从一道课本题的拓展延伸看中考复习

甘晓云

中考数学对于很多同学来说，颇为头疼.其实，观察近几年的中考题就会发现，中考数学题的起点低，注重基础，但是知识覆盖面广，常常一道题考察多个知识点，而且多从课本中取材，通过变式、拓展，成为新的题目.从这个趋势来看，同学们在复习时不应抛弃课本苦钻题海，应优先利用课本的例题、习题，进行适当拓展、演变、延伸与归类整理，使其源于课本，又高于课本.

下面以一道具体的课本习题为例，谈一谈如何从一道课本的题目来复习中考知识点.

例题 如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？（人教版八年级下册第68页第8题）

解：这两条路等长，且垂直相交。

证明：∵ABCD是正方形，AD=DC=BC=AB，∠D=∠BAD，

又∵在△ADF与△BAE中，AD=AB，∠D=∠BAD，

DF=DC-CF=AD-DE=AE，

∴△ADF≌△BAE（SAS）.

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°.

∴BE⊥AF.

故BE=AF，BE⊥AF.

【思考】其实这道题的解题过程是利用正方形的性质证明一对全等的直角三角形.那么由这道题经过变形，还能考察什么知识点，得出哪些有用的结论呢？我们接着往下看.

探究一 探究例题，用变式开拓思维

拓展1 如图1所示，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，现在要从门E，F引两条不同的路，从E门引出的路为EH，从F门引出的路FG需垂直于EH，垂足为O，请画出FG，并猜想路EH与FG的长度关系，说明理由.

【分析】画FG垂直于EH很容易，但要如何证明这两条线段的关系呢？可以作两种辅助线.一是过E，F分别作AD，DC的垂线，这种作法，其实可以看成是把正方形的边往内部平移来构造全等的直角三角形（如图2）；二是过A，B分别作GF，EH的平行线，构造出与例1一样的图形（如图3）.然后再利用原来的证明方法证明.

变式 如图4所示，点E，G分别是正方形ABCD的边AD与AB上的定点，在另两条边BC，DC所在的直线上有两个动点，分别是H，F.不管H，F如何移动，若保持GF与EH垂直，GF与EH相等吗？

请同学们试试证明.

【小结】以上两道题，从简单到复杂，但其实都是利用了“正方形的性质和垂直的条件可以证明一对全等的直角三角形”这个知识点.我们能够推出这样一个结论：在正方形中，两组对边所在直线所截得的互相垂直的线段相等.

探究二 探究延伸图形的变题

【思考】若我们把两个全等的正方形连接成一个矩形，在矩形中同样有两条互相垂直的线段，那它们之间又会有什么关系呢？

拓展2 已知矩形ABCD，点E，F，H，G分别在矩形ABCD的边AD，DC，BC，AB上，EH⊥GF，垂足为O，EH=4.

（1）如图5，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，求GF的长.

（2）如图6，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GF的长（用n的代数式表示）.

对于第（1）题，由上面得出的结论，和三角形中位线定理，不难看出GF=2EH=8.

对于第（2）题，同理可得出GF的长度为EH的n倍，即GF=4n.

探究三 改变例题条件，拓展图形的变题

拓展3 如图7，在正方形ABCD中，点F在边CD上，FO⊥HO，若垂足O恰好落在对角线AC上时，请猜想OH和OF的长度关系.

这道题同样通过构造一对全等的直角三角形来解决问题.同学们可以试着自己做做看.

变式1 垂足在对角线上移动时，若垂足O刚好是正方形的中心（如图8），又会引发出哪些结论呢？

这里通过探究增加条件的变题，获取更多有用的结论.

如垂足落在正方形的边上，又会引出哪些结论呢？

变式2 如图9所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.这时，EG=CF吗？（人教版八年级下册第69页第14题变式）

证明：∵G，E分别为AB，BC的中点，

∴ AG=EC.

又∵∠B=90°，BG=BE，

∴∠AGE=135°.

∵CF为∠BCD外角的角平分线，

∴∠ECF=135°.

∵∠AEF=90°，

∴∠BEA+∠CEF=90°.

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF.

∴△AGE≌△CEF（AAS）.

∴GE=CF.

探究四 探究拓展图形延伸的变题

拓展4 已知点F在矩形ABCD的边CD上，BO⊥FO，垂足O恰好落在对角线AC上.

（1）如图10，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，求[FOBO]的值.（提示：本题可通过构造一对相似三角形来解决问题，与拓展2的解题思路相似.）

解：如图11，过点O分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M，N.

