具有免费储存期的两级串联系统补货策略研究

李正义+仲伟俊

摘要：研究了由一个供应商和一个零售商组成的简单供应链库存补给问题。供应商通过船舶运输分销产品，考虑港口允许到港货物在港口免费存放一段时间，针对整数比率库存补给策略，建立了一个具有非线性目标函数和整数比率约束的优化模型，同时求解此模型的松弛问题，并利用松弛问题的最优解构造整数比率的补货策略。算例分析表明，免费储存期对零售商的订货周期影响较大，同时利用免费储存期可以很明显地减少整个系统的库存补给费用。

关键词：两级串联系统；供应链；免费储存期；整数比率策略

中图分类号：F272；F274文献标识码：A文章编号：1001-8409（2014）07-0040-04

Inventory Replenishment Policies for Two

Stage Serial Systems with Free Storage Periods

LI Zhengyi, ZHONG Weijun

(School of Economics and Management, Southeast University, Nanjing 211189)

Abstract： This paper studied the inventory replenishment policies for a supply chain with one supplier and one retailer. Itconsidered that the supplier produced the product, and then transported the product to the retailer by ship. Since the port allowed goods free stay for a period of time, It made use of the free storage period when placed an order. It considered stationary and integerratio policies, and formulated the problem as a mathematical model with nonlinear objective function and integerratio constraints. It presented an algorithm to solve the corresponding relaxed problem, and then used the optimal solution of the relaxation problem to build an integerratio policy. The computational results showed that the free storage period has more impacts on the ordering policies of the retailer, and can reduce the inventory replenishment related costs mostly.

Key words： two stage serial systems; supply chain; free storage periods; integerratio policies

1引言

在当今竞争激烈的市场上，库存优化对于提高供应链服务满意度和减少供应链运营成本方面起着重要的作用［2,7,9,10］。考虑由一个供应商和一个零售商组成的简单供应链两级库存补给问题。供应商生产一种产品，通过船舶运输，经由港口分销给零售商。现实中，许多海运港口都会提供一个类似的服务，即允许货物在港口免费停留一段时间。以集装箱运输为例，国内的南京港、深圳港、上海港等，根据集装箱的大小和港口繁忙程度，通常提供7~14天的免堆期，即货柜可以免费在港口的停留时间，而香港的港口通常会允许到港集装箱在港口免费停留至少3天。国外很多港口也提供类似的服务，如印度的Jawaharial Nehru港口允许集装箱码头为进口的集装箱提供3天的免费停留时间，为出口的集装箱提供7天的免费停留时间；而散货码头为进口的货物提供12天的免费停留时间，为出口的货物提供15天停留时间［1］。除了港口以外，航空港和多式联运模式中的中转站也允许货物免费停留一段时间。因此，在库存补给的过程中，应充分利用这段免费储存期以减少整个供应链系统的库存补给相关费用。

目前，在分销网络中，考虑免费储存期对库存管理影响的文献很少。Ochtman等［3］研究多式联运模式中的中转站为中转货物提供的免费储存期对分销策略的影响。在中转站免费储存期内的库存，被称为浮动库存。对于一个概念模型，定性地分析四种不同的分销策略，结果表明流动库存可以减少库存储存费用和缩短补货提前期，也可参考文献Dekker等［4］。Pourakbar等［5］通过建立了数学模型研究流动库存在快速消费品供应链中对库存补货策略的影响。建立了个模型分别对从工厂到货运站的集装箱提前运输时间和管道中与货运站中集装箱的总数量进行优化，最后通过比较得到基于流动库存的分销策略优于其他的分销策略。

考虑一个集中式管理的两级串联系统库存补货问题，包括一个供应商和一个零售商，且零售商需求确定。供应商生产产品后，首先储存在仓库中，然后利用船舶运输，通过港口分销给零售商。与陆上运输相比，水上运输不能够直接把货物运送到目的地。也就是说，货物不能直接运送到零售商处，而是先把货物运输到零售商所在港口，然后再把货物从港口运送给零售商。在此过程中，由于港口允许到港货物免费存放一段时间，所以零售商库存补给时，应充分利用这段免费储存期，以减少整个系统的库存补给相关费用。

为了研究港口提供的免费储存期对于整个系统库存策略的影响，考虑在每一个补货周期内，零售商在开始的一段时间内是库存持有费用为零。在整数比率库存补给策略下，建立了一个具有非线性目标函数和整数比率约束的优化模型，同时求解此模型的松弛问题，即松弛整数比率约束，并利用松弛问题的最优解构造整数比率补货策略。算例分析表明，在库存补给过程中，利用港口提供的免费储存期可以很大程度地减少整个系统的库存补给相关费用。

