函数单调性有效分析方法研究

徐宝玥

【摘要】函数是高中数学教学的一个重要内容，也是高中生数学思维能力训练和提升的重要知识点，更是学生能够有效提高利用函数知识进行化繁为简解题，获得学习能力和数学素养提升的学习内容.因此，在进行函数单调性教学时，不仅需要学生能够熟知函数单调性的性质、定义，更需要学生能够将各种理论知识进行综合应用，实现函数解题的灵活性、准确性.

【关键词】高中数学;函数单调性;有效分析;方法研究

函数的利用是贯穿数学学习始终的，且其单调性是函数学习的重要组成，对其单调性的掌握，就能够使学生在数学学习探索中，实现能力的培养，增强学生的归纳能力、抽象思维以及推理判断能力.

一、函数单调性的判断依据

函数单调性学习首要解决和落实的是函数增减判断方法.函数单调增减主要是看其某个区间中函数值与变量的关系，如果函数值随变量增大而相应增大，即在图像上表现为上升的趋势即为单调增函数;反之，则为单调减函数.函数是高中数学学习和检测的重点，因此，涉及函数的题目多需要对其增、减函数判断与运用.

求函数的单调区间是依据和利用函数定义进行求解，是常规和常见的函数问题.如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集，单调区间是函数定义域的子集.所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域;单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来.

另外，数形结合是函数运用的重要方法，利用图像解决函数单调性是处理函数问题的重要方法.图形具有直观性，借助函数草图，我们便能比较清楚明了地通过函数图像的升降，得出函数的单调增区间或单调减区间.当然，也存在着一些不具备单调性的函数，所以，只有将函数单调性的定义、性质进行有效掌握之后，才能够使函数学习、知识运用做到融会贯通.

二、 利用单调性的合理运用

掌握函数单调性的判定和数学原理能够利用函数单调性的性质进行一些运用，其实确定函数式中参数的范围和最值是重要的运用，即有效利用函数单调性确定参数范围是学生能够将知识运用于解题的重要方面.在学生进行参数范围求解时，教师就能够通过其解题思路，来判断学生是否全面掌握了函数单调性的概念、性质以及定义等.例如：已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意的正数d，都有f（x+d）0时，f（x+d）2a-1，解得a<23，所以，a的取值范围是-∞，23.

对函数最值的判断也是单调性运用的主要方面，这也是考试中最常见的一种考查学生对函数学习的方式.判断函数最值主要是其最大值与最小值，这样的题目多在选择题中考查，而通过函数的最值反过来求参数也是函数运用的一个重要方面，因此，我们可以通过函数图像判断得出，也可以通过交集的落实而解决.

三、对指数函数以及对数函数分析

指数函数与对数函数是高考中函数题常考的类型，因此，就需要加强其掌握与运用，使学生能够将各种题型做好，游刃有余.

指数函数题的解决前提是掌握指数函数的单调性问题，结合题目灵活利用其单调性的性质判断其单调性，从而进行解题.例如，利用指数函数单调性对（1）1.52.5，1.53.2，（2）1.50.3，0.81.2的大小进行分析.因此，在进行解题时，首先就需要对其单调性进行判断，并在有效证明函数的大小后，就可以利用指数函数的单调性对变量的范围进行求解了.另外，比较函数值的大小关系，利用指数函数单调性落实自变量的大小也是指数函数单调性运用的常见考法.

函数学习本身是抽象性较强的，它是通过对其单调性的判断、单调性的运用，在各种已知条件的基础上，对各种参数进行求解.如：设a是实数，f（x）=a-22x+1（x∈R），（1）求a的值，使函数f（x）为奇函数;（2）试证明：对于任意a，f（x）在R为增函数.分析：该题型看着形式较为复杂，但只要按照严格的指数函数单调性定义进行解题，能够有效利用其性质，就能够使解题做到准确到位.可见，在进行复合函数求解时，就需要判断经过变形，函数的奇偶性、单调性，从而使解题多方面、多思路完成.

在掌握各种性质、定义之后，就应该利用这些知识，解决一些较为实际的问题了，从而培养学生从特殊到一般的抽象、归纳能力以及分析问题、解决问题的能力.在明确对数函数单调性之后，就应该对式子中的参数范围进行探讨，这也是对数函数单调性的有效应用.例如：设f （x）=lg（ax2-2x+a），（1） 如果f （x）的定義域是（-∞，+∞），求a的取值范围; （2） 如果f （x）的值域是（-∞，+∞），求a的取值范围.因此，在进行求解时，就需要按照定义、对数性质进行有效分析.解：（1）因为f （x）的定义域是（-∞，+∞），所以，当x∈（-∞，+∞）时，都有ax2-2x+a>0，即满足条件a>0，且Δ<0，4-4a2<0，因此，就可得出a>1;（2）又因为f （x）的值域是（-∞，+∞），即当x在定义域内取值时，可以使y∈（-∞，+∞），所以，就要求ax2-2x+a可以取到大于零的一切值，又因为a>0且Δ≥0 （4-4a≥0）或a=0，因此，就解得0≤a≤1.

总之，函数单调性也函数课程的重要知识点，是整个数学教学的重要课程，所以，对于函数单调性的掌握，就应该从函数性质、函数定义出发，发散思维，抓住问题的本质，掌握函数单调性的各项知识要点，扎实函数基础，不断灵活运用，从而实现函数单调性的有效分析，达到化难为易、化繁为简的解题效果.

【参考文献】

[1]龙艳君.函数单调性分析[J].中学生数学，2012（5）.

[2]单凌云.函数单调性概念的理解及运用[J].理科考试研究，2013（8）.

[3]杨霞.函数单调性的判断方法[J].语数外学习（数学教育），2013（7）.