单向hotelling模型的拓展

刘傲

摘要：

在原有单向hotelling模型的基础上，探析生产成本对厂商定价和选址的影响。通过分析，位于右侧的厂商B的最优选择始终是位于最右端，位于左侧的厂商A的最优选择取决于厂商A的生产成本与运输成本的比值，当c1t<1时，厂商A的最优位置位于a*=1-c1t2，当c1t≥1时，厂商A的最优选择是不进入该市场。

关键词：

单向hotelling模型；成本；选址；定价

中图分类号：

F27

文献标识码：A

文章编号：1672-3198（2014）18-0086-01

1 引言

自从hotelling模型被提出以来，学术界广泛采用该模型研究水平差异化产品的寡头垄断情况，一些学者在原始模型的基础之上进行了不断的拓展和延伸，例如考虑厂商的生产成本、运输成本、引入搜索成本、考虑技术创新的情况，得出了极具理论和实践价值的结论。

学者Kharbach（2009）另辟新径，提出了一种消费者只能从单向购买商品的情形，即当向的hotelling模型，在该模型中消费者只能在位于左侧（右侧）的厂商处购买商品或服务。这种现象在实际的生产生活中广泛的存在。例如高速公路或者单向的道路，石油、天然气等在管道中的运输情况，同时还有电视转播时间表或者飞机、列车运行时间等等。还有另外一种理解就是不同的服务能力水平厂商之间的竞争，服务能力水平不同的厂商所能满足消费者的群体的大小存在差异。由此可见，单向的霍特林模型对实际的研究中有着其不可替代的作用。原始的单向霍特林模型在论述的过程中，为了简化处理，并没有考虑两个厂商各自的生产成本，得出了厂商A在单位长度线性城市的3/5处，厂商B在最右端的结论。那么将成本这一个不可回避的因素考虑进去之后，厂商的选址和定价又会发生何种变化呢？为了更为清楚的探究上述问题，本文在单向霍特林模型的基础上，考虑厂商的生产成本，探讨不同成本下厂商的选址和定价策略。

2 模型

2.1 模型的建立

假设存在一个长度为1的线性城市，消费在该线性城市处于均匀分布状态。由于该商品的保留效用U足够大，以至于每个位于该线性城市上的消费者都会购买一个单位的产品。现在假设有两个厂商A和B，厂商A位于点a处，厂商B位于点b处，不失一般性，假设0≤a≤b≤1。两个厂商所生产的产品具有相同的效用和功能，运输费用为距离的二次函数，系数为t，厂商的边际成本分别为c1和c2，产品的价格为Pa和Pb，两个厂商在各自的经营范围内均可以实行完全价格歧视。正如学者Kharbach（2009）所提出的，消费者只能到位于它右方的厂商处购买商品，意即位于区间[0，a]消费可以同时选择在厂商a和厂商b处购买，而位于区间（a，b]的消费者只能在厂商b处购买。位于（b，1]消费者无法购买任何产品。那么坐标为x的消费者从厂商处购买产品获得的净剩余为：从厂商A处购买，UAx=U-PAx-t（a-x）2，从厂商B处购买，UBx=U-PBx-t（b-x）2。其他情况下效用为零。两个厂商同时进行决策，选择最优的价格和位置。

2.2 模型分析

现在我们讨论一个两阶段的博弈，在第一个阶段，厂商选择位置，第二个阶段，厂商设定产品的价格。

在该博弈的第二个阶段，两个厂商在给定位置的情况下同时决定价格。为了便于分析，我们分别讨论厂商在位于不同区间定价情况。在区间[0，a]处，由于消费者可以在厂商A和厂商B处进行选择，为了进一步的方便分析，我们假设当消费者到两个厂商处购买产品获得相同的净剩余时，消费者会选择就近购买。这样一来，厂商A为了完全控制区间[0，a]，那么在区间[0，a]任何一点上定价方面满足条件：pAx=t（b-x）2-t（a-x）2。在区间（a，b]，由于此处的消费者只能在厂商B处购买，那么厂商B的定价为pBx=U-t（b-x）2，在区间（b，1]，消费者无法购买到任何的产品，因此所获得的效用为零。通过对上面的分析，我们可以得出厂商A和厂商B的利润函数：

πA=∫a0（pAx-c1）dx=t（ab2-a2b）-c1a

（1）

πB=∫ba（pBx-c2）dx=（U-c2）（b-a）-t3（b-a）3

（2）

对式子（1）、（2）分别求一阶微分：

πAa=t（b2-2ab）-c1

（3）

πBb=（U-c2）-t（b-a）2（4）

根据之前的假设，由于效用U无限大，则可以得出式（4）恒大于零，这也就意味着随着b的增加，厂商B的利润也随着增加。为了获得更大的利润，厂商B必然会选择最右端，即b*=1处。将b=1代入式（3），则有πAa=t（1-2a）-c1，令πAa=0，可得：

a=1-c1t2（5）

由式（5）可得，a的最优取值与c1和t的比值有关。在接下来的文章中我们分别讨论c1t不同关系下，厂商A和厂商B的利润变化情况。

（1）当c1t<1时，此时a>0，则厂商A的最优位置位于a*=1-c1t2处。

此时，厂商A的利润πA=（t-c1）24t，

厂商B的利润πB=12t（U-c2）（t+c1）-（t+c1）324t2

对厂商A和厂商B的利润分别对各自的成本求微分可得。

πAc1=-t+c12t（6）

πBc2=-t+c12t （7）

显然πAc1<0，πBc2<0这意味着随着生产成本的上升，厂商A和厂商B的利润是不断的下降的，这与现实的企业经营情况相符。由此可见，不断的通过降低生产成本也是企业增加利润的有效途径之一，也再次印证了对生产成本的控制是企业管理和决策中必须引起重视的一个因素。