贝努利微分方程的解法

常军

【摘要】介绍两种求贝努利微分方程的方法，并借助实例说明其应用.

【关键词】贝努利微分方程; 待定函数法;微分法

一般地将形如

dydx+P（x）y=Q（X）yn （n=0，1）（1）

的微分方程叫作贝努利（Bernoulli）微分方程.因贝努利微分方程在科学计算方面有着非常广泛的应用.因此，对求解贝努利微分方程的通解的研究有着十分重要的意义，一般教材上常用的解法是通过变量代换y1-n=z将贝努利微分方程化为一阶线性非齐次微分方程，从而求出贝努利微分方程的通解.本文以

dydx-yx=（1+lnx）y3（2）

为例介绍两种解贝努利微分方程的方法.

方法1：待定函数法

设y=u（x）v（x）是（1）的通解.

于是 u′v+v′+p（x）vu=Q（x）unvn.（3）

令v′+p（x）v=0，

则有v=e-∫p（x）dx，

u′=Q（x）une（1-n）∫p（x）dx.（4）

将（4）分离变量并积分得

u1-n=（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C

因此方程（1）的通解为

y1-n=u1-nv1-n

=[（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C]e（n-1）∫p（x）dx

即y=e-∫p（x）dx[（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C]11-n

其中C为任意常数.

对于（2）：

解 这是 n=3 的贝努利微分方程.

设y=uv.

于是u′v+（v′-1xv）u=（1+lnx）u3v3

令v′-1xv=0，

则有v=x，

u′=（1+lnx）x2u3.

将上式分离变量，并积分得

u-2=-49x3-23x3lnx+C.

因此所求（2）式的通解为

x2y2=-49x3-23x3lnx+C，

其中C为任意常数.

方法2：微分法

在方程（1）的两边同乘以积分因子e∫p（x）dx得

e∫p（x）dxy′+e∫p（x）dxp（x）y=Q（x）e∫p（x）dxyn

即ddxye∫p（x）dx=Q（x）e（1-n）∫p（x）dxye∫p（x）dxn.

從而 dye∫p（x）dx1-n=（1-n）Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx.

对上式两边积分得

ye∫p（x）dx1-n=（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C.

因此方程（1）的通解为

y=e-∫p（x）dx（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C11-n，

其中C为任意常数.

对于（2）：

解 将方程（2）的两边同乘积分因子

e-∫1xdx=1x，

并进行整理得

1xy′-1x2y=1+lnxxy3，

即dyxyx3=x2（1+lnx）dx.

两边积分可得

-12yx-2=29x3+13x3lnx-C2.

因此方程（2）的通解为

x2y2=-49x3-23x3lnx+C，

其中C为任意常数.

本文介绍了两种解贝努利微分方程的方法，学生在解具体的贝努利微分方程时，要根据题目的特点灵活选择方法求解.