2模型建立

考虑供应商只生产和配送一种产品，产品生产后储存在供应商的仓库中。零售商从仓库补给库存，而仓库从工厂补给库存。假设订单的交付是瞬间完成的，即订单的提前期为零，以及在库存补给过程中不允许缺货。对零售商而言，在每个订货周期刚开始的t时间内，库存持有费用是免费的。为了建立模型，引入以下符号：

K0表示仓库的固定的订货成本；h0表示仓库的单位时间单位商品的库存持有成本；K表示零售商的固定的订货成本；h表示零售商的单位时间单位商品的库存持有成本；λ表示零售商的单位时间的需求率；t表示港口为到港货物提供的免费储存时间。

为了建立模型和表达方便，假设仓库的库存持有成本低于零售商的库存持有成本［6,8］，即h0≤h。事实上，所建立的模型很容易推广到h0>h的情形。这里忽略了购买产品所需要的费用，其实购买产品所需要的费用可以看作为固定订货费用的一部分。

实际中，为了应用方便，通常以仓库的订货周期和零售商的订货周期作为决策变量，分别表示为T0和T。同时考虑仓库的订货周期和零售商的订货周期为基本订货周期的整数倍，即T0,T∈{TL,2TL,3TL,…}，这里用TL表示基本订货周期，可以为一天、一星期、一月等。

目标是决定仓库和零售商的库存补给策略，即最优的订货周期，以最小化整个系统的平均订货和库存持有费用。由上面分析可知，该问题可以看作确定性两级无限期串联系统的库存补给问题，则仓库和零售商的最优订货周期满足条件［2,10］：T0=nT，这里T0和T分别为仓库和零售商最优订货周期，n为一个正整数，满足这个条件的库存补给策略称为整数比率库存补给策略。因此，针对于整数比率库存补给策略，具有免费储存期的一个供应商和一个零售商系统的库存补给问题可以表示为：

minK0T0+12λh0［max(T0,T)－T］+KT+ 12λh(T－t)+(T－t)+T（1）

s.t.T0=nT,T0,T∈{TL,2TL,3TL,…},n∈Z+

这里式（1）的目标函数前两项分别表示仓库的平均订货固定费用和平均库存持有费用，后两项分别表示零售商的平均订货固定费用和平均库存持有费用。注意不失一般性，假设 TL=1。

由于整数比率约束条件，直接对式（1）进行求解比较困难。因此，首先求解式（1）对应的松弛问题，即去掉整数比率约束条件，然后根据松弛问题的解构造满足整数比率约束的解。式（1）对应的松弛问题表示如下：

minT0>0,T>0K0T0+12λh0［max(T0,T)－T］+KT+ 12λh(T－t)+(T－t)+T （2）

通过观察可知，由于免费储存期内的库存持有费用为零，所以在免费储存期内应尽可能多地持有库存，也就是说尽可能多地利用港口提供的免费储存期t。因此，可以得到下面的引理。

引理 1：设T为式（1）中零售商的最优订货周期，则T≥t。

证明：利用反证法证明。假设T

①如果T

②如果T≤T0

因此 KT+12λh0［max(T0,T)－T］>Kt+12λh0［max(T0,t)－t］。

由于其他的相关费用是不变的，令T=t给出一个更好的解。这与T是最优解矛盾。证毕。

根据引理1，松弛问题式（2）可以重写为：

minT0>0,T>0K0T0+12λh0［max(T0,T)－T］+KT+ 12λh(T－t)2T(3)

s.t. T≥t

显然，松弛问题式（3）是一个含有非线性目标函数和线性约束条件的凸优化模型，下面将研究如何求解松弛问题式（3）的最优解以及其最优解满足的性质。

3模型求解

定理1：设T′0和T′为式（3）的最优解。

① 最优解T′0和T′满足：T′0≥T′。

②如果2K0λh0>λht2+2Kλ(h－h0)，则T′0=2K0λh0，T′=λht2+2Kλ(h－h0)；否则有T′0=T′=λht2+2K+2K0λh。

证明：显然，式（3）是一个凸优化问题。下面分情形对定理进行证明：

①假设T′0K0T′，取T′0=T′，在其他的费用不变的情形下，可以得到更好的目标函数值，这与T′0

②假设T′0>T′，只需求解优化问题： minT>0KT+12λh(T－t)2T+12λh0(T0－T)。

由一阶导数条件可知：－KT2+12λh1－t2T2－12λh0=0，则有T′=λht2+2Kλ(h－h0)。

同理有T′0=2K0λh0。如果2K0λh0>λht2+2Kλ(h－h0)，则T′0=2K0λh0>T′=λht2+2Kλ(h－h0)。

③假设T′0=T′，只需求解优化问题：minT>0K0T+KT+12λh(T－t)2T。由一阶导数条件可知，－K+K0T2+12λh1－t2T2=0，则有T′0=T′=λht2+2K+2K0λh。证毕。

