构造法在离散数学及数值分析解题中的应用

王雪明 宋娜

摘 要：所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。构造法体现了类比的思想，为了找出解题途径，要进行联想，通过联想联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供参照对象。构造合适的方程图形，函数等解决数学问题时，不仅可以拓展解题思路，而且有利于培养学生的创新能力。此外一些特殊构造对于解决实际问题有着相当的分量。

关键词：构造法；交叉学科；应用

构造法是数学中一种十分重要和基础的方法，它是指利用已知条件和已掌握的知识，通过观察、联想构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化，从而使问题得到有效的解决.

构造法有着意想不到的功效，不同的构造，有着不同的效果。我们可以构造方程，图形，函数甚至是其他，这样就会使学生要熟悉的几何，代数，三角的基本技能，并多方面综合利用，这对学生的多元思维，培养学习兴趣，以及钻研独创精神的发挥十分有利，因此，在解题时若能从多方面，多渠道进行思考，有时能得到很多巧妙，新颖独体的解题方法还能加强我们对知识的理解。培养思维的灵活，提高分析问题的能力。

近代科学技术飞速发展，世界已进入信息时代，交叉学科不断产生数学工具与数学思想，日益向自然科学和社会科学渗透。控制论、信息论、系统论的诞生正是这一发展的结果，反过来，又加速了这一发展趋势。这些新学科的产生，有的是运用已有学科的知识、方法去解决研究中的新问题。在数学里将一个分支里的知识移植到另一个分支里以解决新问题是屡见不鲜的。移植的成败，常在于能否构造恰当的几何模型或数学模型（函数、方程等等），能否建立模型的关键是对数学语言的理解与运用能力，下面就对这些交叉学科中构造法的运用来做一下简单的介绍。

一、构造法在数值分析中的运用

数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。例如对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型.将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。

以非负整数k表示时间，记为xk变量x在时刻k的取值，则称△xk=xk+1-xk为xk的一阶差分，称△2xk=△（△xk）=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似的求出xk的n阶差分△nxk。由k，xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为w（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下，体重变化的情况为w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）=0，1，2，…，增加运动时只需将β改为β1+β，β1由运动的形式和时间决定.

二、构造法在离散数学中的运用

构造法是一种富有创造件的解题方法.在《离散数学》课程的整个学习过程中，经常强调具有构造性特点的一系列问题解决方法，因此它非常重视“能行性”的研究：即要解决一个问题，不光要证明该问题解的存在性（连续数学只要做到这一步就基本上算解决问题了），还要给出解决该问题的解的步骤来.在《离散数学》的证明题中，如果采用构造法证明，则证明的过程往往就是对解题算法的描述.

问题 任一有限半群一定是等幂元.

问题解析 这是代数结构中的存在性命题，也可采用构造性证明方法.由于半群的性质有限，只有结合律可用.因此证明时要充分利用元素个数的有限性和半群的运算满足结合律，具体构造出一个等幂元.

证明 设（S，×）是一个有限半群。任取α∈S，由于×满足结合律，我们有{α，α2，α3，…，αn，…}■S。

因为S是有限集合，故α，α2，α3，…，αn，…不可能两两不同.从而一定存在正整数k，m，1≤k

令p=n-k，则由于×满足结合律，αk=αm=αp×αk.对任意正整数q>k，有

αq= αk×qα-k=（αp×αk）×αq-k=αp×αq （*）

若p=q，则元素αp就是一个等幂元。否则因为p≥1，故存在正整数n满足np≥0。故利用（*）可得

αnp=αp×αnp=αp×（αp×αnp）=α2p×αnp=α2p×（αp×αnp）

=α3p×αnp=…=αnp×αnp

故αnp就是S的一个等幂元。

运用构造法解题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益.构造法解题重在“构造”，在解题时，我们只要有足够的知识经验，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，就能使解题另辟蹊径、水到渠成.但是在本文中，虽然通过一些例题来阐述了不同构造法在数學和交叉学科中所含的数学思想中的作用。

参考文献：

[1] 候繁义.数学思维与数学方法[M].东北师范大学出版社，1991，5（4）：76-91.