两大计数原理的教学设计

林漫萍

摘 要： 作者创设策划旅行的情境，让学生思考生活中的计数问题，从大量例子中总结归纳出两个简单而重要的计数原理——分类加法计数原理与分步乘法计数原理。与学生共同探索计数问题的解决步骤，让学生综合应用解决实际问题。

关键词： 高中数学 分类加法 分步乘法 教学设计

一、教材分析

本节内容选自人教版高中选修2-3第一章第一节。分类加法和分步乘法这两个原理是本章内容的基础，是处理计数问题最简单也是最重要的工具，是后面排列组合公式推导及二项式公式推导的理论依据。这是两个人们长期经验总结得到的原理，教材从大量的例子出发，让学生经历原理的形成过程。

二、学情分析

本节内容的教学对象是高二学生。虽然本节内容对学生来说是比较陌生的一个新内容，但这是2-3第一章的第一节，学生刚开始这本书的学习，对于新领域会有更高的学习热情。而且他们有从实际生活中抽象概括出数学原理的基本活动经验，所以本节内容的学习任务只要教师适当引导就可以顺利完成。

三、教学目标

1.知识与技能：了解计数与生活的联系；（掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的内容；综合应用两个计数原理解决实际问题。

2.过程与方法：经历从大量具体例子中总结归纳发现两个计数原理的过程；参与小组讨论，交流合作总结两个计数原理的联系与区别；学习计数问题的解决方法。

3.情感态度与价值观：体会不必通过“一个个数”的方法解决计数问题，感受数学解决问题的方便快捷，提高对数学学习的兴趣；树立积极合作的意识，并在活动中数学地表达与交流。

四、教学重点、难点、关键

1.重点：两个计数原理的归纳和应用。

2.难点：“完成一件事情”的理解、加法原理与乘法原理的区分。

3.关键点：两个原理区别与联系的总结、解决计数问题的步骤。

五、教学方法与手段

引导探究式、计算机辅助教学。

六、教学设计

思想分类：加法计数原理和分步乘法计数原理是人们经过长期的经验总结出来的公理，所以本节课采用例子-原理的教授方法，提供丰富的例子，引导学生探究，让学生经历原理的发现和概括过程，并且类比学习两个计数原理，从而全面理解两个原理，为本章后面内容的学习做好铺垫。

七、教学过程

1.创设情境，激发兴趣：问题一：同学们，老师最近准备去云南旅游，想把两张不同的明信片送给3位同学中任意两位，有多少种不同的送法呢？引导学生用枚举法得出答案，提出问题：若将四张不同的明信片送给我们班40位同学中任意四位有多少种情况？不需要枚举法就可以得到结果呢？进入新课学习——高级的数数方法。问题二：如果老师想乘飞机或火车去云南。一天中直达飞机有5班，直达火车有8班。那么乘坐这些交通工具从广州到云南共有多少种不同的走法？问题三：现在有6条连衣长裙，8条连衣短裙，请问老师想挑一条连衣裙话有多少种不同的选择？

2.观察归纳，形成概念：活动一：同学们观察上述两个问题有什么共同的特征？活动二：归纳得出分类加法计数原理的数学表达。

3深化理解，推广应用：活动一：思考以下例题：A旅行社推荐：北京、上海、内蒙古、青海、凤凰这5个地方。B旅行社推荐：北京杭州、厦门、云南这4个地方。如果从中选择一个景点，总共有多少种选法？这道例题主要是为了引起学生的注意，使用加法原理的时候，不同方案里的方法要符合不重不漏，继而也推广到多类方案的情况。活动二：思考类似问题。如果C旅行社又给老师推荐了5个与AB都不同的景点，这个时候老师再去选择一个，又会有多少种方法呢？推广：分类加法原理不仅适用于2类方案的情况，可以多类。如果完成一件事情有n类不同方案，完成事情的总的方法数就是每类方案的方法相加。活动三：学生举例运用分类加法计数原理。

4.类比归纳，自主探究：活动一：解决策划旅行过程中的两个实际问题。问题一：老师想先乘坐飞机到昆明，然后再从昆明乘坐火车到大理，一天中从广州到昆明的飞机有2班，从昆明到大理的火车有3班，在两天中，请问从广州到昆明再到大理共有多少种不同的走法？问题二：老师带了2件上衣，3条裤子，请问有多少种不同的穿戴方法？

在解决这两个问题的过程中，教师引导学生回忆“树形图”并用以解决问题。观察类比加法计数原理归纳出此类问题要分步处理并用乘法解决，最终得出分步乘法计数原理的数学表达及推广方式。

5.条分缕析，研发技术：活动一：分组讨论，思考两个计数原理的联系与区别。

请同学们根据之前的例子思考两个计数原理的联系与区别，最后教师给出总结表格。

活动二：总结解决计数问题的一般步骤首先，我们要确定要完成的一件事是什么？第二步，怎么完成？我们知道可以用分类加法或者分步乘法对吧？怎么判断呢？引导学生发现之前的例子完成事件分别用的步骤数，与加法和乘法的运用产生联系。总结出“一步完成用加法，多步完成用乘法”的规律。

活动三：解决综合性问题。问题一：把四张不同的明信片送给我们班40位同学中的任意四位，有多少种不同的送法呢？问题二：想把这四张明信片送给班上同一性别的四名同学，又有多少种送法呢？这两个问题让学生体验在细小差别中选择不同的方式解决问题，进而深化对两个计数原理的理解和掌握。