拟Hopf代数上的Doi-Hopf模

陈全国

(伊犁师范学院数学与统计学院,新疆伊宁835000)

1 引言及预备知识

为了构造 Knizhnik-Zamolodchikov的解,V.G.Drinfeld[1]引入了拟Hopf代数.拟Hopf代数与通常的Hopf代数在定义准则方面存在很大区别,主要表现在余结合律不再满足,其余结合性通过一个可逆元素φ∈H⊗H⊗H连接起来,还有拟Hopf代数的定义不是自对偶的,导致无法定义拟Hopf代数上的余模.类似于Hopf代数,拟Hopf代数的表示范畴是辫子张量范畴.

在Hopf代数中,研究Doi-Hopf模是非常有意义的,因为它统一了各种Hopf模,例如:Sweedler Hopf模、Doi相对 Hopf模[2]、Takeuchi相对 Hopf模[3]以及Yetter-Drinfeld模.作为推广,D.Bulacu等[4]在拟Hopf代数情形中引入了Doi-Hopf模.因此,本文以此类模为研究对象.

可分函子的概念由 C.Nǎstǎsescu 等[5]引入,并在不同的框架内得到充分的研究[5-11].但是,在拟Hopf代数中,有关刻画Doi-Hopf模的半单性的结果很少,其原因归结为拟Hopf代数的复杂结构,导致构造上的困难.目前,有关拟Hopf代数的结果主要集中于文献[12-14]中.本文在已有工作基础之上,进一步研究拟Hopf代数中的Doi-Hopf模.本文的出发点就是证明Doi-Hopf模的Maschke型定理,其问题归结为刻画忘却函子(忽略余作用)的可分性.

本文中假设k为一个域.所有代数、余代数的张量积均在k上.下面简单介绍一些本文中涉及到的概念和符号,更多的有关拟Hopf代数中概念和结果,参见文献[4,12-14].

2 主要结果

[1]Drinfeld V G.Quasi-Hopf algebras[J].Leningrad Math J,1990,1:1419-1457.

[2]Doi Y.On the structure of relative Hopf algebras[J].Commun Algebra,1981,11:31-50.

[3]Takeuchi M.A correspondence between Hopf ideals and sub-Hopf algebras[J].Manuscripta Mathematica,1972,7:251-270.

[4]Bulacu D,Caenepeel S.Two-sided two-cosided Hopf modules and Doi-Hopf modules for Quasi-Hopf algebras[J].J Algebra,2003,270:55-95.

[5]Nǎstǎsescu C,Van den Bergh M,Van Oystaeyen F.Separable functors applied to graded rings[J].J Algebra,1989,123:397-413.

[6]Caenepeel S,Ion B,Militaru G,et al.Separable functors for the category of Doi-Hopf modules,applications[J].Adv Math,1999,145:239-290.

[7]Casta~no Iglesias F,Gòmez-Torrecillas J,Nǎstǎsescu C.Separable functors in coalgbras applications[J].Tsukuba J Math,1997,21:329-344.

[8]Casta~no Iglesias F,Gòmez-Torrecillas J,Nǎstǎsescu C.Separable functors in graded rings[J].J Pure Appl Algebra,1998,127:219-230.

[9]Brzezi'nski T.The structure of corings:induction functors,Maschke-type theorem,and Frobenius and Galois properties[J].Algebra Represent Theory,2002,5:389-410.

[10]Chen Q G,Wang S H.Separable functors for the category of Doi-Hopf group modules[J].Abh aus dem Math Seminar der Univ Hamburg,2011,81:261-272.

[11]Chen Q G,Wang D G.The category of partial Doi-Hopf modules and functors[J].Rendiconti di Padova,2013,129:189-204.

[12]Bulacu D,Nauwelaerts E.Relative Hopf modules for(dual)quasi-Hopf algebras[J].J Algebra,2000,229:632-659.

[13]Bulacu D,Caenepeel S,Torrecillas B.Involutory Quasi-Hopf algebras[J].Algebra Represent Theory,2009,12:257-285.

[14]Hausser F,Nill F.Diagonal crossed products by duals of quasi-quantum groups[J].Rev Math Phys,1999,11:553-629.

[15]陈全国,王栓宏.弱Doi-Hopf群模的Maschke型定理[J].四川师范大学学报:自然科学版,2012,35(5):615-617.