等的根;（2）当0

二、性质型分类讨论

数学中有些问题涉及的数学定理、公式和运算性质、法则等是有范围或者条件限制，或是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.

例2 已知loga2x+1>loga3-x（a>0且a≠1），则x的取值范围是 .

分析 由对数函数的性质可知：当a>1时，函数y=logax在0，+∞上是增函数;当0

解 当0

∵loga2x+1>loga3-x，

∴2x+1>0，

3-x>0，

2x+1<3-x，解得：-12

当a>1时，函数y=logax在0，+∞上是增函数.

∵loga2x+1>loga3-x

∴2x+1>0，

3-x>0，

2x+1>3-x，解得：23

综上所述，当01时，x的取值范围是23，3.

三、化归型分类讨论

数学中有些实际问题涉及含有约束条件，通过分类讨论，使复杂问题化为简单问题.这种分类讨论题型可以称为化归型.

例3 某外语组有9人，每人至少会英语和法语中的一门，其中7人会英语，3人会法语，从中选出会英语和会法语的各1人，有多少种不同的选法？

分析 本问题中要完成一件事是“从9人中选出会英语与法语各1人”，根据已知条件9人中既会英语又会法语只有1人.因此可根据此人是否当选，将选法分为三类：（1）此人不当选;（2）此人按英语当选;（3）此人按法语当选.

解 既会英语又会法语的有7+3-9=1人，仅会英语的有6人，仅会法语的有2人，先分类，后分步.

先从仅会英语或法语的人中各选1人，有6×2种选法;从仅会英语与英语和法语都會的人中各选1人，有6×1种选法;从仅会法语与英语和法语都会的人中各选1人，有2×1种选法.

根据分类计数原理，共有6×2+6×1+2×1=20种不同的选法.

点评 实际问题常见的有排列组合问题、概率统计问题、应用问题等，常常要进行分类讨论.求解这类问题的关键是抓住题设的条件的特点和问题的特殊性，选择恰当的分类标准进行分类讨论.

总之，分类讨论思想在高考解题中的应用非常广泛.分类讨论思想的运用，对我们思维能力、分析能力、知识与方法综合运用的能力要求较高.我们在分类讨论时应该根据题目的特点，适当选择思考问题的视角，准确识别各种类型，熟练运用各种类型的解决方法.教学中若能注意这方面的训练，对于优化我们的思维品质，培养我们的创新意识，提高我们的思维能力都是非常有益的.