则∠MON=90°，OM∥AB，ON∥AD，

∴[OMAB]=[COCA]=[ONAD].

∴[OMON]=[ABAD]=[12].

∵∠BOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°，

∴∠FON=∠BOM.

∴Rt△FON∽Rt△BOM.

∴[OFOB]=[ONOM]=2.

（2）如图12，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求[FOBO]的值.

这道题求解类似于第（1）题，答案是n.解答过程略.

若将拓展1中的条件“正方形”改为“正三角形”，将两条对边所截得的线段互相垂直，改成两个顶点向对边上任一点引出的线段相交角度为60°，其他条件不变，则拓展1的结论还成立吗？

拓展5 如图13，△ABC是正三角形，点E，F为边AB，BC边上的动点，AF与CE相交于点O，若∠COF=60°，则AF与CE的长度关系如何？

【思考】如果再将题中的条件“正三角形”改为“正五边形”（如图14所示），在AB上取一点G，连结EG，过点A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此时EG与AF相等吗？是否还有其他的延伸呢？

不难看出，任何一个正n边形，设点G在AB上，点H在BC上，AH与FG相交于点O，那么当∠FOH等于该正n边形的一个内角时，AH=FG（如图15所示）.

通过一道课本的例题，我们不仅回顾复习了正方形的性质以及全等和相似的证明，且由于正方形是特殊的正多边形，从正方形具有的一般性结论自然地类比到了其他的正多边形，再进行类似的探索、思考，得出相应的结论.可见，图形虽在变，但万变不离其宗，解题的方法也基本不变.

中考数学对于很多同学来说，颇为头疼.其实，观察近几年的中考题就会发现，中考数学题的起点低，注重基础，但是知识覆盖面广，常常一道题考察多个知识点，而且多从课本中取材，通过变式、拓展，成为新的题目.从这个趋势来看，同学们在复习时不应抛弃课本苦钻题海，应优先利用课本的例题、习题，进行适当拓展、演变、延伸与归类整理，使其源于课本，又高于课本.

下面以一道具体的课本习题为例，谈一谈如何从一道课本的题目来复习中考知识点.

例题 如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？（人教版八年级下册第68页第8题）

解：这两条路等长，且垂直相交。

证明：∵ABCD是正方形，AD=DC=BC=AB，∠D=∠BAD，

又∵在△ADF与△BAE中，AD=AB，∠D=∠BAD，

DF=DC-CF=AD-DE=AE，

∴△ADF≌△BAE（SAS）.

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°.

∴BE⊥AF.

故BE=AF，BE⊥AF.

【思考】其实这道题的解题过程是利用正方形的性质证明一对全等的直角三角形.那么由这道题经过变形，还能考察什么知识点，得出哪些有用的结论呢？我们接着往下看.

探究一 探究例题，用变式开拓思维

拓展1 如图1所示，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，现在要从门E，F引两条不同的路，从E门引出的路为EH，从F门引出的路FG需垂直于EH，垂足为O，请画出FG，并猜想路EH与FG的长度关系，说明理由.

【分析】画FG垂直于EH很容易，但要如何证明这两条线段的关系呢？可以作两种辅助线.一是过E，F分别作AD，DC的垂线，这种作法，其实可以看成是把正方形的边往内部平移来构造全等的直角三角形（如图2）；二是过A，B分别作GF，EH的平行线，构造出与例1一样的图形（如图3）.然后再利用原来的证明方法证明.

变式 如图4所示，点E，G分别是正方形ABCD的边AD与AB上的定点，在另两条边BC，DC所在的直线上有两个动点，分别是H，F.不管H，F如何移动，若保持GF与EH垂直，GF与EH相等吗？

请同学们试试证明.

【小结】以上两道题，从简单到复杂，但其实都是利用了“正方形的性质和垂直的条件可以证明一对全等的直角三角形”这个知识点.我们能够推出这样一个结论：在正方形中，两组对边所在直线所截得的互相垂直的线段相等.

探究二 探究延伸图形的变题

【思考】若我们把两个全等的正方形连接成一个矩形，在矩形中同样有两条互相垂直的线段，那它们之间又会有什么关系呢？

拓展2 已知矩形ABCD，点E，F，H，G分别在矩形ABCD的边AD，DC，BC，AB上，EH⊥GF，垂足为O，EH=4.

（1）如图5，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，求GF的长.

（2）如图6，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GF的长（用n的代数式表示）.

对于第（1）题，由上面得出的结论，和三角形中位线定理，不难看出GF=2EH=8.

