2013年浙江省高考数学（理科）试卷第9题赏析

朱华东

2013年浙江省高考數学（理科）试卷第9题（以下称题1）是：如图，F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为：A.2;B.3;C.32;D.62.

这道题给笔者的第一感觉是图形很美，将椭圆、双曲线的对称美、和谐美一览无余;第二感觉其解法也很美，无须进行繁杂乏味的计算，巧用椭圆、双曲线的定义就可获得答案，因而这无疑是充分体现数学内在美的好题.

另外，这道题还留给读者充分思考想象的思维空间.

若将题1中椭圆C1、双曲线C2都以一般形式出现，而其余条件不变，那么C1与C2的离心率之间必有某种联系，其有什么联系呢？

定理1 设F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）及双曲线C2：x2a′2-y2b′2=1（a′>0，b′>0）的公共焦点，则平行四边形AF1BF2为矩形，若C1，C2的离心率分别为e1，e2，则1e21+1e22=2.

证明 由椭圆、双曲线的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a′，∴|AF2|=a+a′，|AF1|=a-a′，

而|F1F2|=2c，|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，∴（a+a′）2+（a-a′）2=4c2.

即a2+a′2=2c2，∴ac2+a′c2=2.

∴1e21+e22=2.

定理1证完.

不难证明：

1e21+1e22=2是平行四边形 AF1BF2为矩形的充要条件，即1e21+1e22≠2时，

平行四边形AF1BF2一定不是矩形，也就是平行四边形AF1BF2中∠A一定不是直角，那∠A应是多大呢？

定理2 设F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）及双曲线C2：x2a′2-y2b′2=1（a′>0，b′>0）的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，∠A是平行四边形AF1BF2的内角，若C1，C2的离心率分别为e1，e2，则

cosA=e21+e22-2e21e22e22-e21.

证明 定理1的证明中有|AF2|=a+a′，|AF1|=a-a′，|F1F2|=2c，

∴cosA=|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2|AF1||AF2|

=（a-a′）2+（a+a′）2-4c22（a+a′）（a-a′）

=a2+a′2-2c2a2-a′2

=ac2+a′c2-2ac2-a′c2

=1e12+1e22-21e22-1e22

=e21+e22-2e21e22e22-e21.

定理2证完.

显然，定理2是定理1的一般情形.

我们思维的双翼可陆续飞向更远空间.若将定理2的F1，F2换成椭圆长轴的两个端点，或双曲线的两个顶点，∠A又是多大呢？

定理3 设F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）及双曲线C2：x2a′2-y2b′2=1（a′>0，b′>0）的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，

A1，A2是椭圆C1长轴的端点，∠A是平行四边形AA1BA2的内角，若C1的离心率为e，则cosA=-ee2+4bb′2.

证明 由题意，a2-b2=a′2+b′2=c2.

将C1，C2的方程联立，消去x，得

y2=（a2-a′2）b2b′2（c2-a′2）a2+a′2（a2-c2）=b2b′2c2，

∴y=±aa′c.

又A在第二象限，∴A-aa′c，bb′c.

∴|AA1|=-1caa′+a2+bb′c2

=1c（c-a′）2a2+b2b′2，

|AA2|=1c（c+a′）2a2+b2b′2.

∴|AA1|2+|AA2|2=2c2（c2a2+a2a′2+b2b′2）.

∴|AA1|2+|AA2|2-|A1A2|2=2c2（c2a2+a2a′2+b2b′2）-4a2=2c2（-c2a2+a2a′2+b2b′2）=2c2[a2（a′2-c2）+b2b′2]=2c2（-a2b′2+b2b′2）=2b′2c2（-a2+b2）=-2b′2.（*）

而|AA1||AA2|=1c2（c-a′）2a2+b2b′2·（c+a′）2a2+b2b′2=1c2（c2a2+a2a′2+b2b′2）2-2ca′a2·（c2a2+a2a′2+b2b′2）2+2ca′a2

=1c2（c2a2+a2a′2+b2b′2）2-4c2a′2a4

=1c2[c2a2+a2（c2-b′2）+b′2（a2-c2）]2-4c2a′2a4

=1c（2a2c-b′2c）2-4a′2a4

=1c4a4c2-4a2b′2c2+b′4c2-4a′2a4

=1c4a4 c2-4a2b′2c2+b′4c2-4（c2-b′2）a4

=1c4a4b′2-4a2b′2c2+b′4c2

=b′c4a4-4a2c2+b′2c2=b′c4a2b2+b′2c2.（**）

由（*）（**）得

cosA=|AA1|2+|AA2|2-|A1A2|22|AA1||AA2|=-2b′2c2b′4a2b2+b′2c2=-c4a2bb′2+c2=-ca4bb′2+ca2