浅谈坐标法在求解功（功率）问题中的应用

彭砚 余清婷 周广春

【摘要】在物理上，功W=|F||s|cosθ（功率：P=|F||v|cosθ），但cosθ某些时候很难求，特别是在物体运动的过程中，θ在变动时，W（或P）计算起来很复杂.本文用坐标法，对于一些比较难用定义求功（功率）的例子进行了分析，希望起到一个抛砖引玉的效果，使大家对坐标法在物理中的应用更加清晰.

【关键词】坐标法;功;功率

我们知道，功W=F→|s→|cosθ，（功率：P=|F||v|cosθ），θ为F→，s→（F→，v→）的夹角，但由于cosθ的影响，很多情况下，W（或P）计算起来很复杂，甚至有些时候没办法算出功（功率）的大小.如果我们把功（功率）看成是力和位移（力和速度）的数量积W=F·s→（P=F·v），我们就可以用数学中有关向量的知识，特别是坐标法去解决功（功率）的相关问题.坐标法在化简解题步骤，解决某些问题（如求最大、最小值）问题上有其优越性（特别是在θ变化的情况下）.

1.对抛体物体做的功的计算

图 1例1 如图1，质量为m，离地面高度为H的物体有个水平向右初速度v，有一个恒力F→，方向与水平面成37°，而且满足mg>0.6F→，求t 时刻F→力和重力对物体做的功分别是多少？

分析 由于物体下落时方向每时都在变，力F→与位移

的夹角很难求出来的，所以要求任意时刻力F→所做的功，

用W=|F||s|cosθ是很难求出来，所以我们选择用坐标法，

非常简单.

解 F→（F→cos37°，F→sin37°）=（0.8F→，0.6F→），

水平方向，物体的加速度为a→水平=0.8F→m，

竖直方向上物体的加速度 -a→竖直=mg-0.6F→m（负号表示方向向下）

t时刻物体的位移为s→=（v0t+12a→水平t2，-12a→垂直t2）

∴t 时刻F→力对物体做的功WF→=F→·s→=0.8F→（v0t+12a→水平t2）-0.6F→（12a→垂直t2）.

∴WF→=0.8F→v0t+0.4F→mt2-0.6F→12·mg-0.6F→mt2，

重力做功

W重力=m（-g）（-h）=m（-g）·-12·mg-0.6F→mt2=12g（mg-0.6F→）t2（0≤h≤H）

2.对圆周运动的物体做的功的计算

功是能量改变的量度，所以了解功就了解了能的变化.在物体做非匀速圆周运动的过程中，如果我们能求出外力对物体所做的功的最大、最小值，对于我们了解物体能量的变化是很有帮助的.

圖 2例2 如图2，一个质量为m的物体系在一根杆上从A点逆时针圆周运动，运动的轨迹方程是x2+y2=1，物体受到恒定外力F→，方向与x轴正半轴成143°，问当物体运动到何处时合外力做的功最小？何处合外力做的功最大？最大、最小值分别是多少？

分析 在物体运动的过程中，杆的拉力不做功，

而位移的方向时时刻刻在变化，位移和外力的夹角没办法表示出来，

仿照例2的方法，我们先用坐标法写出功的表达式，

然后通过数学中求最值的方法，求出外力做功的最大、最小值.

解 F→（F→cos143°，F→sin143°）=（-0.8F→，0.6F→），重力G→（0，-mg）.

∵物体在圆 x2+y2=1上运动，

∴可设物体移动到B（cosθ，sinθ），∠BOA=θ，则物体运动的位移为AB（cosθ-1，sinθ），恒力F→做的功

F→·s→=-0.8F→（cosθ-1）+0.6F→sinθ=-0.8F→cosθ+0.6F→sinθ+0.8F→，

重力做的功G→·s→=-mgsinθ，∴外力做的总功：

W=F→·s→+G→·s→

=-0.8F→cosθ+（0.6F→-mg）sinθ+0.8F→

=-0.8F→cosθ-（mg-0.6F→）sinθ+0.8F→

=-（0.8F→）2+（mg-0.6F→）2sin（θ+φ）+0.8F→

其中tanφ=0.8F→mg-0.6F→，即φ是一个已知角.

当∠BOA=θ满足sin（θ+φ）=-1时，外力对物体做功最大，最大值为0.8F→+（0.8F→）2+（mg-0.6F→）2

当∠BOA=θ满足sin（θ+φ）=1时，外力对物体做功最小，最小值为0.8F→-（0.8F→）2+（mg-0.6F→）2.