对于第（2）题，同理可得出GF的长度为EH的n倍，即GF=4n.

探究三 改变例题条件，拓展图形的变题

拓展3 如图7，在正方形ABCD中，点F在边CD上，FO⊥HO，若垂足O恰好落在对角线AC上时，请猜想OH和OF的长度关系.

这道题同样通过构造一对全等的直角三角形来解决问题.同学们可以试着自己做做看.

变式1 垂足在对角线上移动时，若垂足O刚好是正方形的中心（如图8），又会引发出哪些结论呢？

这里通过探究增加条件的变题，获取更多有用的结论.

如垂足落在正方形的边上，又会引出哪些结论呢？

变式2 如图9所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.这时，EG=CF吗？（人教版八年级下册第69页第14题变式）

证明：∵G，E分别为AB，BC的中点，

∴ AG=EC.

又∵∠B=90°，BG=BE，

∴∠AGE=135°.

∵CF为∠BCD外角的角平分线，

∴∠ECF=135°.

∵∠AEF=90°，

∴∠BEA+∠CEF=90°.

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF.

∴△AGE≌△CEF（AAS）.

∴GE=CF.

探究四 探究拓展图形延伸的变题

拓展4 已知点F在矩形ABCD的边CD上，BO⊥FO，垂足O恰好落在对角线AC上.

（1）如图10，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，求[FOBO]的值.（提示：本题可通过构造一对相似三角形来解决问题，与拓展2的解题思路相似.）

解：如图11，过点O分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M，N.

则∠MON=90°，OM∥AB，ON∥AD，

∴[OMAB]=[COCA]=[ONAD].

∴[OMON]=[ABAD]=[12].

∵∠BOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°，

∴∠FON=∠BOM.

∴Rt△FON∽Rt△BOM.

∴[OFOB]=[ONOM]=2.

（2）如图12，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求[FOBO]的值.

这道题求解类似于第（1）题，答案是n.解答过程略.

若将拓展1中的条件“正方形”改为“正三角形”，将两条对边所截得的线段互相垂直，改成两个顶点向对边上任一点引出的线段相交角度为60°，其他条件不变，则拓展1的结论还成立吗？

拓展5 如图13，△ABC是正三角形，点E，F为边AB，BC边上的动点，AF与CE相交于点O，若∠COF=60°，则AF与CE的长度关系如何？

【思考】如果再将题中的条件“正三角形”改为“正五边形”（如图14所示），在AB上取一点G，连结EG，过点A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此时EG与AF相等吗？是否还有其他的延伸呢？

不难看出，任何一个正n边形，设点G在AB上，点H在BC上，AH与FG相交于点O，那么当∠FOH等于该正n边形的一个内角时，AH=FG（如图15所示）.

通过一道课本的例题，我们不仅回顾复习了正方形的性质以及全等和相似的证明，且由于正方形是特殊的正多边形，从正方形具有的一般性结论自然地类比到了其他的正多边形，再进行类似的探索、思考，得出相应的结论.可见，图形虽在变，但万变不离其宗，解题的方法也基本不变.

中考数学对于很多同学来说，颇为头疼.其实，观察近几年的中考题就会发现，中考数学题的起点低，注重基础，但是知识覆盖面广，常常一道题考察多个知识点，而且多从课本中取材，通过变式、拓展，成为新的题目.从这个趋势来看，同学们在复习时不应抛弃课本苦钻题海，应优先利用课本的例题、习题，进行适当拓展、演变、延伸与归类整理，使其源于课本，又高于课本.

下面以一道具体的课本习题为例，谈一谈如何从一道课本的题目来复习中考知识点.

例题 如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？（人教版八年级下册第68页第8题）

解：这两条路等长，且垂直相交。

证明：∵ABCD是正方形，AD=DC=BC=AB，∠D=∠BAD，

又∵在△ADF与△BAE中，AD=AB，∠D=∠BAD，

DF=DC-CF=AD-DE=AE，

∴△ADF≌△BAE（SAS）.

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°.

∴BE⊥AF.

故BE=AF，BE⊥AF.

【思考】其实这道题的解题过程是利用正方形的性质证明一对全等的直角三角形.那么由这道题经过变形，还能考察什么知识点，得出哪些有用的结论呢？我们接着往下看.

探究一 探究例题，用变式开拓思维

拓展1 如图1所示，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，现在要从门E，F引两条不同的路，从E门引出的路为EH，从F门引出的路FG需垂直于EH，垂足为O，请画出FG，并猜想路EH与FG的长度关系，说明理由.

