信息技术下空间解析几何“FUMA”教学初探

方玲　李玻 田艳芳 陈星

摘 要：信息技术的空间发展冲击着空间解析几何教学，改革势在必行。笔者提出依托信息技术在空间解析几何教学中开展“FUMA”教学，并以实际教学案例说明了该模式下教学内容更生动形象，更有助于高教学水平和学生学习的积极性。

关键词：“FUMA”教学模式；空间解析几何；数学实验；MATLAB

基金项目：重庆市高等教育教学改革研究项目 编号：1203097

0 引言

空间解析几何是高等数学教学的重要组成部分，旨在帮助学生认识几何空间，形成空间观念，是学生学会几何思维，培养空间想象能力的重要途径。当前空间解析几何教学多数停留在传统的讲授与静态图示上，缺乏生动性、直观性，难以调动学生的学习兴趣，不利于知识的掌握及理解。事实上，信息技术的空前发展赋予了空间解析几何教学新的生命力，如准确作图、复杂几何图形展示、动点运动轨迹动画、曲线曲面形成动画等等，这些能够让学生更直观地感受几何，激发他们的学习兴趣。因而，在信息技术的冲击下，改革空间解析几何教学模式势在必行。

1 “FUMA”教学模式

“FUMA”教学模式[1]是以“感受一理解一掌握一应用”为主线进行教学的一种教学模式。其中，F是英文单词Felling，即让学生在实际问题中感受知识；U是Understanding的首字母，即让学生在概念分析与归纳中理解知识；M是Mastery的首字母，即让学生在实际问题解决中掌握知识；A是Application的首字母，即让学生在问题拓展中应用知识。

2 “FUMA”教学模式在空间解析几何教学中的应用

下面以文[2]“8.3曲面及其方程—旋转曲面”为例，探讨如何开展“FUMA”教学实践。

（1）“感受”——创设与实际相关的感受情境，激发学生学习兴趣

兴趣是最好的老师。首先创设情境，展示生活中常见的旋转曲面——花瓶、游泳圈、地球仪等，播放陶艺视频，还可通过数学实验演示绘制旋转曲面过程，让学生感受几何之美。同时请大家讨论：旋转曲面是如何形成或得到的？由此引入旋转曲面的概念及相关定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

（2）“理解”——借助MATLAB动画演示，开展启发式、归纳式、讨论式教学

对旋转曲面有感性认识后，进一步提问：怎样用方程表示旋转曲面？鼓励学生用数学语言描述此问题：某坐标面，不妨设yOz面上有一条曲线，其方程为f （y， z）=0，将其绕z轴旋转一周，得到以z轴为轴的旋转曲面。求该旋转曲面的方程。

依托数学实验展开讨论。首先，展示利用MATLAB制作的旋转曲面形成动画，并请大家观察动画中红点的位置变化，如图1所示。通过细心观察，学生不难得到结论：红点的高度始终没发生变化，旋转一周后回到原位，同时它走过的轨迹是一个圆。

图1 旋转曲面 图2

将旋转曲面放到坐标系中讨论，如图2所示，设M1（0， y1， z1）为曲线C：f （y， z）=0上的一点，则有f （y1， z1）=0。当绕z轴旋转时，该点转到M （x， y， z）的位置。此时启发学生思考，根据前面观察得到的结论，这里存在哪些等量关系？

教师引导学生归纳出等量关系有z=z1，，结合f （y1， z1）=0得到关于变量x， y， z的关系式，该式子指明了旋转曲面上任意点的特点，这就是旋转曲面的方程。由此从感性认识上升到理性认识，达到对旋转曲面的进一步理解。

（3）“掌握”——通过问题的解决，掌握所学知识

设计恰当的问题链，举一反三，通过问题链的解决，总结得到旋转曲面方程的方法，更好地掌握知识。

第1问：若曲线C：f （y， z）=0绕y轴旋转，方程如何表示？引导学生依葫芦画瓢，可得到旋转曲面方程为。

第2问：当曲线C：f （x， z）=0绕x轴旋转时，方程又如何？提示此时给出的曲线与上一问不同，启发大家回到解决问题的方法——找等量关系上，最终得到旋转曲面方程为。

第3问：请总结，如何根据曲线C的方程及旋转轴，写出相应的旋转曲面方程？引导学生发现规律：平面曲线是2元方程，绕其中一元对应的轴旋转时，将另一变量换成两变量正负平方和开方即可。

（4）“应用”——拓展问题，应用知识，拓宽思维

联系生活中与旋转曲面密切相关的案例，联系已有知识与旋转曲面相关的知识来拓展问题，应用所学知识进一步展开讨论，拓宽学生思维。

例如，沿用齐次方程学习中讨论过的案例：探照灯的聚光镜面如何形成的？我们知道探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面，可将其看成xOy面上一条曲线L绕x轴旋转而成。前面利用齐次方程解法得到了曲线L的方程为，其中C为常数。那么，聚光镜面方程如何表

示？此问题的讨论会让学生有“学以致用”的感觉，学习的积极性必定得到提高。

3 结束语

教学过程是学生学习知识的过程，也是教师探索教学方法、手段的过程。教学实践证明，依托信息技术开展空间解析几何“FUMA”教学，既丰富了教师的教学手段与方法，又能提高学生对知识的接受程度，取得良好的教学效果，不失为一种积极有效的教学模式。然而，信息技术的使用是对教师自身素质的挑战，需要教师加强学习，并熟练掌握相关信息化技能，这是一个持续学习的过程，不可一蹴而就。

参考文献

[1] 李玻、蒋艳、但琦.实施“FUMA”教学，提高大学数学课程教学质量[J].学园，2013年第10期

[2] 同济大学数学系.高等数学（第六版）下册[M].北京：高等教育学出版社， 2007

作者简介

方玲，31，女，湖南，后勤工程学院，教员，助教，研究方向：数学教育。