二重积分的重要函数法模拟

2014-10-11王洪涛李满枝沈有建

海南开放大学学报 2014年3期

王洪涛，李满枝，沈有建

(海南师范大学数学与统计学院，海南海口571158)

引言

蒙特卡罗方法是计算多重积分常用的一种算法，是以随机模拟和统计试验为手段，从随机变量概率分布中，通过选择随机数方法产生一种符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解的方法。[1]蒙特卡罗方法一般都是将抽样点均匀分布在积分区域中，假如我们可以将抽样点分布集中在“最重要的”区域(对结果贡献最多的区域)中，而不是均匀分布于某一范围内，蒙特卡罗方法效率便提高了，使用这一概念于蒙特卡罗抽样过程中，叫做“重点抽样”，对于某区域重要性进行衡量的函数叫做“重要函数”，这种减少方差的模拟试验法为重要抽样法，也称为相似密度抽样法。

一重要函数法计算二重积分数值算法

积分都可以看作是某个随机变量的数学期望。因此，在利用蒙特卡罗法计算二重积分的时候，采用了这个随机变量算术平均值来作为其近似值。[3][4]

定理1[2][3][4]对于二重积分dy，设f(x，y)为区域D上的有界函数，

1)在所求积分区域D上构造一个概率密度函数 g(x，y)，满足条件

2)令

3)(xi，yi)，i=1，2，…，n 是以 g(x，y)为概率密度的随机数列，当n充分大时，

则

在定理1中，若取 g(xi，yi)=cf(x，y)，c=时，计算方差为零，即方差最小。g(x，y)=cf(x，y)称为有利密度函数或重要函数，以 g(x，y)为概率密度的随机变量(xi，yi)，i=1，2，…，n称为有利随机数，这样得到方差最优的蒙特卡罗算法。

定理2[5][6]设 g(x，y)为某二维概率密度函数，D为一平面区域，满足(xi，yi)，i=1，2，…，n 是区域 D 上的均匀分布随机向量，zi为[0，1]上的均匀分布随机变量，(xi，yi)与 zi相互独立。取常数 α＞0，使 αg(x，y)≤1，则(xi，yi)在 αg(x，y)≥zi条件下的条件概率密度函数为 g(x，y)。

一场看似无法避免的悲剧，却又消弭于无形之中，而用的方法却异常简单，似不合情理，但仔细一想，却又合情合理，回过头来一看，这个故事所体现的正是一种简单的智慧。人生的实质就是在不断地解决问题，而解决问题的方法却有千千万万，就如同那沙滩上的沙砾，一望无际。但总起来说只有两类：将问题简单化或复杂化。面对难题，智者只是将思维稍稍转了一下弯，绕过障碍，就能取得“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果；而普通人却是向这个难题发起无用的冲击，最后身陷绝境，进退不得，抱憾终生。