“直线的两点式方程”教材研读

李亮

1.问题提出

数学人教版A版必修2第3.2.2节继“直线点斜式方程”后介绍了“直线的两点式方程”.笔者在课上介绍完直线的两点式方程及讲完例题后，在课堂训练环节，已知两点坐标要求学生用两点式求直线方程时，很多学生不太习惯直接用直线的两点式方程求解，倒是习惯用上节课讲过的直线方程的点斜式求解.问其原因，学生回答说：其一，直线的两点式方程的推导就是用点斜式推出的，初中求一次函数解析式就用形如y=kx+b待定系数法求解，形式上比较熟悉.其二，直线的两点式方程结构复杂，限制条件较多，不易记住.学生的回答让笔者一惊，觉得颇有道理.从笔者平时解题习惯来看也很少使用直线的两点式方程.在讲直线与圆及直线与圆锥曲线的位置关系时，设列方程一般只考虑斜率存在与否设点斜式方程.求解直线方程的题目在最后答案呈现时，一般是用一般式或点斜式.求点到直线的距离、线性规划问题所涉及的直線也很少用直线的两点式方程.既然如此，教材为什么要单独用一节介绍直线的两点式方程？可不可以对该部分内容淡化处理，甚至不教？新课程标准不是提倡“用教材教”，而不是死板地“教教材”吗？如果能，那么教材为什么把直线的两点式方程单独成节呢？编者的意图在哪里？直线的两点式方程在直线方程的知识体系中起到怎样的承上启下的作用？其教育功能在哪里？

2.教材研读

人教版A版数学必修2第3.2.2节.先提出思考问题：已知两点P1（x1，y1）， P2（x1，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2），如何求出两点的直线方程呢？由于有直线的点斜式方程做了知识铺垫，学生不难写出P1P2的方程：y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）（1）式.去分母化为整式，整理成（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1）（2）式.考虑到对称美，便于记忆，两边同除以y2-y1得y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（3）式.把（3）式叫作直线的两点式方程.当然（3）式是有条件x1≠x2，y1≠y2限制的.从直线的两点式方程推证过程来看，它起到了承上启下的作用，保持了知识的完整性和系统性.在思想与方法层面上对培养学生分析问题和解决问题的能力起促进作用.当直线的斜率不存在时，即不满足x1≠x2，y1≠y2这一限制条件时，直线的两点式方程可以写成（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1），向直线方程一般式过渡，也为下一节知识“直线的一般式方程”学习做好铺垫.又由于两点式方程在结构上具有一种对称美，也可以看成一个比例关系式.如果令y-y1y2-y1=x-x1x2-x1=t，那么可以得到直线的参数方程.这将为学习人教版数学4-4“直线的参数方程”埋下伏笔.这也是其他形式的直线方程无法取代的.

通过对教材的分析研读，对直线的两点式方程有新的认识.认真领会编者对教材的编写意图.教师不能只停留在解题层面上认为：直线的方程这一节知识以点斜式为起点再衍生出另外几种形式（斜截式、两点式、截距式）的浅显认知.“两点确定一条直线”是我们生活经验的最朴素的认知，初中平面几何以公理的形式呈现.到了高中从方程的角度再一次认知“两点确定一条直线”这一朴素的数学知识，扩大了学生的视野，增强知识的系统性.这也符合新课标中关于直线与方程的具体要求：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式.由此不难发现教材编者的意图所在.

3.应用举例

教材3.3.3节“点到直线的距离公式”例6：已知A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积.本题由于给了三点的坐标，可以求出AB=22，利用直线方程的两点式求AB所在的方程：y-31-3=x-13-1，即x+y-4=0.那么C（-1，0）到直线AB的距离h=522为AB边上的高，从而求出面积S=5.本例中在设AB方程时就是用了两点式.这难道是编者给我们的一种示范还是另有暗示呢？如果把上述问题一个点定在坐标原点，其余两点坐标字母化，再求三角形面积问题便可以发现把直线设成两点式方程在计算上的便捷.

例：设直线A（x1，y1）， B（x2，y2）， C（0，0），求△ABC的面积.设直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，化为一般式：（y2-y1）x-（x2-x1）y+（x2y1-x1y2）=0，那么C（0，0）到直线AB的距离d=x1y2-x2y1（x1-x2）2+（y1-y2）2.上述公式的分母即为线段AB的长度，进一步变形d（x1-x2）2+（y1-y2）2=|x1y2-x2y1|.两边同乘12，得12d（x1-x2）2+（y1-y2）2=12x1y2-x2y1.左边恰好是△ABC的面积.即S△ABC=12x1y2-x2y1，这便得到一个有一顶点在原点的三角形的面积公式.这一结论的生成巧妙地体现了“直线的两点式方程”结构对称美的应用.由几何意义自然得到了三角形的面积表达式使学生体会到直线方程的统一.在多次高考中曾出现有关面积的问题，如2005年福建数学理科第21题、2009年陕西数学理科第21题、2003年山东数学文科第22题等.上述面积公式在解决高考题中可以起到至关重要的作用.当然上述面积公式在教材没有出现，需要证明才能使用，而证明过程中巧设“直线的两点式方程”并巧妙地应用式子的结构特征给解题带来希望.通过对高考试题的分析，就不难理解教材3.3.3节“点到直线的距离公式”例6在设直线方程时设成“两点式”而不是“点斜式”，目的就是凸显“直线的两点式方程”在解题中的应用.