根据定理1可知，求解式（3）最优解算法的详细步骤如下：

步骤一，首先判断不等式2K0λh0>λht2+2Kλ(h－h0)是否成立。

步骤二，如果不等式成立，则T′0=2K0λh0，T′=λht2+2Kλ(h－h0)；如果不等式不成立，则T′0=T′=λht2+2K+2K0λh。

下面研究如何构造整数比率库存补给策略。首先令C(x,y)表示式(1)在解(x,y)下的目标函数值， 0和分别表示所构造的整数比率库存补给策略。这里用x」表示小于x的最大整数，用「x表示大于x的最小的整数。根据式（3）的最优解T′0和T′，构造满足整数比率库存补给策略算法的详细步骤如下：

步骤一，讨论T′0和T′的关系，分别进行构造0和。

(a)当T′0>T′时，如果=［T′］，则0=T′」×T′0T′」或者0=T′」×「T′0T′；如果=「T′，则0=「T′×T′0T′」或者0=「T′×「T′0T′。

(b)当T′0=T′时，0==T′」或者0==「T′。

步骤二，选择最小C(0,)对应的0和，即为所构造的满足整数比率的库存补给策略。

很显然，所构造的0和满足式（1）所有的约束条件，即0和均为整数，而且0是的整数倍。由于式(1)的目标函数为T0和T的凸函数， 因此0和为式（1）的最优解。

4数值计算

4.1参数取值

所有参数的取值按如下方式随机产生。K0和K在区间［1000,1500］内随机产生,h0在区间［1,5］内随机产生,h在区间［5,10］内随机产生,λ在区间［50,100］内随机产生。免费储存期t=1，2，3，4，5。在数值计算时，对于不同t的取值，随机产生50个不同的算例，共随机产生250个不同算例，然后报告平均的计算结果。

4.2计算结果

图1给出了仓库的最优订货周期0和零售商的最优订货周期随t的变化结果。由图1可知，仓库和零售商的最优订货周期均随着免费储存期的增加而增加，同时从图1还可以看出免费储存期对于零售商订货周期的影响要大于对仓库订货周期的影响。

图2给出了整个系统库存补给相关费用随免费储存期的变化关系。 Δ(%)表示整个系统库存补给相关费用的减少比例，即Δ=((C0－C(0,))/C0)×100，其中C0表示不考虑免费储存期时，整个系统库存补给相关费用，计算方法可参考文献［10］。

由图2可以看出，随着免费储存期t的增加，整个系统库存补给相关费用的减少比例也增加，也就是说，免费储存期t越大，整个系统的库存补给相关费用减少越多。同时还得到最大费用减少比例为7110%，最小费用减少比例为2794%，平均的费用减少比例为5351%。因此可以得到，在库存补给过程中，利用免费储存期可以很明显地减少整个系统库存补给相关费用。

最后，研究参数取值变化对整个系统库存补给相关费用减少比例的影响。在模型式(1)中，分别用γ1h0，γ1h，γ2K0，γ2K替换h0，h，K0，K，这里γ1为库存持有费用系数，γ2为固定订货费用系数。不失一般性，令免费储存期t=4。图3和图4给出了整个系统库存补给相关费用随库存持有费用系数和固定订货费用系数的变化关系。由图3可以看出，随着库存持有费用系数的增加，整个系统库存补给相关费用减少比例也增加。这就是说，在其他费用都不变的情形下，对于库存持有费用高的产品，利用免费储存期可以更多地减少整个系统库存补给相关费用。由图4可以看出，随着固定订货费用系数的增加，整个系统库存补给相关费用减少比例降低。这就是说，在其他费用都不变的情形下，对于固定订货费用高的产品，利用免费储存期减少整个系统库存补给相关费用较少。总之，对于库

存持有费用高，且固定订货费用低的产品，利用港口提供的免费储存期，可以更多地减少整个系统库存补给相关费用；而对于库存持有费用低，且固定订货费用高的产品，港口提供的免费储存期对于减少整个系统地库存补给费用相对较少。

5结束语

研究由一个供应商和一个零售商组成的两级串联系统库存补给问题。考虑供应商通过港口补给零售商。由于港口提供允许到港货物免费停留一段时间的服务，与传统的库存补给问题不同，考虑零售商在每个库存补给周期内的库存持有费用在刚开始的一段时间内是免费的。针对静态的整数比率库存补给策略，建立了一个具有非线性目标函数和整数比率约束条件的优化模型，同时求解对应的松弛问题，并构造了满足整数比率的策略。算例分析表明，免费储存期对于零售商订货周期的影响较大；而对于供应商仓库的订货周期影响较小；在库存补给过程中，利用免费储存期可以很明显地减少整个系统库存补给相关费用。同时算例分析还得到，对于高库存持有费用，低固定订货费用的产品，免费储存期对于减少整个系统库存补给相关费用更为明显。在将来的研究工作中，基于Roundy［6］中的研究思路，考虑将所研究的问题扩展至一个供应商和多个零售商组成的供应链网络，这是一个值得进一步研究的问题。

参考文献：

［1］http://www.asiatradehub.com/India/portjnu.asp.