【分析】画FG垂直于EH很容易，但要如何证明这两条线段的关系呢？可以作两种辅助线.一是过E，F分别作AD，DC的垂线，这种作法，其实可以看成是把正方形的边往内部平移来构造全等的直角三角形（如图2）；二是过A，B分别作GF，EH的平行线，构造出与例1一样的图形（如图3）.然后再利用原来的证明方法证明.

变式 如图4所示，点E，G分别是正方形ABCD的边AD与AB上的定点，在另两条边BC，DC所在的直线上有两个动点，分别是H，F.不管H，F如何移动，若保持GF与EH垂直，GF与EH相等吗？

请同学们试试证明.

【小结】以上两道题，从简单到复杂，但其实都是利用了“正方形的性质和垂直的条件可以证明一对全等的直角三角形”这个知识点.我们能够推出这样一个结论：在正方形中，两组对边所在直线所截得的互相垂直的线段相等.

探究二 探究延伸图形的变题

【思考】若我们把两个全等的正方形连接成一个矩形，在矩形中同样有两条互相垂直的线段，那它们之间又会有什么关系呢？

拓展2 已知矩形ABCD，点E，F，H，G分别在矩形ABCD的边AD，DC，BC，AB上，EH⊥GF，垂足为O，EH=4.

（1）如图5，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，求GF的长.

（2）如图6，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GF的长（用n的代数式表示）.

对于第（1）题，由上面得出的结论，和三角形中位线定理，不难看出GF=2EH=8.

对于第（2）题，同理可得出GF的长度为EH的n倍，即GF=4n.

探究三 改变例题条件，拓展图形的变题

拓展3 如图7，在正方形ABCD中，点F在边CD上，FO⊥HO，若垂足O恰好落在对角线AC上时，请猜想OH和OF的长度关系.

这道题同样通过构造一对全等的直角三角形来解决问题.同学们可以试着自己做做看.

变式1 垂足在对角线上移动时，若垂足O刚好是正方形的中心（如图8），又会引发出哪些结论呢？

这里通过探究增加条件的变题，获取更多有用的结论.

如垂足落在正方形的边上，又会引出哪些结论呢？

变式2 如图9所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.这时，EG=CF吗？（人教版八年级下册第69页第14题变式）

证明：∵G，E分别为AB，BC的中点，

∴ AG=EC.

又∵∠B=90°，BG=BE，

∴∠AGE=135°.

∵CF为∠BCD外角的角平分线，

∴∠ECF=135°.

∵∠AEF=90°，

∴∠BEA+∠CEF=90°.

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF.

∴△AGE≌△CEF（AAS）.

∴GE=CF.

探究四 探究拓展图形延伸的变题

拓展4 已知点F在矩形ABCD的边CD上，BO⊥FO，垂足O恰好落在对角线AC上.

（1）如图10，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，求[FOBO]的值.（提示：本题可通过构造一对相似三角形来解决问题，与拓展2的解题思路相似.）

解：如图11，过点O分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M，N.

则∠MON=90°，OM∥AB，ON∥AD，

∴[OMAB]=[COCA]=[ONAD].

∴[OMON]=[ABAD]=[12].

∵∠BOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°，

∴∠FON=∠BOM.

∴Rt△FON∽Rt△BOM.

∴[OFOB]=[ONOM]=2.

（2）如图12，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求[FOBO]的值.

这道题求解类似于第（1）题，答案是n.解答过程略.

若将拓展1中的条件“正方形”改为“正三角形”，将两条对边所截得的线段互相垂直，改成两个顶点向对边上任一点引出的线段相交角度为60°，其他条件不变，则拓展1的结论还成立吗？

拓展5 如图13，△ABC是正三角形，点E，F为边AB，BC边上的动点，AF与CE相交于点O，若∠COF=60°，则AF与CE的长度关系如何？

【思考】如果再将题中的条件“正三角形”改为“正五边形”（如图14所示），在AB上取一点G，连结EG，过点A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此时EG与AF相等吗？是否还有其他的延伸呢？

不难看出，任何一个正n边形，设点G在AB上，点H在BC上，AH与FG相交于点O，那么当∠FOH等于该正n边形的一个内角时，AH=FG（如图15所示）.

通过一道课本的例题，我们不仅回顾复习了正方形的性质以及全等和相似的证明，且由于正方形是特殊的正多边形，从正方形具有的一般性结论自然地类比到了其他的正多边形，再进行类似的探索、思考，得出相应的结论.可见，图形虽在变，但万变不离其宗，解题的方法也基本不变.