为什么发射速度越大线速度越小

朱具德 徐虎勤

（江苏省新沂市第一中学，江苏 新沂 221400）

1 问题的提出

对于卫星（本文指的均是圆轨道卫星）其发射速度越大，稳定时其轨道离地面就越高，轨道半径就越大，根据

即线速度就越小.但为什么发射速度越大，轨道越高，线速度越小？这可从两个方面分析.

2 问题的分析

（1）利用引力势能公式.

设地球质量为M，半径为R，卫星质量为m，距地面高度为h，G为引力常量.取距地球球心无穷远处引力势能为0，则卫星在轨道上的势能为

不计空气阻力，根据机械能守恒定律有

卫星做匀速圆周运动时有

由（1）、（2）式可得

由（3）、（4）式可见，卫星发射速度越大，轨道越高，线速度越小.

由此也可看出发射高轨道卫星比发射低轨道卫星更为困难，从能量的角度来讲：一方面考虑空气阻力时，高度越大，火箭需要克服阻力做功越多；另一方面高度越大，火箭需要克服地球引力做的功也越多.

上述方法尽管严密，但是由于中学阶段并未学习引力势能公式，所以笔者再尝试运用离心现象理论进行分析.

（2）利用离心现象理论.

假设卫星贴着地面上的A点沿切线被发射出去（如图1），发射速度为第一宇宙速度v1＝7.9km／s，则万有引力刚好提供卫星所需向心力，即

图1

此时卫星正好做匀速圆周运动，且v发＝v线＝v1.

如果卫星以较大的发射速度v2（比如v2＝9km／s）发射，由于地球对卫星提供的引力小于卫星所需的向心力，即它将做离心运动，绕地球运行的轨迹就不是圆，而是椭圆.要想使它的轨迹是圆，怎么办？

显然不能任其自由飞行，而应在卫星飞行到距地面某一适当高度位置（设为B点，高度为hB）改变飞行方向.因为卫星在初始离心飞行阶段有

随着卫星飞离地面越远越高（h增大），其速度v2′逐渐减小，此时地球提供的引力和卫星所需的向心力虽然都在减小，但是卫星所需的向心力减小更快.根据

这时，改变卫星飞行方向如图2，其飞行的轨迹就是圆了.

图2

图3

如果卫星的发射速度更大为v3（如v3＝10km／s），它飞行到刚才B位置所在的高度（设速度为v3′）改变飞行方向就不行了.因为v3＞v2，所以v3′＞v2′.卫星仍离心.

仿上，卫星应在离比B更高的某一恰当位置（设为C）改变飞行方向才能使其轨迹变为圆，如图3所示，其线速度更小.综上，卫星发射速度越大，轨道越高，线速度越小.

3 结束语

以上只是为了分析问题方便而给出的卫星发射简化模型.事实上卫星的发射并不像炮弹发射那样一蹴而就，其发射速度是逐渐增大的，其飞行轨迹由椭圆变为圆也是极为复杂地加以控制的.