3.对椭圆形运动轨迹的物体所做的瞬时功率的计算

关于万有引力做功问题已有一般的结论（如一般的大学物理书中都能找到），但对于物体运动到任意位置的瞬时功率没有现成的结论，而万有引力的方向与速度的方向时时刻刻都发生变化，因此想求出任意位置万有引力对物体做的瞬时功率直接用功率的定义来求非常难，如果我们选择坐标法，将会使得问题变得非常简单.

图 3例3 地球在绕着太阳做椭圆形运动，设地球质量为m，

太阳质量为M，求地球与太阳的距离是r时万有引力

的瞬时功率.

解 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），太阳在右焦点位置F1（c，0），椭圆上任一点的坐标为（acosθ，bsinθ），设A为椭圆在x轴上方地球和太阳的距离为r的那个点.

A在椭圆上，可设A（acosθ，bsinθ），r→=AF1=（c-acosθ，-bsinθ），

r2=（acosθ-c）2+b2sin2θ=a2cos2θ-2accosθ+c2+b2sin2θ

=（b2+c2）cos2θ-2accosθ+c2+b2sin2θ=c2cos2θ-2accosθ+a2，

∴c2cos2θ-2accosθ+a2-r2=0.

∴cosθ=a±rc.∵0≤cosθ≤1，∴cosθ=a-rc.

这时，太阳对地球的万有引力大小为GMmr2，G为万有引力系数，方向由地球指向太阳，这时太阳与地球的距离为r.设万有引力的坐标为（x，y），

由矢量三角形和结构三角形相似得xGMmr2=c-acosθr，yGMmr2=-bsinθr（如图4），

图 4

∴x=GMm（c-acosθ）r3，y=G-Mmbsinθr3，

萬有引力的F→GMm（c-acosθ）r3，-GMmbsinθr3.

由已知结论（文献[2]），A点的瞬时速度大小为v→=GMdr2，d为椭圆的半焦弦，v方向是过A点沿着椭圆的切线方向.∵ A在上半椭圆，上半椭圆函数表示式为y=baa2-x2，y′=12·ba·-2xa2-x2=-bxaa2-x2，

∴过A点切线的斜率为k=-abcosθa2sinθ=-bcosθasinθ.

设v→（x′，y′），

图 5则y′x′=-bcosθasinθ，

x′2+y′2=v→2=GMdr2.

∵A在上半椭圆（如图5），x′<0，sinθ>0，

cosθ=a-rc，

∴sinθ=-r2+2ar-b2c.

∴x′=-GMdr2·asinθb2cos2θ+a2sin2θ，

y′=GMdr2·bcosθb2cos2θ+a2sin2θ.

当地球在x轴上方运动时，万有引力的瞬时功率为：

P=F→·v→=xx′+yy′

=-GMm（c-acosθ）r3GMdr2asinθb2cos2θ+a2sin2θ-GMmbsinθr3GMdr2bcosθb2cos2θ+a2sin2θ.

接下来把cosθ=a-rc，sinθ=-r2+2ar-b2c代入可得最后结果.

当A点在x轴上时，即当r=a-c或r=a+c时，F→与v→垂直，功率为0.

易知，由椭圆的对称性，当A点在椭圆下方的情况和A点在椭圆上方的情况的讨论是一样的，得到的结果也是一样.

综上述，当求地球与太阳的距离为r（r≠a+c，r≠a-c）时万有引力的瞬时功率为：

P=-GMm（c-acosθ）r3GMdr2asinθb2cos2θ+a2sin2θ-GMmbsinθr3GMdr2bcosθb2cos2θ+a2sin2θ，

其中，cosθ=a-rc，sinθ=-r2+2ar-b2c.

当r=a-c或r=a+c时，万有引力功率为0.

可能很多人会认为这些结果太复杂，很难计算，但大家在以后的学习中会慢慢体会到，数学的应用很多情况下只是提供一个科学的计算方法，具体的计算还要通过把这个思想方法放到计算机上去执行.尽管如此，用数学上的坐标法解决这个问题，比用物理上的功率定义法P=|F||v|cosθ解决这个问题（速度方向与万有引力的夹角θ是时时刻刻都不同的），还是要方便很多.因此，我们研究坐标法在物理上的运用，具有重要的实际意义.