浅议类比推理

王斌瑜

【摘要】高中数学新课程已将“类比推理”能力的培养作为课程的目标之一，但教材只在理科选修2-2（文科选修1-2）中提及了下，并没有深入地探讨和研究.“类比”是发现概念、方法、公式和定理的重要手段，也是开拓新领域和创造新问题的重要手段;“推理”能力则是我们培养学生思维的重要目标.因此需要我们教师挖掘教材内涵，在平时的教学中渗透“类比推理”的思想，努力培养学生运用类比法进行推理的能力，使他们的思维更具创造力.

【关键词】类比思想;类比推理

类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似性或相同，推演出它们在其他方面也有相似或相同.像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.类比推理的思维过程大致如下：

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论

这里猜测的新的结论可以正确，也可以是错误的.实际上，类比是产生了一个新的命题，它可真可假，需要我们从原命题入手去思考和研究.德国数学家、天文学家开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的.”我们不妨来回顾下我们高中学习的几何学知识.

以点到面，类比猜想

正如波利亚在其《怎样解题》中所阐述的一般化思想：“一般化就是从考虑一个对象，过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小的集合的更大集合.”苏教版高中数学教材之选修1-2（文科）P35页例2：试将平面上的圆与空间中的球进行类比.并得出下面的一些结论：

圆的性质

球的性质

圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦

球心与截面圆（不是大圆）的圆心的连线垂直于截面圆

与圆心距离相等的两弦的长相等;与圆心距离不等的两弦的长不等，距圆心较近的弦较长

与球心距离相等的两截面圆的面积相等;与球心距离不等的两截面圆的面积不等，距球心较近的截面圆的面积较大

圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

球的切面垂直于经过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

要验证这几个结论并不难，我们要思考的是为什么类比到这样几个结论.让我们再次看下类比推理的定义和思维过程，发现圆和球的定义构成是一样的（这是类比的基础），不一样的只是维数.因而产生了：弦截面圆，直径大圆，周长表面积，圆面积球体积的类比，可以看成是不同维数（圆是二维球是三维）之间的类比.当然这样的类比方法也适用于平面几何和空间立体几何之间的类比，如：平面上的平行直线的传递性a∥b，b∥ca∥c可以类比到空间的平行平面的传递性α∥β，β∥γα∥γ，用面积法求三角形的内切圆半径到用体积法求三棱锥的内切球半径……

追本溯源，合理猜测论证

除了二维和三维的类比，我们也能进行同维度的类比，如我们所熟悉的解析几何中的圆和椭圆.

圆

椭圆

标准方程

x2r2+y2r2=1（r>0）

x2a2+y2b2=1（a>b>0）

参数方程

x=rcosθ，y=rsinθ

①x=acosθ，y=bsinθ

曲线上一点

P（x0，y0）处

的切线方程

Ⅱ：x0xr2+y0yr2=（r>0）

②

面积

S=πr2

③

一个性质

任意一直径所对的角为

直角

④

为了便于研究笔者将圆的标准方程改写成x2r2+y2r2=1（r>0），显然我们能够得出椭圆的参数方程①并验证它是正确的，我们发现两者的标准方程（代数结构）x2r2+y2r2=1（r>0）x2a2+y2b2=1（a>b>0）非常相似（两个r分别被a，b取代），这是结论①的基础.同样道理，我们不难猜测出②处的结论是x0xa2+y0yb2=1（a>b>0）.但当我们回头看Ⅱ时，我们第一个反应是利用“切点和圆心的连线垂直于切线”这个结论去证明，而同样的结论对于椭圆来说是不成立的.那么是否说明②处的结论是错误的呢？此时我们需要追本溯源，再来剖析一下结论Ⅱ的基础：在代数结构上相似.而上面尝试的是一个几何的证法，那么让我们回到代数法上来（用判别式Δ证明）呢？考虑到代数式上的相似性，以及r，a，b都是参数，不妨将命题改为：曲线mx2+ny2=1（mn≠0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为mxx0+nyy0=1（mn≠0）.（联立使用“Δ=0”证明过程略）到这里为止笔者覺得要想去判定新命题的真假，有必要再去思考下我们一开始给出的“类比推理”的大致思维过程的第一步“观察、比较”的意义.

不难猜测③处的结论：S=πab.面积这个概念显然是一个几何的概念，那么这个结论是否正确呢？有了上面的经验，我们会去找圆的面积是如何得到的.事实上圆和椭圆都是封闭的图形，它们的面积要使用微积分中的积分运算，并且椭圆的面积就是S=πab.我们也能逆运用概率的知识大致求出椭圆的面积，参见苏教版高中数学教材之必修3P101例1.

④处可能会产生结论（⊙）：过椭圆中心的弦所对的角为直角，但取其为长轴，显然不是直角.当然这也是一种类比，只是得到了一个假命题.如果我们继续追本溯源，从代数的角度去描述“直角”这个几何概念：“圆的任一直径AB，P为除AB外的任意一点，则kPA·kPB=-1=-r2r2.”那么④处的又一结论就呼之欲出了：“椭圆上任一过对称中心O的弦AB，P为除AB外的任意一点，则kPA·kPB=-b2a2.”2011年江苏高考第18题第（3）小问用这个结论解就会事半功倍.

三、类比延伸，获得“再发现”

波利亞指出：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也无从发现.”圆和椭圆除了在其标准方程类似之外，其在几何形状和定义上也相似.

圆：平面上到一个定点的距离为定值的所有点组成的图形叫圆.

椭圆：平面上到两个定点的距离之和为定值（大于两个定点的距离）的所有点组成的图形叫椭圆.

如果我们将椭圆的定义（到两个定点的距离之和）看成是圆（一个定点的距离）的延伸，那么不妨延伸类比再完整一些，看看我们会得到些什么？

（一）平面上到两个定点的距离之差为定值（小于两个定点的距离）的所有点组成的图形叫双曲线.

（二）平面上到两个定点的距离之比为定值λ（λ>0） 的所有点组成的图形呢？

答：当λ=1时，为两定点的中垂线;当λ≠1时，为圆（建系、立式、化简可得）.

（三）平面上到两个定点的距离之积为定值λ（λ>0） 的所有点组成的图形呢？虽然这不在我们高中解析几何的学习范畴，但显然有其探讨的必要性.

如果再将点改成线又会得到些什么呢？这个时候，圆锥曲线的统一定义就跃然纸上了：“平面上到一个定点的距离与到一条定直线（不过定点）的距离之比为定值的点组成的图形为圆锥曲线（具体由定值的范围确定）.”顺次我们还能产生类似的问题：

（四）平面上到一个定点的距离与到一条定直线（不过定点）的距离之和为定值的点组成的图形是什么？

（五）平面上到一个定点的距离与到一条定直线（不过定点）的距离之差为定值的点组成的图形是什么？

（六）平面上到一个定点的距离与到一条定直线（不过定点）的距离之积为定值的点组成的图形是什么？

（七）平面上到两条定直线的距离之和为定值的点组成的图形是什么？

（八）平面上到两条定直线的距离之差为定值的点组成的图形是什么？

（九）平面上到两条定直线的距离之积为定值的点组成的图形是什么？

（十）平面上到两条定直线的距离之比为定值的点组成的图形是什么？

可能上面的几个问题，我们并不能一一给出解答，但是有时候发现问题比解决问题更重要.正如爱因斯坦曾说过：“提出（发现）一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题或许只是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性问题是最好的老师……”

总之，在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力渗透和培养类比推理的能力，使他们的思维更具活力和创造力.