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一“数”之变 异彩纷呈

2014-10-21冯菁菁高浩

数学学习与研究 2014年21期
关键词:求通迭代法通项

冯菁菁 高浩

以下是笔者通过对一道数列题改变一个数字进行探究,发现解法优美、内涵丰富、异彩纷呈,写下来与大家交流,希望能够给读者在递推数列解题方面带来一点启示.

一、试题呈现

题目1:已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.

(1)若bn=an2n-1,求证:bn是等差数列;

(2)数列{an}的前n项和Sn.

这是一道递推数列试题,第(1)问不难证明,第(2)问关键是求通项an.

简解 (1)an+1=2an+2nan+12n=an2n-1+1,∴bn是等差数列且公差为1,首项为1.

(2)由(1)知an2n-1=n,从而an=n2n-1,接下来用错位相减法求Sn.

解题反思 (ⅰ)本题通过构造等差数列,求通项an,体现了转化化归的数学思想.

(ⅱ)若本题题干中改变一个数字,又会怎么样呢?又该怎样求数列通项an呢?

变式:

题目2:已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,求通项an.

题目3:已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2n,求通项an.

二、解法探究

关于题目2

解法1(累加法) an+1-an=2nan=(an-an-1)+(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1

=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.

解法2(迭代法) ∵an+1=an+2n,∴an=an-1+2n-1=an-2+2n-2+2n-1

=an-3+2n-3+2n-2+2n-1=…=1+2+…+2n-3+2n-2+2n-1=2n-1.

解法3(构造常数列) 由an+1=an+2nan+1-2n+1=an-2n,所以an-2n是常数列.

∴an-2n=a1-2,故an=2n-1.

关于题目3

解法1 由an+1=3an+2nan+1+2n+1=3(an+2n),所以{an+2n}是等比数列.

故an+2n=3n,即有an=3n-2n.

解法2 由an+1=3an+2n an+12n=32·an2n-1+1.令bn=an2n-1,则有bn+1=32bn+1

bn+1+2=32(bn+2).所以bn+2是等比数列.∴bn+2=332n,即an2n-1=332n-1-2,从而an=3n-2n.

解法3 由an+1=3an+2n an+12n=32·an2n-1+1.

令bn=an2n-1,得bn+1=32bn+1,①.

n≥2时,bn=32bn-1+1,②.①-②得bn+1-bn=32(bn-bn-1),所以bn+1-bn是等比数列(首项b2-b1=32),则有bn+1-bn=(32)n.以下用累加法,可求得bn=232n-1,從而an=3n-2n.

解法4 由an+1=3an+2nan+13n=an3n-1+23n.令cn=an3n-1,得cn+1=cn+23n.c1=1转化为题目2类型(可用累加法、迭代法和构造常数列等解决).

评注 以上解法蕴含着转化化归的数学思想,这种思想方法是高考考查重点,这里的转化化归有两个方向:一是向等差(比)数列转化;二是向简单的递推关系转化,如an= an-1 + f (n)等.

解法5 (迭代法)

∵an+1=3an+2n,

∴an=3an-1+2n-1

=3(3an-2+2n-2)+2n-1

=32(3an-3+2n-3)+3·2n-2+2n-1=…

=3n-1+3n-2·2+3n-3·22+…+3·2n-2+2n-1

=3n-2n.

三、一点思考

笔者认为数列教学中培养学生向等差、等比数列转化的强烈目标意识以及进行“类似结构”的训练是解决该问题行之有效的办法.根据递推关系式求数列的通项公式,是数列的一个重点,也是一个难点.通过以上变式探究,使我们学会对问题进行反思,掌握探究拓展的方法,以达到解一题,通一类,带一串的目的.培养学生举一反三、触类旁通的能力,这不仅锻炼了学生的数学思维,同时在探究中培养了数学学习的乐趣.

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