［2］Axsater S. Inventory Control［M］.Springer，2006.

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［4］Dekker R，EAsperen，GOchtman，et al. Floating Stocks in FMCG Supply Chains: Using Intermodal Transport to Facilitate Advance Deployment［J］.International Journal of Physical Distribution & Logistics Management，2008，39(8): 632-648.

［5］Pourakbar M，ASleptchenko, RDekker. The Floating Stock Policy in Fast Moving Consumer Goods Supply Chains［J］. Transportation Research Part E，2009,45:39-49.

［6］Roundy RO. 98%-Effective Integer-ratio Lot-sizing for One-warehouseMulti-retailer Systems［J］. Management Science，1985，31(11):1416-1430.

［7］Muckstadt JA,ASapra. Principles of Inventory Management［M］. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering，2010.

［8］Graves SC，AHGRinnooy Kan,PHZipkin. Logistics of Production and Inventory［M］. Handbooks in Operations Research and Management Science，North-Holland，Amsterdam，The Netherlands，1993.

［9］柳健，马士华.供应链库存协调与优化模型研究［J］.管理科学学报，2004，7(4):1-8.

［10］赵晓波，黄四民.库存管理［M］.北京:清华大学出版社，2008.

(责任编辑：李映果)

存持有费用高，且固定订货费用低的产品，利用港口提供的免费储存期，可以更多地减少整个系统库存补给相关费用；而对于库存持有费用低，且固定订货费用高的产品，港口提供的免费储存期对于减少整个系统地库存补给费用相对较少。

5结束语

研究由一个供应商和一个零售商组成的两级串联系统库存补给问题。考虑供应商通过港口补给零售商。由于港口提供允许到港货物免费停留一段时间的服务，与传统的库存补给问题不同，考虑零售商在每个库存补给周期内的库存持有费用在刚开始的一段时间内是免费的。针对静态的整数比率库存补给策略，建立了一个具有非线性目标函数和整数比率约束条件的优化模型，同时求解对应的松弛问题，并构造了满足整数比率的策略。算例分析表明，免费储存期对于零售商订货周期的影响较大；而对于供应商仓库的订货周期影响较小；在库存补给过程中，利用免费储存期可以很明显地减少整个系统库存补给相关费用。同时算例分析还得到，对于高库存持有费用，低固定订货费用的产品，免费储存期对于减少整个系统库存补给相关费用更为明显。在将来的研究工作中，基于Roundy［6］中的研究思路，考虑将所研究的问题扩展至一个供应商和多个零售商组成的供应链网络，这是一个值得进一步研究的问题。

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［9］柳健，马士华.供应链库存协调与优化模型研究［J］.管理科学学报，2004，7(4):1-8.

［10］赵晓波，黄四民.库存管理［M］.北京:清华大学出版社，2008.

(责任编辑：李映果)

存持有费用高，且固定订货费用低的产品，利用港口提供的免费储存期，可以更多地减少整个系统库存补给相关费用；而对于库存持有费用低，且固定订货费用高的产品，港口提供的免费储存期对于减少整个系统地库存补给费用相对较少。

5结束语

研究由一个供应商和一个零售商组成的两级串联系统库存补给问题。考虑供应商通过港口补给零售商。由于港口提供允许到港货物免费停留一段时间的服务，与传统的库存补给问题不同，考虑零售商在每个库存补给周期内的库存持有费用在刚开始的一段时间内是免费的。针对静态的整数比率库存补给策略，建立了一个具有非线性目标函数和整数比率约束条件的优化模型，同时求解对应的松弛问题，并构造了满足整数比率的策略。算例分析表明，免费储存期对于零售商订货周期的影响较大；而对于供应商仓库的订货周期影响较小；在库存补给过程中，利用免费储存期可以很明显地减少整个系统库存补给相关费用。同时算例分析还得到，对于高库存持有费用，低固定订货费用的产品，免费储存期对于减少整个系统库存补给相关费用更为明显。在将来的研究工作中，基于Roundy［6］中的研究思路，考虑将所研究的问题扩展至一个供应商和多个零售商组成的供应链网络，这是一个值得进一步研究的问题。

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［10］赵晓波，黄四民.库存管理［M］.北京:清华大学出版社，2008.

(责任编辑：李映果)